2025年中考試卷：幾何圖形強(qiáng)化訓(xùn)練——平面幾何中的軌跡方程與曲線考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離始終等于它到直線m的距離，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.直線mB.以A為焦點(diǎn)的拋物線C.以A為頂點(diǎn)的拋物線D.與直線m平行的直線2.如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1和F2的距離之和為定值，且這個(gè)定值大于F1和F2之間的距離，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線3.已知點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=5，則點(diǎn)B的軌跡方程是（）A.x^2+y^2=25B.x+y=5C.x^2+y^2=5D.x^2+y^2=25（x≠0且y≠0）4.已知點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓O的直徑AB上運(yùn)動(dòng)，且∠APQ=45°，則點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線5.已知點(diǎn)P在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸，則點(diǎn)Q的軌跡是（）A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線6.已知點(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在橢圓的短軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=c（c為橢圓的半焦距），則點(diǎn)B的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線7.已知點(diǎn)P在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸，則點(diǎn)Q的軌跡是（）A.直線B.雙曲線C.拋物線D.橢圓8.已知點(diǎn)A在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=2，則點(diǎn)B的軌跡方程是（）A.x^2+y^2=2B.x^2+y^2=4C.x-y=2D.x+y=29.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1，則點(diǎn)Q的軌跡方程是（）A.x^2+y^2=2B.x^2+y^2=4C.(x-1)^2+(y-1)^2=1D.(x+1)^2+(y+1)^2=110.已知點(diǎn)A在拋物線y^2=4x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=4，則點(diǎn)B的軌跡方程是（）A.y^2=4xB.y^2=-4xC.x^2=4yD.x^2=-4y二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.已知點(diǎn)P在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=a，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________。12.已知點(diǎn)A在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=b，則點(diǎn)B的軌跡方程是__________。13.已知點(diǎn)P在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________。14.已知點(diǎn)A在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=2，則點(diǎn)B的軌跡方程是__________。15.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________?，F(xiàn)在，讓我們開(kāi)始第二部分，填空題。這部分我會(huì)給出五個(gè)小題，每個(gè)小題我會(huì)提供四個(gè)選項(xiàng)，你需要從中選擇一個(gè)最符合題目要求的答案。記得，每小題的分?jǐn)?shù)是4分，總共20分。請(qǐng)仔細(xì)閱讀每個(gè)問(wèn)題，并確保你的答案是正確的。填空題的答案需要填寫在答題卡上的相應(yīng)位置。如果你不確定答案，可以嘗試排除一些明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)，這樣可以提高你猜對(duì)的概率。不過(guò)，我還是建議你認(rèn)真思考，因?yàn)檫@部分題目是考察你對(duì)幾何圖形軌跡方程的掌握程度。11.已知點(diǎn)P在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=a，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________。答案：x^2=a^2（因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸是x軸，所以點(diǎn)Q的軌跡是一條垂直于y軸的直線，且距離原點(diǎn)的距離為a）12.已知點(diǎn)A在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=b，則點(diǎn)B的軌跡方程是__________。答案：y=±(b^2/a^2)x（因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是y=±(b^2/a^2)x，且點(diǎn)B在漸近線上，所以軌跡方程也是這個(gè)）13.已知點(diǎn)P在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________。答案：x=-p/2（因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是x=-p/2，且點(diǎn)Q在準(zhǔn)線上，所以軌跡方程也是這個(gè)）14.已知點(diǎn)A在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=2，則點(diǎn)B的軌跡方程是__________。答案：x^2+y^2=2（因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)B在直線y=-x上，且|AB|=2，所以點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為√2的圓）15.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1，則點(diǎn)Q的軌跡方程是__________。答案：(x-3)^2+(y-3)^2=2（因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1，所以點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以(3,3)為圓心，半徑為√2的圓）三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)按題目要求作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.已知點(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線y^2=4x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=4。求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)。因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線y^2=4x上運(yùn)動(dòng)，所以y^2=4x。又因?yàn)閨PQ|=4，所以(x-a)^2+(y-a)^2=16。將y^2=4x代入上式，得到(x-a)^2+(4x-a)^2=16?；?jiǎn)得5x^2-8ax+5a^2-16=0。因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以a=x。代入上式，得到5x^2-8x^2+5x^2-16=0，即2x^2=16，解得x=±2√2。當(dāng)x=2√2時(shí)，y=2√2；當(dāng)x=-2√2時(shí)，y=-2√2。所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y^2=16x。17.已知點(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在橢圓的短軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=c（c為橢圓的半焦距）。求點(diǎn)B的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y)。因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，所以x^2/a^2+y^2/b^2=1。又因?yàn)閨AB|=c，所以x^2+c^2=y^2。將x^2=a^2-y^2/b^2代入上式，得到a^2-y^2/b^2+c^2=y^2。化簡(jiǎn)得a^2+c^2=y^2+b^2y^2/b^2，即a^2+c^2=y^2(1+b^2/b^2)，即a^2+c^2=y^2(1+b^2)。解得y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)。所以點(diǎn)B的軌跡方程為x=0，y=±√[(a^2+c^2)/(1+b^2)]。18.已知點(diǎn)P在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸。求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)。因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，所以x^2/a^2-y^2/b^2=1。又因?yàn)镻Q⊥x軸，所以x=x。將x^2=a^2+y^2/b^2代入上式，得到a^2+y^2/b^2-y^2/b^2=1?；?jiǎn)得a^2=1，即x^2/a^2=1。所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y=±(b/a)x。19.已知點(diǎn)A在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=p。求點(diǎn)B的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-p/2,y)。