[核心必知]1．點(diǎn)到直線的距離公式若M(x0，y0)是一平面上一定點(diǎn)，它到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．2．直線的法向量(1)定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線的法向量．(2)公式：設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，則直線l的法向量n＝(A，B)．3．向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用主要有兩方面：一是在幾何中的應(yīng)用；二是在物理中的應(yīng)用．[問(wèn)題思考]1．教材中在證明點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，為什么有d＝|·n0|?提示：如圖所示，過(guò)M作MN⊥l于N，則d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的絕對(duì)值，則||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|∴d＝|·n0|.2．你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，對(duì)具體問(wèn)題是選用向量幾何法還是坐標(biāo)法解決．3．利用向量可以解決哪些物理問(wèn)題？提示：利用向量可以解決物理中有關(guān)力、速度、位移等矢量的合成問(wèn)題以及力對(duì)物體做功的問(wèn)題等．講一講1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n，若D為斜邊AB的中點(diǎn)，(1)求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度(用m，n表示)．[嘗試解答]以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB、CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)．(1)證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴D(eq\f(n,2)，eq\f(m,2))，∴|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，||＝eq\r(m2＋n2)，∴||＝eq\f(1,2)||，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點(diǎn)，所以E(eq\f(n,4)，eq\f(m,4))，設(shè)F(x,0)，則＝(eq\f(n,4)，－eq\f(3,4)m)，＝(x，－m)，∵A、E、F共線，∴＝λ，解得(x，－m)＝λ(eq\f(n,4)，－eq\f(3,4)m)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))即x＝eq\f(n,3)，即F(eq\f(n,3)，0)．＝(eq\f(n,3)，－m)．∴||＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).利用向量解決幾何中常見(jiàn)問(wèn)題的基本策略：(1)證明線段相等，轉(zhuǎn)化為證明向量的長(zhǎng)度相等；求線段的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為求向量的模；(2)證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量平行；(3)證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量垂直；(4)幾何中與角相關(guān)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題；(5)對(duì)于有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平面幾何問(wèn)題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題．練一練1．已知?ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，試求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．講一講2．已知過(guò)點(diǎn)A(0,2)，且方向向量為a＝(1，k)的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且＝12，求k及直線l的方程．[嘗試解答]設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由題意知，l的方程為y＝kx＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x－22＋y－32＝1))得，(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝eq\f(4＋2k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋k2)∵＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12.y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，∴(1＋k2)×eq\f(4,1＋k2)＋2k×eq\f(4＋2k,1＋k2)－8＝0，解得k＝eq\f(1,2)，∴直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋2，即x－2y＋4＝0.向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問(wèn)題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點(diǎn)之一．解決此類問(wèn)題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途經(jīng)主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)．練一練2.過(guò)點(diǎn)M(eq\f(1,2)，1)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)最大時(shí)，求直線l的方程．解：可知圓C的圓心C(1,0)，半徑r＝2∴＝cos∠ACB＝2×2cos∠ACB＝4cos∠ACB當(dāng)最大時(shí)，∠ACB最?。B接CM，當(dāng)AB⊥CM時(shí)，∠ACB最小這時(shí)直線l的法向量為：＝(eq\f(1,2)，1)－(1,0)＝(－eq\f(1,2)，1)．∴l(xiāng)的方向向量為(1，eq\f(1,2))，∴l(xiāng)的斜率為k＝eq\f(1,2)故直線l的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－eq\f(1,2))，即2x－4y＋3＝0.講一講3.一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地，因大霧無(wú)法降落，故轉(zhuǎn)向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．＝20002＋10002－2×1000×2000×eq\f(1,2)＝3×106有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000eq\r(3)km，方向?yàn)槟掀?0°.法二：建立如圖所示的坐標(biāo)系，并取a＝500，則＝(2acos150°，2asin150°)＝(－eq\r(3)a，a)，＝(－2eq\r(3)a，－2a)，∴＝(－eq\r(3)a，－3a)，||＝2eq\r(3)a，即||＝1000eq\r(3)(km)．又cosC＝＝eq\f(6a2＋6a2,4a×2\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，C＝30°，結(jié)合圖形可知的方向?yàn)槟掀?0°，所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000eq\r(3)km，方向?yàn)槟掀?0°.1．由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，所以可以用向量的知識(shí)來(lái)解決；2．物理中的功是一個(gè)標(biāo)量，它是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F|·|s|cosθ.練一練3．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生的位移s＝(2lg5，1)，求這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的功W的值．解：W＝(F1＋F2)·s，又F1＋F2＝(1,2lg2)，s＝(2lg5，1)，所以W＝2lg5＋2lg2＝2.如圖，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1，求：(1)|F1|、|F2|隨角θ的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí)，θ角的取值范圍．[巧思]力的合成與分解滿足平行四邊形法則，合理使用平行四邊形法則及三角形法則對(duì)各量間進(jìn)行分析和運(yùn)算，從三角函數(shù)的角度分析力的變化，從不等關(guān)系研究角的范圍．[妙解](1)如圖所示，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，知－G＝F1＋F2.解直角三角形，得|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，|F2|＝|G|·tanθ.當(dāng)θ從0°趨向于90°時(shí)，|F1|、|F2|皆逐漸增大．(2)令|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)≤2|G|，得cosθ≥eq\f(1,2).又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.

