2.4曲線與方程（課時2）第二章平面解析幾何人教B版（2019）素養(yǎng)目標1.能根據(jù)曲線的已知條件求曲線的方程；2.能根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì).新知導(dǎo)入得到曲線的方程之后，可以借助方程來研究曲線的性質(zhì)以及曲線之間的關(guān)系等.如何得到曲線的方程？【問題】已知l1，l2是平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，且曲線C是到l1，l2的距離的乘積等于1的點組成的集合.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，則曲線C的方程是什么？探究新知以l1與l2分別為x軸與y軸建立平面直角坐標系，設(shè)P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，則P到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|.即|y||x|=1就是曲線C的方程.因此P(x，y)在曲線C上的充要條件是|y||x|=1探究新知（2）根據(jù)方程|y||x|=1，說說曲線C具有哪些性質(zhì)？曲線C：|y||x|=1具有的性質(zhì):（1）x=0或y=0時，方程不成立，所以曲線C與兩坐標軸都沒有交點；（2）點(x，y)，(-x，y)都是方程的一組解，且(-x，y)與(x，y)關(guān)于y軸對稱，這說明曲線C關(guān)于y軸對稱.類似地，可知曲線C關(guān)于x軸以及原點都對稱.（3）|x|越來越大時，|y|越來越小且接近于零；|x|越來越小且接近于零時，|y|越來越大.探究新知【思考】在平面直角坐標系中，曲線C的圖像是怎樣的？你能根據(jù)它的性質(zhì)作出它的圖像嗎？為了作出曲線C，根據(jù)性質(zhì)(2)，可以先作出曲線C在第一象限內(nèi)的部分，然后根據(jù)對稱性作出其他部分.探究新知第一象限內(nèi)的部分可以由描點作圖作出，如下表和圖所示.x…123…y…321…探究新知根據(jù)性質(zhì)(2)得曲線C的圖像，如圖所示：探究新知曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程．例如，曲線C可以看成動點M的運動軌跡，且動點M到l1，l2的距離的乘積等于1，因此動點M的軌跡方程就是|y||x|=1.探究新知例3已知動點M到點A(1，2)的距離與到點B(3，6)的距離相等，求M的軌跡方程，并指出軌跡曲線的形狀.解：設(shè)M的坐標為(x，y)，依照條件可知|MA|=|MB|，兩邊平方并化簡，得x+2y-10=0.由兩點之間的距離公式可知，可以檢驗，上式就是M的軌跡方程，因此軌跡曲線是直線.探究新知利用類似例3的方法，實際上可以證明我們在初中歸納出的結(jié)論:平面上所有到線段兩端點的距離相等的點組成一條直線，而且這條直線是線段的垂直平分線.探究新知解：設(shè)M的坐標為(x，y)，依照條件可知.兩邊平方并化簡，得x2+y2+2x-3=0.可以檢驗，上式就是M的軌跡方程.由兩點之間的距離公式可知，上式可用坐標表示為配方得(x+1)2+y2=4，可知軌跡曲線是圓心為（-1，0），半徑為2的圓.例4已知動點M到O(0，0)的距離與到A(3，0)的距離之比是，求M的軌跡方程，并指出軌跡曲線的形狀.歸納總結(jié)例3、例4實際上是在不知道軌跡曲線形狀的前提下，通過用代數(shù)等式表示幾何條件，求出了軌跡方程（即曲線的方程），從而明確了曲線的形狀，更進一步，還可以研究曲線的性質(zhì)，這都是坐標法以及解析幾何的優(yōu)點.歸納總結(jié)求動點M軌跡方程的一般步驟：(1)設(shè)動點M的坐標為(x，y)(如果沒有平面直角坐標系，需先建立)；(2)寫出M要滿足的幾何條件，并將該幾何