第七章證明2認(rèn)識(shí)證明（第2課時(shí)）一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第七章“證明”第三節(jié)第2課時(shí)，在第1課時(shí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了定義、命題、命題的結(jié)構(gòu)、命題的真假及判斷假命題的常用方法，為本課時(shí)學(xué)習(xí)證明奠定了基礎(chǔ)。本課時(shí)將引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)真命題的證明，感受公理化思想，明確證明的出發(fā)點(diǎn)，并通過(guò)具體實(shí)例感受證明的過(guò)程及證明的書(shū)寫格式。二、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，形成了初步的空間觀念和幾何直觀；能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何說(shuō)理，有了初步的證明意識(shí)；了解了定義、命題等基本概念，并能使用基本事實(shí)、定義、性質(zhì)等解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前一節(jié)課中，學(xué)生了解了為什么要證明，感受到了證明的必要性。在之前的學(xué)習(xí)中，也獲得了簡(jiǎn)單幾何說(shuō)理和代數(shù)說(shuō)理的經(jīng)驗(yàn)，具備一定的幾何推理能力。同時(shí)，學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中，已初步具備了觀察、分析、類比的學(xué)習(xí)能力，有了一定的將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言的能力，具備了一定的合作交流能力。三、教學(xué)目標(biāo)1.初步感悟公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事實(shí)。2.通過(guò)實(shí)例感受證明的過(guò)程與格式，能進(jìn)行簡(jiǎn)單命題的推理。能將簡(jiǎn)單的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。3.閱讀有關(guān)歐幾里得的《原本》和公理化資料，感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)：感受公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事實(shí)，感受證明的過(guò)程與格式。教學(xué)難點(diǎn)：感受證明的過(guò)程與格式，能進(jìn)行簡(jiǎn)單命題的推理。四、教學(xué)過(guò)程【第一環(huán)節(jié)】復(fù)習(xí)引入1.活動(dòng)內(nèi)容說(shuō)出下列兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，并判斷下列兩個(gè)命題的真假，說(shuō)說(shuō)你的理由。（1）相等的角是對(duì)頂角；（2）對(duì)頂角相等。舉一個(gè)反例就可以說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？2.活動(dòng)目的通過(guò)學(xué)生比較熟悉的兩個(gè)命題入手，回顧上節(jié)課所學(xué)的命題的概念，并引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)命題的條件和結(jié)論。在判斷兩個(gè)命題的真假后，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明理由。此時(shí)，錯(cuò)誤的命題可以通過(guò)舉反例來(lái)辨析，而正確的命題又該如何說(shuō)明呢？通過(guò)幾位同學(xué)的對(duì)話，引起學(xué)生的興趣，并感受數(shù)學(xué)的趣味性和嚴(yán)謹(jǐn)性。3.注意事項(xiàng)由于學(xué)生對(duì)這兩個(gè)命題較為熟悉，因此能夠準(zhǔn)確地說(shuō)出其條件和結(jié)論，并判斷其真假。對(duì)于假命題，學(xué)生可以比較容易地通過(guò)舉一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明其不成立。然而，對(duì)于真命題，僅靠舉一個(gè)例子不足以證明其普遍成立。學(xué)生可能會(huì)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等方法來(lái)證明。而新的問(wèn)題是，用來(lái)證明的依據(jù)，又該如何證明？從而引出下一個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容。【第二環(huán)節(jié)】合作交流1.活動(dòng)內(nèi)容學(xué)生交流合作，討論“對(duì)頂角相等”這個(gè)命題該如何證明。大部分學(xué)生會(huì)考慮到利用同角的補(bǔ)角相等來(lái)證明。再次拋出問(wèn)題“同角的補(bǔ)角相等”，又該如何證明？在證明一個(gè)觀點(diǎn)或結(jié)論正確時(shí)，人們常常是通過(guò)“因?yàn)锳正確，所以B正確”來(lái)證明。同學(xué)們是否想過(guò)，A正確又是因?yàn)槭裁?？源頭在哪里？如何確定證明的起點(diǎn)？其實(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過(guò)類似的問(wèn)題。公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約前330—前275）編寫了一本書(shū)，書(shū)名為《原本》。