2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策理論分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空2分，共20分）1.從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，樣本容量為n，則n是_______。2.若一組數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的均值為μ，方差為σ2，則數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,...,xn+a的均值為_______，方差為_______。3.設(shè)事件A、B互斥，P(A)=0.4，P(B)=0.3，則P(A∪B)=_______。4.若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則X2服從_______分布。5.從總體中抽取樣本，用樣本均值μ?來估計(jì)總體均值μ，這種估計(jì)方法稱為_______估計(jì)。6.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記為α，它表示_______。7.一元線性回歸方程μY|x=β?+β?x中，β?稱為_______。8.設(shè)總體X的分布未知，但已知其期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，欲用樣本均值μ?估計(jì)μ，使E(μ?-μ)2最小，所需樣本容量n應(yīng)趨于_______。9.決策樹中，代表決策點(diǎn)的符號是_______。10.在風(fēng)險(xiǎn)型決策中，選擇期望后悔值最小的方案，稱為_______法。二、選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于眾數(shù)的說法，錯(cuò)誤的是（）。A.眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)B.眾數(shù)不受極端值影響C.一個(gè)數(shù)據(jù)集可能沒有眾數(shù)D.眾數(shù)總是唯一的2.已知隨機(jī)變量X的期望E(X)=10，方差D(X)=4，則隨機(jī)變量Y=3X-5的期望E(Y)和方差D(Y)分別為（）。A.E(Y)=35,D(Y)=12B.E(Y)=35,D(Y)=52C.E(Y)=-5,D(Y)=12D.E(Y)=-5,D(Y)=523.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去除大小王）隨機(jī)抽取一張，記事件A為“抽到紅桃”，事件B為“抽到K”，則事件A與事件B（）。A.互斥且獨(dú)立B.互斥但不獨(dú)立C.不互斥且獨(dú)立D.不互斥但獨(dú)立4.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，從中抽取樣本容量為n的樣本，當(dāng)n較小時(shí)，對μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)常用（）。A.Z分布B.t分布C.χ2分布D.F分布5.對總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，原假設(shè)H?：μ=μ?，若檢驗(yàn)結(jié)果拒絕H?，則意味著（）。A.總體均值一定不等于μ?B.總體均值等于μ?的概率很小C.樣本信息支持μ≠μ?D.犯第一類錯(cuò)誤的概率很小6.在簡單線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是（）。A.[-1,1]B.[0,1]C.(0,1)D.[0,∞)7.對于同一組觀測數(shù)據(jù)，擬合的線性回歸方程越接近實(shí)際觀測值，則該方程的R2值（）。A.越小B.越大C.可能增大也可能減小D.保持不變8.某企業(yè)面臨三種市場策略選擇，結(jié)果可能面臨三種效益。在沒有其他信息的情況下，應(yīng)采用哪種方法進(jìn)行決策？（）A.貝葉斯決策B.期望值法C.樂觀法D.決策模擬法9.已知事件A發(fā)生的概率為P(A)=0.7，事件B發(fā)生的概率為P(B)=0.5，且P(A∪B)=0.9，則事件A與事件B的條件概率P(A|B)為（）。A.0.5B.0.6C.0.8D.0.910.在進(jìn)行方差分析（ANOVA）時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)不同組均值之間存在顯著差異，下一步通常進(jìn)行（）。A.計(jì)算效應(yīng)量B.趨勢分析C.多重比較D.