1．過(guò)點(diǎn)A(2，3)，且法向量為n＝(2，1)的直線方程為()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0解析：選A由題意知，可取直線的方向向量為v＝(1，－2)，∴直線的方程為y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位)．設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10，10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2，4)B．(－30，25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析：選C設(shè)5秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形解析：選A由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC為鈍角．4．河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為________．解析：設(shè)小船的靜水速度為v，依題意|v|＝eq\r(22＋102)＝2eq\r(26).答案：2eq\r(26)m/s5．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．解析：由向量加法的平行四邊形法則知F3的大小等于以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)6．已知△ABC為直角三角形，設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，試證：c2＝a2＋b2.證明：以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．則A(b,0)，B(0，a)．∴＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴||＝eq\r(－b2＋a2)＝c.故c2＝a2＋b2.一、選擇題1．已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)與l平行，則實(shí)數(shù)m的值是()A．－1B．1C．2D．－1或2解析：選D取直線l的方向向量v＝(－2，m)，則m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用兩條成60°的繩索拉船，每條繩的拉力大小是12N，則合力的大小為(精確到0.1N)()A．20.6NB．18.8NC．20.8ND．36.8N解析：選C設(shè)兩條繩索的拉力F1，F(xiàn)2的合力為F合．如圖所示，則＝12，F(xiàn)合＝，連接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2||＝2×12cos30°＝12eq\r(3)≈20.8N.3．在△ABC中，若＝0，則△ABC為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．無(wú)法確定4．已知三個(gè)力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力f4，則f4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(1，2)解析：選D由題可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空題5．已知F＝(2，3)作用于一物體，使物體從A(2，0)移動(dòng)到B(－2，3)，則力F對(duì)物體做的功為________．解析：∵＝(－4,3)，∴W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：16．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－eq\r(5)，0)且方向向量為(2，－1)，則原點(diǎn)O到直線l的距離為________．解析：可知直線l的斜率k＝－eq\f(1,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝－eq\f(1,2)(x＋eq\r(5))，即x＋2y＋eq\r(5)＝0，∴原點(diǎn)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),\r(12＋22))＝1.答案：17．在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則＝________.＝eq\f(1,2)(－1－eq\f(1,3)×1×1×cos60°＋eq\f(2,3)×1)＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)8．已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(3)，則＝__________.解析：如圖，取D為AB的中點(diǎn)，∵OA＝1，AB＝eq\r(3)，∴∠AOD＝eq\f(π,3).∴∠AOB＝eq\f(2π,3).∴＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)三、解答題9．一輛汽車在平直公路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo)，測(cè)得風(fēng)向?yàn)闁|偏南30°，風(fēng)速為4m/s，這時(shí)氣象臺(tái)報(bào)告的實(shí)際風(fēng)速為2m/s，試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車速度的大?。猓阂罁?jù)物理知識(shí)，有三對(duì)相對(duì)速度，車對(duì)地的速度為v車地，風(fēng)對(duì)車的速度為v風(fēng)車，風(fēng)對(duì)地的速度為v風(fēng)地，風(fēng)對(duì)地的速度可以看成車對(duì)地與風(fēng)對(duì)車的速度的合速度，即v風(fēng)地＝v風(fēng)車＋v車地∴風(fēng)的實(shí)際方向是正南方，汽車速度的大小為2eq\r(3)m/s.10．試用向量法證明：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍．證明：設(shè)△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，如圖：＝b2－2bccosA＋c2