正比例函數(shù)教學(xué)設(shè)計案例及課堂實錄——從具體實例到抽象模型的建構(gòu)之旅一、教學(xué)設(shè)計（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：理解正比例函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確寫出正比例函數(shù)的解析式；掌握正比例函數(shù)圖像的特征和性質(zhì)，并能運用其解決簡單的實際問題；會用描點法畫出正比例函數(shù)的圖像。2.過程與方法：通過對實際問題的分析、抽象與概括，經(jīng)歷正比例函數(shù)概念的形成過程；通過動手操作、觀察比較、合作探究等方式，體驗正比例函數(shù)圖像的繪制過程及性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、幾何直觀能力和初步的函數(shù)思想。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在探究活動中體驗成功的喜悅，培養(yǎng)積極思考、勇于探索的精神和合作交流的意識。（二）教學(xué)重難點1.教學(xué)重點：正比例函數(shù)的概念、圖像特征及基本性質(zhì)。2.教學(xué)難點：從實際問題中抽象出正比例關(guān)系，理解正比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義和對函數(shù)性質(zhì)的影響。（三）教學(xué)方法本節(jié)課主要采用啟發(fā)式、探究式教學(xué)方法，輔以講練結(jié)合。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師則扮演組織者、引導(dǎo)者與合作者的角色。（四）教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件、直尺、圓規(guī)、坐標(biāo)紙（或方格紙）。二、課堂實錄（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：同學(xué)們，我們的生活中充滿了變化的量。比如，汽車行駛的路程會隨著時間的變化而變化，購買商品的總價會隨著數(shù)量的變化而變化。今天，我們就來研究一種特殊的兩個變量之間的關(guān)系。請看大屏幕上的幾個問題：（課件展示）1.汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛路程為s千米，行駛時間為t小時，那么s與t之間有什么關(guān)系？2.一種蘋果的單價是每千克5元，購買蘋果的總價為y元，購買數(shù)量為x千克，那么y與x之間有什么關(guān)系？3.一個長方形的長為5cm，它的面積為Scm2，寬為bcm，那么S與b之間有什么關(guān)系？師：請同學(xué)們獨立思考，用含一個變量的代數(shù)式表示另一個變量。（學(xué)生思考，動筆書寫，教師巡視）師：好，我們請幾位同學(xué)來說說你的答案。第一個問題，s與t的關(guān)系？生1：s=60t。因為路程等于速度乘以時間。師：非常好，速度恒定，路程隨時間均勻變化。第二個問題，y與x的關(guān)系？生2：y=5x?？們r等于單價乘以數(shù)量。師：清晰明了。第三個問題，S與b的關(guān)系？生3：S=5b。長方形面積等于長乘以寬，長是固定的5cm。師：大家都同意嗎？（學(xué)生點頭）這三個關(guān)系式（s=60t,y=5x,S=5b）看起來形式上有什么共同的特點？（學(xué)生觀察，小組討論片刻）生4：它們都是兩個變量相乘，而且都有一個固定不變的數(shù)。師：你的觀察力很敏銳！這個“固定不變的數(shù)”在數(shù)學(xué)上我們稱之為“常數(shù)”，而這兩個“變化的量”我們稱之為“變量”。像這樣，兩個變量之間的關(guān)系可以表示為一個變量等于一個常數(shù)乘以另一個變量的形式，這就是我們今天要深入學(xué)習(xí)的——正比例函數(shù)。（板書課題：正比例函數(shù)）（二）探究新知，形成概念師：請大家再仔細(xì)觀察這幾個關(guān)系式：s=60t,y=5x,S=5b。如果我們用y表示因變量，用x表示自變量，那么這些關(guān)系式都可以統(tǒng)一寫成什么樣的形式呢？生5：y=kx。師：這里的k代表什么？生5：k代表那個固定不變的常數(shù)。師：非常好！一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)（proportionalfunction），其中k叫做比例系數(shù)（constantofproportionality）。（教師板書定義）師：大家思考一下，為什么定義中要強調(diào)“k≠0”呢？如果k=0，會怎么樣？生6：如果k=0，那么y就等于0，不管x怎么變，y都是0，就不是一個“變化”的函數(shù)了，或者說它變成了一個常數(shù)函數(shù)。師：解釋得非常到位！所以k不能為0。同時，自變量x的次數(shù)是幾次？生齊：1次！師：對，x的次數(shù)必須是1，并且x不能在分母里，也不能在根號下等等，就是這種最簡潔的“y等于k乘以x”的形式。