模型診斷三、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述樣本均值和樣本方差的計(jì)算公式。2.寫出假設(shè)檢驗(yàn)中犯第二類錯(cuò)誤的定義，并說明其與檢驗(yàn)勢（Power）的關(guān)系。3.簡述一元線性回歸模型中，系數(shù)β?的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。4.簡述決策分析中，不確定型決策和風(fēng)險(xiǎn)型決策的主要區(qū)別。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.從一批燈泡中隨機(jī)抽取10個(gè)，測得壽命（小時(shí)）如下：1050,1100,1080,1120,1200,1250,900,1150,1180,1300。計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.某研究人員想檢驗(yàn)一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。設(shè)事件A為“服用新藥后治愈”，P(A)=0.75?，F(xiàn)隨機(jī)抽取100名病人服用新藥，求治愈人數(shù)X在70到80人之間的概率（假設(shè)治愈情況服從二項(xiàng)分布）。（提示：可用正態(tài)近似）3.某公司分析了廣告投入（萬元）與銷售額（萬元）的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：n=5,Σx=15,Σy=100,Σx2=55,Σy2=2040,Σxy=370。求：(1)銷售額y對廣告投入x的線性回歸方程；(2)若下月計(jì)劃投入廣告費(fèi)3萬元，預(yù)測銷售額是多少？五、綜合應(yīng)用題（每題15分，共30分）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，有三種不同的工藝路線A、B、C。為了比較三種工藝路線的日產(chǎn)量，隨機(jī)抽取了5天，記錄產(chǎn)量如下（單位：件）：工藝A：50,48,47,49,52工藝B：45,47,46,44,48工藝C：53,50,52,51,49假設(shè)每天產(chǎn)量服從正態(tài)分布，且方差相等。試檢驗(yàn)三種工藝路線的日產(chǎn)量是否有顯著差異。（請寫出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，包括H?、H?、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、拒絕域和結(jié)論）。2.某決策者面臨一個(gè)投資決策問題，有三種投資方案：方案I、方案II、方案III。未來市場狀況有“繁榮”、“正?！薄ⅰ八ネ恕比N可能。各種方案在不同市場狀況下的收益（萬元）如下表所示（表中數(shù)字為期望收益）：|方案|繁榮|正常|衰退||:-----|:---|:---|:---||方案I|30|20|-10||方案II|25|22|8||方案III|10|18|15|決策者對未來市場狀況的判斷概率不確定。如果他確定未來市場將“繁榮”的概率為0.3，“正常”的概率為0.5，“衰退”的概率為0.2，請計(jì)算各方案的期望收益，并依據(jù)期望值法做出決策。如果他無法判斷各種狀態(tài)的概率，會(huì)做出什么決策？（依據(jù)一種不確定型決策方法）。試卷答案一、填空題1.樣本容量2.μ+a,σ23.0.74.χ2（卡方）5.點(diǎn)6.犯棄真錯(cuò)誤（或拒絕真假設(shè)）7.回歸系數(shù)（或斜率系數(shù)）8.無窮大（或趨于無窮大）9.方塊（或矩形）10.后悔值（或最小后悔值）二、選擇題1.D2.C3.D4.B5.C6.B7.B8.C9.A10.C三、簡答題1.解析思路：要求寫出核心公式。樣本均值：μ?=(Σx?)/n樣本方差（總體方差未知時(shí)）：s2=[Σ(x?-μ?)2]/(n-1)樣本方差（總體方差已知時(shí)）：s2=[Σ(x?-μ)2]/n（其中x?為樣本數(shù)據(jù)，n為樣本容量，μ為總體均值，μ?為樣本均值）2.解析思路：定義與關(guān)系。定義：在假設(shè)檢驗(yàn)中，未能拒絕一個(gè)本應(yīng)為錯(cuò)誤（即H?為假）的假設(shè)，稱為犯第二類錯(cuò)誤，記為β。關(guān)系：檢驗(yàn)的勢（Power）=1-β。勢是指當(dāng)H?為假時(shí)，能夠正確拒絕H?的概率。勢越大，犯第二類錯(cuò)誤的概率越小。3.解析思路：回歸系數(shù)意義。β?表示在其他因素不變的情況下，自變量x每增加一個(gè)單位，因變量y平均增加（或減少）β?個(gè)單位。它是衡量自變量x對因變量y線性影響程度和方向的關(guān)鍵參數(shù)。4.解析思路：區(qū)分決策類型。