因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，所以y^2=2px。又因?yàn)閨AB|=p，所以(x+p/2)^2+(y-y)^2=p^2?；?jiǎn)得x^2+px+p^2/4=0。解得x=-p/2。所以點(diǎn)B的軌跡方程為x=-p/2。20.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1。求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,a)。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，所以(x-1)^2+(y-2)^2=1。又因?yàn)閨PQ|=1，所以(a-x)^2+(a-y)^2=1。將y=x代入上式，得到(a-x)^2+(a-x)^2=1，即2(a-x)^2=1?；?jiǎn)得(a-x)^2=1/2，即a-x=±√2/2。當(dāng)a-x=√2/2時(shí)，a=x+√2/2；當(dāng)a-x=-√2/2時(shí)，a=x-√2/2。所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y=x±√2/2。四、證明題（本大題共1小題，共10分。請(qǐng)按題目要求作答，證明時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）21.已知點(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在橢圓的短軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=c（c為橢圓的半焦距）。求證：點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)橢圓。證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y)。因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，所以x^2/a^2+y^2/b^2=1。又因?yàn)閨AB|=c，所以x^2+c^2=y^2。將x^2=a^2-y^2/b^2代入上式，得到a^2-y^2/b^2+c^2=y^2?；?jiǎn)得a^2+c^2=y^2+b^2y^2/b^2，即a^2+c^2=y^2(1+b^2/b^2)，即a^2+c^2=y^2(1+b^2)。解得y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)。因?yàn)閍^2+c^2>0，1+b^2>0，所以y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)是一個(gè)正數(shù)。所以點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)橢圓，其方程為x^2+(y^2/(a^2+c^2/(1+b^2)))=1。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離始終等于它到直線m的距離，說(shuō)明點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，m為準(zhǔn)線的拋物線。2.A解析：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1和F2的距離之和為定值，且這個(gè)定值大于F1和F2之間的距離，符合橢圓的定義。3.A解析：|AB|=5，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，半徑為5的圓。但由于A在x軸上運(yùn)動(dòng)，B在y軸上運(yùn)動(dòng)，所以B的軌跡方程是x^2+y^2=25。4.A解析：∠APQ=45°，說(shuō)明點(diǎn)Q的軌跡是以AB為直徑的圓。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的軌跡也是圓。5.B解析：PQ⊥x軸，說(shuō)明點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同。又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的軌跡也是拋物線。6.A解析：|AB|=c，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，半徑為c的圓。但由于A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，B在短軸上運(yùn)動(dòng)，所以B的軌跡方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1。7.B解析：PQ⊥x軸，說(shuō)明點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同。又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的軌跡也是雙曲線。8.B解析：|AB|=2，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，半徑為2的圓。但由于A在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以B的軌跡方程是x^2+y^2=4。9.A解析：|PQ|=1，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是以P為圓心，半徑為1的圓。但由于P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，所以B的軌跡方程是x^2+y^2=2。10.A解析：|AB|=4，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，半徑為4的圓。但由于A在拋物線y^2=4x上運(yùn)動(dòng)，所以B的軌跡方程是y^2=4x。二、填空題答案及解析11.x^2/a^2+y^2/b^2=1解析：點(diǎn)Q在橢圓的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=a，說(shuō)明點(diǎn)Q的軌跡還是橢圓，只是長(zhǎng)軸長(zhǎng)度變?yōu)?a，短軸長(zhǎng)度不變，所以軌跡方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1。12.x^2/a^2-y^2/b^2=1解析：點(diǎn)B在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=b，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡還是雙曲線，只是漸近線的斜率不變，所以軌跡方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1。13.x=-p/2解析：PQ⊥x軸，說(shuō)明點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同。又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的軌跡是拋物線的準(zhǔn)線，即x=-p/2。14.x^2+y^2=2解析：點(diǎn)A在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=2，說(shuō)明點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)圓，圓心在原點(diǎn)，半徑為√2，所以軌跡方程是x^2+y^2=2。15.(x-3)^2+(y-3)^2=2解析：點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-2)^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=1，說(shuō)明點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)圓，圓心在(3,3)，半徑為√2，所以軌跡方程是(x-3)^2+(y-3)^2=2。三、解答題答案及解析16.y^2=16x解析：點(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線y^2=4x上運(yùn)動(dòng)，且|PQ|=4。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)。根據(jù)|PQ|=4，得到(x-a)^2+(y-a)^2=16。將y^2=4x代入上式，得到(x-a)^2+(4x-a)^2=16。化簡(jiǎn)得5x^2-8ax+5a^2-16=0。因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以a=x。代入上式，得到5x^2-8x^2+5x^2-16=0，即2x^2=16，解得x=±2√2。當(dāng)x=2√2時(shí)，y=2√2；當(dāng)x=-2√2時(shí)，y=-2√2。所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y^2=16x。17.y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)解析：點(diǎn)A在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在橢圓的短軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=c。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y)。根據(jù)|AB|=c，得到x^2+c^2=y^2。將x^2=a^2-y^2/b^2代入上式，得到a^2-y^2/b^2+c^2=y^2?；?jiǎn)得a^2+c^2=y^2+b^2y^2/b^2，即a^2+c^2=y^2(1+b^2/b^2)，即a^2+c^2=y^2(1+b^2)。解得y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)。所以點(diǎn)B的軌跡方程為y^2=(a^2+c^2)/(1+b^2)。18.y=±(b/a)x解析：點(diǎn)P在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在雙曲線的漸近線上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥x軸。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)。根據(jù)PQ⊥x軸，得到x=x。將x^2=a^2+y^2/b^2代入雙曲線方程，得到a^2+y^2/b^2-y^2/b^2=1?；?jiǎn)得a^2=1，即x^2/a^2=1。所以點(diǎn)Q的軌跡