小試牛刀：判斷下列函數(shù)是否為正比例函數(shù)？若是，請指出比例系數(shù)k。1.y=3x2.y=-0.5x3.y=x24.y=2/x5.y=0x（學(xué)生獨立完成，然后指名回答并訂正）生7：1是，k=3；2是，k=-0.5；3不是，x是平方；4不是，x在分母；5不是，k=0了。師：完全正確！通過這個小練習(xí)，我們對正比例函數(shù)的概念有了更清晰的認(rèn)識。（三）動手操作，探究圖像與性質(zhì)師：我們知道，函數(shù)的圖像可以直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)。那么正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像是什么樣子的呢？我們一起來探究一下。探究活動1：畫正比例函數(shù)的圖像請同學(xué)們在坐標(biāo)紙上畫出以下兩個正比例函數(shù)的圖像：1.y=2x2.y=-2x師：畫函數(shù)圖像的一般步驟是什么？生8：列表、描點、連線。師：好，請大家按照這三個步驟開始畫圖。畫完后，小組內(nèi)可以互相交流一下，看看圖像有什么特點。（學(xué)生動手畫圖，教師巡視指導(dǎo)，提醒學(xué)生注意取值的代表性，以及描點的準(zhǔn)確性和連線的平滑性。）師：大部分同學(xué)都畫完了。我們先來看第一個函數(shù)y=2x的圖像。哪位同學(xué)愿意展示一下你的圖像，并說說你是怎么畫的？（學(xué)生展示圖像）生9：我先列表，取了x=-2,-1,0,1,2，對應(yīng)的y值是-4,-2,0,2,4。然后在坐標(biāo)系中描出這些點(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4)，最后發(fā)現(xiàn)這些點都在一條直線上，就用直尺把它們連起來了。師：非常規(guī)范！觀察這些點，包括你沒取到的點，比如x=0.5，y=1，這個點(0.5,1)是否也在這條直線上？生9：應(yīng)該在，因為當(dāng)x=0.5時，y=2×0.5=1，滿足y=2x。師：所以，正比例函數(shù)y=2x的圖像是一條經(jīng)過原點的直線。師：那第二個函數(shù)y=-2x的圖像呢？哪位同學(xué)來說說？生10：我也是先列表，x=-2,-1,0,1,2，y=4,2,0,-2,-4。描點連線后，發(fā)現(xiàn)它也是一條經(jīng)過原點的直線。師：（展示學(xué)生畫的y=-2x圖像）大家同意嗎？（同意）那么，我們能不能得出一個一般性的結(jié)論：正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像是什么？生齊：是一條經(jīng)過原點的直線！師：是的！正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像是一條經(jīng)過原點(0,0)的直線。我們把它叫做直線y=kx。（教師板書）探究活動2：探究正比例函數(shù)圖像的性質(zhì)師：既然正比例函數(shù)的圖像是一條直線，而兩點確定一條直線。那么，我們畫正比例函數(shù)圖像時，有沒有更簡便的方法？不需要列表描那么多點。生11：只需要找到兩個點，然后連接起來就可以了。師：找哪兩個點最方便呢？生11：原點(0,0)肯定是的，再找一個點，比如當(dāng)x=1時，y=k，所以點(1,k)也在直線上。連接(0,0)和(1,k)就能畫出圖像了。師：太棒了！這是一個非常實用的畫圖技巧。所以，畫正比例函數(shù)y=kx的圖像，通常選取(0,0)和(1,k)兩點，然后作直線。師：現(xiàn)在，請大家觀察我們畫出的y=2x和y=-2x的圖像，思考一下：1.直線y=2x經(jīng)過哪些象限？y隨x的增大如何變化？2.直線y=-2x經(jīng)過哪些象限？y隨x的增大如何變化？3.比例系數(shù)k的正負(fù)對函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性有什么影響？（學(xué)生小組討論，教師參與其中）師：我們先看第一個問題，直線y=2x。生12：直線y=2x經(jīng)過第一象限和第三象限。當(dāng)x增大時，y也增大。比如x從-2到2，y從-4到4，越來越大。師：我們可以說“y隨x的增大而增大”。（板書）那它會經(jīng)過第二、四象限嗎？生12：不會，因為當(dāng)x是正數(shù)時，y=2x也是正數(shù)，所以在第一象限；x是負(fù)數(shù)時，y=2x也是負(fù)數(shù)，所以在第三象限。師：分析得很透徹。那么直線y=-2x呢？生13：直線y=-2x經(jīng)過第二象限和第四象限。當(dāng)x增大時，y反而減小。比如x從-2到2，y從4到-4，越來越小。師：我們可以說“y隨x的增大而減小”。（板書）師：現(xiàn)在，大家能總結(jié)一下k的正負(fù)對函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響嗎？生14：當(dāng)k>0時，直線經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時，直線經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。