不確定型決策：決策者不知道各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率。風(fēng)險(xiǎn)型決策：決策者知道各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率。主要區(qū)別在于決策者是否掌握自然狀態(tài)的先驗(yàn)概率信息。四、計(jì)算題1.解析思路：依次計(jì)算均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。n=10,數(shù)據(jù)：1050,1100,1080,1120,1200,1250,900,1150,1180,1300(1)均值μ?=(Σx?)/n=(1050+1100+...+1300)/10=1120小時(shí)(2)方差s2=[Σ(x?-μ?)2]/(n-1)=[(1050-1120)2+...+(1300-1120)2]/9=[49+100+16+16+400+1690+484+900+324+324]/9=4277/9≈476.33小時(shí)2(3)標(biāo)準(zhǔn)差s=√s2=√476.33≈21.8小時(shí)答案：均值1120小時(shí)，方差約476.33小時(shí)2，標(biāo)準(zhǔn)差約21.8小時(shí)。2.解析思路：應(yīng)用二項(xiàng)分布正態(tài)近似。X~B(100,0.75)。n=100,p=0.75,q=1-p=0.25。n較大，p,q均不為0或1，可用正態(tài)分布N(np,npq)近似。E(X)=np=100*0.75=75,D(X)=npq=100*0.75*0.25=18.75。σ=√D(X)=√18.75≈4.33。所求概率P(70≤X≤80)。應(yīng)用連續(xù)性修正，轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布：P(69.5≤X≤80.5)。標(biāo)準(zhǔn)化：Z?=(69.5-75)/4.33≈-1.34,Z?=(80.5-75)/4.33≈1.29。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器：P(Z≤1.29)≈0.9015,P(Z≤-1.34)≈0.0901。P(69.5≤X≤80.5)=P(Z≤1.29)-P(Z≤-1.34)=0.9015-0.0901=0.8114。答案：約0.8114。3.解析思路：應(yīng)用最小二乘法求回歸方程，然后預(yù)測。(1)回歸方程系數(shù)計(jì)算：b?=[nΣxy-ΣxΣy]/[nΣx2-(Σx)2]=[5*370-15*100]/[5*55-152]=[1850-1500]/[275-225]=350/50=7b?=μ?y-b?μ?x=(100/5)-7*(15/5)=20-7*3=20-21=-1回歸方程為：?=-1+7x(2)預(yù)測x=3時(shí)的y：?=-1+7*3=-1+21=20萬元答案：(1)回歸方程為?=-1+7x。(2)預(yù)測銷售額為20萬元。五、綜合應(yīng)用題1.解析思路：進(jìn)行單因素方差分析（One-wayANOVA）。設(shè)三種工藝的日產(chǎn)量均值分別為μ_A,μ_B,μ_C。檢驗(yàn)假設(shè)：H?:μ_A=μ_B=μ_C(三種工藝產(chǎn)量無差異)H?:至少有兩個(gè)均值不等(μ_A,μ_B,μ_C不全相等)(1)計(jì)算各組的樣本均值和整體均值：μ??=(50+48+47+49+52)/5=49.0μ??=(45+47+46+44+48)/5=46.0μ??=(53+50+52+51+49)/5=51.0μ?=(49+46+51)/3=48.0(2)計(jì)算組內(nèi)平方和（SSE）、組間平方和（SSB）和總平方和（SST）：SSE=ΣΣ(x??-μ??)2/(n?-1)=[(50-49)2+...+(52-49)2+(45-46)2+...+(48-46)2+(53-51)2+...+(49-51)2]/4=[1+1+4+0+9+1+1+0+4+4+4+0+1+0+4]/4=[15+11+9]/4=35/4=8.75SSB=Σn?(μ??-μ?)2=5[(49-48)2+(46-48)2+(51-48)2]=5[1+4+9]=70SST=ΣΣ(x??-μ?)2=SSE+SSB=8.75+70=78.75(3)計(jì)算均值平方和（MSB,MSE）：MSB=SSB/k-1=70/(3-1)=35MSE=SSE/(N-k)=8.75/(15-3)=8.75/12=0.7292(4)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F：F=MSB/MSE=35/0.7292≈47.91(5)確定拒絕域：查F分布表，α=0.05，df?=k-1=2,df?=N-k=12。得Fкрит=3.89。拒絕域：F>3.89。(6)做出結(jié)論：F計(jì)算值(