為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書(shū)時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理。除了公理外，其他命題的真假都需要通過(guò)演繹推理的方法進(jìn)行判斷。演繹推理的過(guò)程稱為證明，經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理。每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明。提問(wèn)：在幾何證明中，哪些內(nèi)容可以作為證明的依據(jù)呢？預(yù)設(shè)：定義、圖形的性質(zhì)、定理（已經(jīng)證明的真命題）、數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)等都可以作為證明的依據(jù)。本套教科書(shū)選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條：（1）兩點(diǎn)確定一條直線。（2）兩點(diǎn)之間線段最短。（3）同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行）（5）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（8）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。2.活動(dòng)目的引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“對(duì)頂角相等”的說(shuō)理過(guò)程，體會(huì)如何由基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)出其他定理。通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生能夠感悟到引入基本事實(shí)的必要性，對(duì)公理化及數(shù)學(xué)的邏輯性有進(jìn)一步的理解。此時(shí)再提出已學(xué)過(guò)的八條基本事實(shí)，加深學(xué)生的理解。3.注意事項(xiàng)教師可通過(guò)引導(dǎo)，使學(xué)生對(duì)“源頭”產(chǎn)生好奇和興趣，從而激發(fā)學(xué)生探究的積極性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過(guò)基本事實(shí)的呈現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)證明的依據(jù)較多，剛開(kāi)始學(xué)生可能考慮得不完整，需要教師進(jìn)行引導(dǎo)或講解?！镜谌h(huán)節(jié)】新課講授1.活動(dòng)內(nèi)容根據(jù)前面所認(rèn)識(shí)的八條基本事實(shí)，我們可以證明下面的定理：定理同角（或等角）的補(bǔ)角相等。定理同角（或等角）的余角相等。定理三角形的任意兩邊之和大于第三邊。例1證明：同角（或等角）的補(bǔ)角相等。教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析：該命題中的條件和結(jié)論分別是什么？已知的是什么？要求證的是什么？如何利用已學(xué)知識(shí)證明該命題？根據(jù)條件和結(jié)論，寫出已知、求證及證明過(guò)程。已知：∠A＝∠B，∠C，∠D分別是∠A，∠B的補(bǔ)角。求證：∠C＝∠D。證明：∵∠C，∠D分別是∠A，∠B的補(bǔ)角（已知），∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°（補(bǔ)角的定義）。又∵∠A＝∠B（已知），∴∠C＝∠D（等量代換）。接下來(lái)，就可以用“同角（或等角）的補(bǔ)角相等”這個(gè)定理來(lái)證明“對(duì)頂角相等”。例2證明：對(duì)頂角相等。參考上述定理證明過(guò)程的格式和規(guī)范，請(qǐng)同學(xué)們討論，該命題中的條件和結(jié)論是什么？圖形怎樣畫(huà)？我們?cè)撊绾螌懗鲆阎?，求證呢？請(qǐng)參考上一例題并嘗試證明。求證：∠AOC＝∠BOD。分析：在基本事實(shí)和已證定理中，哪些結(jié)論可以判定兩個(gè)角相等？證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定義）。∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）?！唷螦OC＝∠BOD（同角的補(bǔ)角相等）。小結(jié)：證明命題的一般步驟如下（1）分析命題的條件和結(jié)論。（2）畫(huà)出圖形，用符號(hào)語(yǔ)言寫出已知、求證。（3）利用所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言條理清晰地寫出證明過(guò)程。2.活動(dòng)目的在講解例題時(shí)，要注意如何將文字語(yǔ)言，即“同角（或等角）的補(bǔ)角相等”“對(duì)頂角相等”轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，需要明確命題中的條件（已知）和結(jié)論（求證）。再引導(dǎo)學(xué)生思考在基本事實(shí)和已證定理中哪些可以證明所需結(jié)論，最后帶領(lǐng)學(xué)生完成命題的證明。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由基本事實(shí)證明“同角（或等角）的補(bǔ)角相等”，繼而再證明“對(duì)頂角相等”的過(guò)程。這樣的遞進(jìn)式證明過(guò)程，可以讓學(xué)生感受到公理化思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并認(rèn)識(shí)證明的過(guò)程和格式。3.