師：（教師根據(jù)學(xué)生回答，進(jìn)行板書）非常好！這就是正比例函數(shù)的重要性質(zhì)。我們再思考一下，|k|的大小對直線的“傾斜程度”有影響嗎？比如說，y=2x和y=0.5x，它們的圖像有什么不同？生15：y=2x的圖像更陡一些，y=0.5x的圖像更平緩一些。師：是的，|k|的值越大，直線y=kx就越靠近y軸，即傾斜得越厲害；|k|的值越小，直線y=kx就越靠近x軸，即傾斜得越平緩。這個我們可以直觀地感受到。（四）鞏固練習(xí)，深化理解師：我們學(xué)習(xí)了概念、圖像和性質(zhì)，現(xiàn)在來檢驗一下大家的掌握情況。（課件展示練習(xí)題）1.下列函數(shù)中，哪些是正比例函數(shù)？并指出其比例系數(shù)。(1)y=-4x(2)y=x2(3)y=2/x(4)y=0.8x(5)y=πx2.若y=(m-2)x是正比例函數(shù)，則m的取值范圍是________。3.已知正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點(2,-6)，求這個正比例函數(shù)的解析式。4.正比例函數(shù)y=-3x的圖像經(jīng)過第______象限，y隨x的增大而______。（學(xué)生獨立完成，然后師生共同訂正答案，重點講解第3題用待定系數(shù)法求解析式的過程。）師：第3題，已知正比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點(2,-6)，怎么求k呢？生16：因為點(2,-6)在直線上，所以它的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx。把x=2，y=-6代入y=kx，得到-6=k×2，解得k=-3。所以解析式是y=-3x。師：非常正確！這種方法叫做“待定系數(shù)法”，是求函數(shù)解析式的常用方法。我們以后會經(jīng)常用到。（五）課堂小結(jié)，反思提升師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)。誰能談?wù)勀氵@節(jié)課有哪些收獲？生17：我知道了什么是正比例函數(shù)，它的形式是y=kx，k≠0。生18：我學(xué)會了畫正比例函數(shù)的圖像，它是一條過原點的直線，取(0,0)和(1,k)兩點畫直線最方便。生19：我還知道了當(dāng)k>0時，圖像過一三象限，y隨x增大而增大；k<0時，過二四象限，y隨x增大而減小。生20：我覺得數(shù)學(xué)和生活聯(lián)系很緊密，很多實際問題都可以用正比例函數(shù)來表示。師：同學(xué)們總結(jié)得都非常好！我們從生活實例出發(fā)，抽象出了正比例函數(shù)的概念，探究了它的圖像和性質(zhì)，并且學(xué)習(xí)了如何應(yīng)用。希望大家能將所學(xué)知識融會貫通，靈活運用。（六）布置作業(yè)，拓展延伸1.基礎(chǔ)作業(yè)：課本練習(xí)題中關(guān)于正比例函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)的題目。2.拓展思考：*請你在生活中尋找一個可以用正比例函數(shù)關(guān)系描述的實例，并嘗試寫出它的函數(shù)關(guān)系式，畫出圖像，并說明k的實際意義。*若正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點A(2,4)，那么它是否經(jīng)過點B(-1,-2)和點C(3,5)？為什么？三、教學(xué)反思本節(jié)課的設(shè)計旨在遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從具體到抽象，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識的建構(gòu)過程。通過創(chuàng)設(shè)與生活聯(lián)系緊密的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。在概念形成階段，通過對具體實例的觀察、比較和概括，幫助學(xué)生建立正比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在圖像與性質(zhì)的探究中，放手讓學(xué)生動手操作、小組合作，經(jīng)歷“畫圖—觀察—猜想—驗證—歸納”的過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。從課堂實錄來看，學(xué)生參與度較高，思維活躍，能夠積極思考并回答問題。對于重點概念“y=kx（k≠0）”和“k的意義”，通過正反例辨析和針對性提問，學(xué)生理解較為到位。圖像的繪制和性質(zhì)的探究是本節(jié)課的亮點，學(xué)生通過親身體驗，對直線的特征、象限分布以及增減性有了直觀的認(rèn)識和深刻的理解。然而，教學(xué)過程中也存在一些值得反思的地方。例如，在引導(dǎo)學(xué)生探究“k的絕對