第2課時化簡、證明問題講一講1．化簡下列各式：(1)eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),cos40°－\r(1－sin250°))；(2)eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(tanx－sinx,tanx＋sinx))(x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z)．[嘗試解答](1)原式＝eq\f(\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°),cos40°－\r(cos250°))＝eq\f(\r(（sin40°－cos40°）2),cos40°－|cos50°|)＝eq\f(|sin40°－cos40°|,cos40°－cos50°)＝eq\f(cos40°－sin40°,cos40°－sin40°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(\f(sinx,cosx)－sinx,\f(sinx,cosx)＋sinx))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(1－cosx,1＋cosx))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(（1－cosx）2,（1＋cosx）（1－cosx）))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\r(\f(（1－cosx）2,1－cos2x))＝eq\f(sinx,1－cosx)·eq\f(1－cosx,|sinx|)＝eq\f(sinx,|sinx|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（x為第一、二象限角），,－1（x為第三、四象限角）.))利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡三角函數(shù)式時應(yīng)注意把握以下幾點(diǎn)：(1)化簡結(jié)果要求：①項數(shù)盡量少；②次數(shù)盡量低；③分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；④能求值的求出值．(2)化簡策略：①弦切互化，即若同一式子中既含“弦”(正弦、余弦)，又含“切”(正切)，則運(yùn)用商數(shù)關(guān)系及其變形，要么把“弦”化為“切”，要么把“切”化為“弦”進(jìn)行求解．②對于含有根號的，常把根號下的式子化為完全平方式，然后開方．注意開方時應(yīng)先加絕對值，再考慮去絕對值符號，這樣可以減少失誤．③對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或?qū)嵤?”的代換(即1＝sin2α＋cos2α)，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．練一練1．化簡：(1)tan130°eq\r(\f(1,sin2130°)－1)；(2)eq\r(1＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＋eq\r(1－2sin\f(α,2)cos\f(α,2))(0<α<eq\f(π,2))．解：(1)原式＝tan(180°－50°)eq\r(\f(1,sin2（180°－50°）))－1＝－tan50°eq\r(\f(1,sin250°)－1)＝－tan50°eq\r(\f(1－sin250°,sin250°))＝－tan50°|eq\f(cos50°,sin50°)|＝－eq\f(sin50°,cos50°)·eq\f(cos50°,sin50°)＝－1.(2)原式＝eq\r(sin2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＋eq\r(sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\r(（sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)）2)＋eq\r(（sin\f(α,2)－cos\f(α,2)）2)＝|sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)|＋|sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)|.∵0<α<eq\f(π,2)，∴0<eq\f(α,2)<eq\f(π,4).∴sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)>0，sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)<0.∴原式＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))－(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))＝2coseq\f(α,2).講一講2．求證：eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα).[嘗試解答]法一：左邊＝eq\f(（sinα－cosα＋1）（sinα＋cosα＋1）,（sinα＋cosα－1）（sinα＋cosα＋1）)＝eq\f(（sinα＋1）2－cos2α,（sinα＋cosα）2－12)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－1＋sin2α,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinα（1＋sinα）,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊．∴原等式成立．法二：∵(sinα＋cosα－1)(1＋sinα)＝(sinα－1)(1＋sinα)＋cosα(1＋sinα)＝sin2α－1－cosα(1＋sinα)＝－cos2α＋cosα(1＋sinα)＝cosα(sinα－cosα＋1)∴eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)證明三角恒等式常用的方法有：(1)由繁到簡，從結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一邊入手，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?、配湊，向結(jié)構(gòu)簡單的一邊化簡．(2)從已知或已證的恒等式出發(fā)，根據(jù)定理、公式進(jìn)行恒等變形，推導(dǎo)出求證的恒等式．(3)比較法，證明待證等式的左、右兩邊之差為0.(4)化簡左右兩邊得相同的結(jié)果．練一練2.求證：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ(1＋eq\f(1,tanθ))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).證明：左邊＝sinθ(1＋eq\f(sinθ,cosθ))＋cosθ(1＋eq\f(cosθ,sinθ))＝sinθ＋eq\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ＋eq\f(cos2θ,sinθ)＝(sinθ＋eq\f(cos2θ,sinθ))＋(cosθ＋eq\f(sin2θ,cosθ))＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθ)＋eq\f(cos2θ＋sin2θ,cosθ)＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝右邊．∴等式成立.求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[證明]法一：左邊＝eq\f(\f(sinα,cosα)sinα,\f(sinα,cosα)－sinα)＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(（1＋cosα）（1－cosα）,sinα（1－cosα）)＝eq\f(1＋cosα,sinα).右邊＝eq\f(\f(sinα,cosα)＋sinα,\f(sinα,cosα)sinα)＝eq\f(sinα（1＋cosα）,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα).∴左邊＝右邊，原等式成立．