注意事項(xiàng)在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)證明已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累，所以推理的過(guò)程對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單。難點(diǎn)在于如何將文字命題轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言。因此，課堂教學(xué)應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論，并將其轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言。教師需要完整的板書(shū)示范，使學(xué)生能夠模仿并按要求寫出證明的過(guò)程。例1建議由老師講解，讓學(xué)生對(duì)命題的證明過(guò)程和格式有一個(gè)較為清晰的認(rèn)識(shí)。例2建議教師帶著學(xué)生一起討論、研究，由師生共同完成。兩個(gè)例題完成之后，可以讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)證明的一般步驟?！镜谒沫h(huán)節(jié)】練習(xí)鞏固1.活動(dòng)內(nèi)容請(qǐng)你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明。已知：如圖，△ABC的三條邊分別為AB、AC、BC。求證：AB＋AC＞BC；AB＋BC＞AC；AC＋BC＞AB。證明：∵BC是以點(diǎn)B、點(diǎn)C為端點(diǎn)的線段，∴AB＋AC＞BC（兩點(diǎn)之間線段最短）。同理，得AB＋BC＞AC；AC＋BC＞AB?！嗳切蔚娜我鈨蛇呏痛笥诘谌?。2.活動(dòng)目的通過(guò)對(duì)命題的證明，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的能力，學(xué)生也可以參考例題進(jìn)行模仿，以熟悉證明的過(guò)程和格式，進(jìn)一步理解幾何基本事實(shí)的意義，感悟數(shù)學(xué)論證的邏輯，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力。3.注意事項(xiàng)學(xué)生容易忽略用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)命題的條件和結(jié)論，建議在練習(xí)過(guò)程中，多讓學(xué)生表達(dá)、討論，并上臺(tái)板演或由學(xué)生自主講題，學(xué)生之間可互相糾錯(cuò)、補(bǔ)充。教師在這個(gè)過(guò)程中應(yīng)起到引導(dǎo)和輔助的作用，同時(shí)需要注意學(xué)生的證明格式是否規(guī)范。【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)1.活動(dòng)內(nèi)容（1）如何驗(yàn)證一個(gè)命題是真命題？（2）在數(shù)學(xué)推理和證明中，可以作為推理依據(jù)的內(nèi)容有哪些？（3）八條基本事實(shí)有哪些？（4）證明命題的一般步驟是什么？（5）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還有什么疑惑？2.活動(dòng)目的總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，促使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考和總結(jié)，從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)、表達(dá)等能力，在一個(gè)輕松的交流中，完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)。在疑惑部分，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)歐幾里得《原本》產(chǎn)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3.注意事項(xiàng)本環(huán)節(jié)要讓學(xué)生盡可能自己進(jìn)行歸納總結(jié)，特別是證明命題的一般步驟。在疑惑部分，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)歐幾里得《原本》產(chǎn)生好奇并提出問(wèn)題，比如學(xué)習(xí)公理化有什么好處？生活中是否也有類似的實(shí)例等等?！镜诹h(huán)節(jié)】布置作業(yè)1.活動(dòng)內(nèi)容（1）基礎(chǔ)性作業(yè)：習(xí)題7.2第5題。（2）拓展性作業(yè)：習(xí)題7.2第8題。2.活動(dòng)目的通過(guò)課后作業(yè)檢測(cè)學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況。比如，對(duì)于推理演繹的過(guò)程的了解程度，是否能夠靈活運(yùn)用，是否能夠?qū)⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言等。作業(yè)第8題的設(shè)置讓學(xué)生可以通過(guò)搜集相關(guān)資料，感受公理化思想在生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3.注意事項(xiàng)基礎(chǔ)性作業(yè)與例1類似，學(xué)生可以通過(guò)模仿的方式完成，教師需要關(guān)注學(xué)生的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，以及完成的證明格式。拓展性作業(yè)是為了讓學(xué)生更好地體會(huì)公理化思想，如交通規(guī)則就是一種典型的公理，我們每個(gè)人都必須遵守紅燈停、綠燈行等基本規(guī)則，這些公理是社會(huì)共識(shí)的體現(xiàn)，是大家都認(rèn)可的。再比如圍棋比賽中