法二：∵左邊＝eq\f(tanαsinα（tanα＋sinα）,（tanα－sinα）（tanα＋sinα）)＝eq\f(tanαsinα（tanα＋sinα）,tan2α－sin2α)＝eq\f(tanαsinα（tanα＋sinα）,tan2α－tan2αcos2α)＝eq\f(tanαsinα（tanα＋sinα）,tan2α（1－cos2α）)＝eq\f(tanαsinα（tanα＋sinα）,tan2αsin2α)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα)＝右邊．∴原等式成立．法三：∵右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，∴原等式成立．法四：∵左邊－右邊＝eq\f(（tanαsinα）2－（tan2α－sin2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α－tan2α＋sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(sin2α－tan2α（1－sin2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(sin2α－\f(sin2α,cos2α)cos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(sin2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝0.∴左邊＝右邊，原等式成立．1．化簡taneq\f(π,5)eq\r(1－sin2\f(π,5))的結(jié)果是()A．sineq\f(π,5)B．－sineq\f(π,5)C．coseq\f(π,5)D．－coseq\f(π,5)解析：選A原式＝taneq\f(π,5)|coseq\f(π,5)|.∵0<eq\f(π,5)<eq\f(π,2)，coseq\f(π,5)>0，∴原式＝eq\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))coseq\f(π,5)＝sineq\f(π,5).2．化簡eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)可得()A．－eq\f(2,tan2θ)B.eqB.\f(2,tan2θ)C．－eq\f(2,tanθ)D.eqD.\f(2,tanθ)解析：選A原式＝eq\f(cosθ[（1－cosθ）－（1＋cosθ）],（1＋cosθ）（1－cosθ）)＝eq\f(－2cos2θ,1－cos2θ)＝－2(eq\f(cosθ,sinθ))2＝－eq\f(2,tan2θ).3．設(shè)0≤x≤2π，且eq\r(1－2sinxcosx)＝sinx－cosx，則()A．0≤x≤πB.eqB.\f(π,4)≤x≤eq\f(7π,4)C.eq\f(π,4)≤x≤eq\f(5π,4)D.eqD.\f(π,2)≤x≤eq\f(3π,2)解析：選Ceq\r(1－2sinxcosx)＝|sinx－cosx|，由已知得|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx－cosx≥0.∴eq\f(π,4)≤x≤eq\f(5π,4).4.eq\r(1－2sin2cos2)＝________．解析：∵2是第二象限角，∴原式＝eq\r(sin22－2sin2cos2＋cos22)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案：sin2－cos25．化簡sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的結(jié)果是________．解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.答案：16．求證：eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,tan2x－1)＝sinx＋cosx.證明：左邊＝eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,\f(sin2x,cos2x)－1)＝eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(cos2x（sinx＋cosx）,sin2x－cos2x)＝eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(cos2x,sinx－cosx)＝eq\f(sin2x－cos2x,sinx－cosx)＝sinx＋cosx＝右邊．∴等式成立．一、選擇題1．已知tanα＝2.則eq\f(cos2α,1－cosα)＋eq\f(cos2α,1＋cosα)＝()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．±2解析：選Ceq\f(cos2α,1－cosα)＋eq\f(cos2α,1＋cosα)＝eq\f(cos2α（1＋cosα＋1－cosα）,（1－cosα）（1＋cosα）)＝eq\f(2cos2α,sin2α)＝eq\f(2,tan2α)＝eq\f(1,2).2．若eq\f(π,2)<x<π，則eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(\r(1－cos2x),sinx)的值是()A．0B．－1C．2D．－2解析：選A∵eq\f(π,2)<x<π，∴原式＝eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(|sinx|,sinx)＝－1＋eq\f(sinx,sinx)＝0.3．若sin2θ＋cos4θ＝1，則sinθ－cosθ＝()A．1B．±1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)解析：選B由sin2θ＋cos4θ＝1，得cos4θ＝1－sin2θ＝cos2θ.∴cos4θ－cos2θ＝0，cos2θ(cos2θ－1)＝0.∴cos2θsin2θ＝0，sinθcosθ＝0，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1.故sinθ－cosθ＝±1.4．已知tanα－eq\f(1,cosα)＝－eq\r(3)，則eq\f(cosα,sinα＋1)＝()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\r(2)D．－eq\r(2)解析：選A∵tanα－eq\f(1,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(1,cosα)＝eq\f(sinα－1,cosα)＝－eq\r(3)，∴eq\f(1－sinα,cosα)＝eq\r(3)，∴eq\f(cosα,sinα＋1)＝eq\f(cosα（1－sinα）,1－sin2α)＝eq\f(1－sinα,cosα)＝eq\r(3).二、填空題5．(1＋tan2θ)cos2θ＝________．解析：原式＝cos2θ＋tan2θcos2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.答案：16．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則化簡eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)的結(jié)果是________．解析：由題意知，角α是第二或第四象限的角．則原式＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0.答案：07．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，則tanα＝________．解析：由已知可得(cosα＋2sinα)2＝5，即4sin2α＋4sinαcosα＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴tanα＝2.答案：28．化簡eq\f(1－sin6θ－cos6θ,1－sin4θ－cos4θ)＝________．解析：原式＝eq\f(1－[（sin2θ）3＋（cos2θ）3],1－[（sin2θ）2＋（cos2θ）2])＝eq\f(1－（sin2θ＋cos2θ）（sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）,1－[（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ])＝eq\f(1－[（sin2θ＋cos2θ）2－3sin2θcos2θ],2sin2θcos2θ)＝eq\f(3sin2θcos2θ,2sin2θcos2θ)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答題9．若sinαtanα<0，化簡eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα)).解：eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