2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策理論試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n，其中0<p<1。請寫出X的期望E(X)和方差Var(X)的表達(dá)式，并簡要說明你的推導(dǎo)過程。2.已知總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。從總體中抽取樣本容量為n的簡單隨機(jī)樣本，記樣本均值為x?。請寫出μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間公式，并說明該區(qū)間構(gòu)造所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)量及其分布。二、某工廠生產(chǎn)一種零件，已知其長度X服從正態(tài)分布N(μ,0.05^2)。現(xiàn)從中抽取容量為25的樣本，測得樣本均值為10.2毫米。假設(shè)總體方差不變，請分別計(jì)算：1.在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=10versusH1:μ≠10的拒絕域。2.求參數(shù)μ的置信水平為95%的置信區(qū)間。三、設(shè)某產(chǎn)品的壽命X（單位：小時）服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θ*e^(-θx),x>0,θ>0。從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個樣本，測得樣本值為x1,x2,...,xn。1.求參數(shù)θ的矩估計(jì)量。2.求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量。四、已知某商店每周銷售某種商品的量Y（單位：件）與該商品每周的廣告投入X（單位：百元）有關(guān)，且Y滿足Y=β0+β1X+ε，其中ε~N(0,σ^2)?，F(xiàn)獲得以下10周的數(shù)據(jù)：(1,3),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),(6,9),(7,10),(8,11),(9,12),(10,13)1.估計(jì)回歸方程Y=a+bX。2.檢驗(yàn)回歸系數(shù)b是否顯著不為0（取α=0.05）。3.當(dāng)廣告投入為7百元時，預(yù)測該商品每周的銷售量，并給出預(yù)測區(qū)間（置信水平為95%）。五、某研究者想要比較三種不同的教學(xué)方法（A,B,C）對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響。隨機(jī)選取30名學(xué)生，平均分成3組，每組采用一種教學(xué)方法，一段時間后進(jìn)行統(tǒng)一考試，成績?nèi)缦拢〝?shù)據(jù)已按組排序）：組A:75,78,80,82,85組B:78,80,81,83,85組C:80,81,82,84,86假設(shè)各組的成績均服從正態(tài)分布，且方差相等。請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)三種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績是否存在顯著差異（取α=0.05）。六、某公司考慮推出一種新產(chǎn)品。市場分析提供了以下信息：*如果市場需求高，采用新產(chǎn)品可獲利100萬元；如果市場需求低，采用新產(chǎn)品將虧損50萬元。*不采用新產(chǎn)品，則肯定沒有利潤。*市場需求高和低的發(fā)生概率分別為0.6和0.4。公司管理層考慮進(jìn)行一項(xiàng)市場調(diào)研，但調(diào)研結(jié)果并非完全準(zhǔn)確。據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)市場需求高時，調(diào)研預(yù)測也將是高需求的概率為0.8；當(dāng)市場需求低時，調(diào)研預(yù)測也將是低需求的概率為0.7。1.請不使用決策樹，計(jì)算公司采用新產(chǎn)品的期望收益。2.請計(jì)算公司進(jìn)行市場調(diào)研后的期望收益。3.基于以上計(jì)算，公司是否應(yīng)該進(jìn)行市場調(diào)研？簡要說明理由。試卷答案一、1.E(X)=np,Var(X)=np(1-p)。解析思路：X服從二項(xiàng)分布B(n,p)。根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，直接寫出期望和方差公式。2.(μ-t_(n-1,α/2)*σ/√n,μ+t_(n-1,α/2)*σ/√n)。解析思路：由于σ^2已知，故選擇基于Z分布的置信區(qū)間公式。首先明確需要Z分布的臨界值t_(n-1,α/2)，然后代入樣本均值x?、總體標(biāo)準(zhǔn)差σ、樣本容量n即可。二、1.拒絕域?yàn)閧|x?-μ_0|≥z_(α/2)*σ/√n}。解析思路：提出原假設(shè)H0:μ=10。在H0成立時，樣本均值x?~N(10,σ^2/25)。將其標(biāo)準(zhǔn)化得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(x?-10)/(σ/√25)。對于顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為±z_(0.025)。拒絕域即為該統(tǒng)計(jì)量絕對值大于臨界值的區(qū)域。2.(10-z_(0.025)*0.05/√25,10+z_(0.025)*0.05/√25)=(9.9,10.1)。解析思路：直接代入樣本均值x?=10，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.05，樣本容量n=25到上述置信區(qū)間公式中，并計(jì)算z_(0.025)的值（約為1.96）即可得到具體區(qū)間。三、1.θ的矩估計(jì)量為θ?_M=1/x?，其中x?=(x1+x2+...+xn)/n為樣本均值。解析思路：指數(shù)分布的期望E(X)=1/θ。根據(jù)矩估計(jì)法，用樣本均值x?代替總體均值E(X)，即E(X)≈x?，從而得到θ?_M=1/x?。2.θ的似然函數(shù)為L(θ)=θ^n*exp(-θ*Σx_i)。對數(shù)似然函數(shù)為l(θ)=n*lnθ-θ*Σx_i。求導(dǎo)得d/dθl(θ)=n/θ-Σx_i。令其為0，解得θ?_L=n/Σx_i=1/x?。解析思路：寫出指數(shù)分布的似然函數(shù)L(θ)。取對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)l(θ)。對l(θ)關(guān)于θ求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出θ的最大似然估計(jì)量。四、1.回歸方程為Y=3.5+1.1X。解析思路：利用最小二乘法原理計(jì)算回歸系數(shù)b和截距a。b=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)^2。a=?-b*x?。根據(jù)給定數(shù)據(jù)計(jì)算得到b=1.1，a=3.5。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=b/(s_b)，其中s_b=sqrt[Σ(xi-x?)^2/(n-2)]*sqrt(1/Σ(x_i-x?)^2)。計(jì)算得t≈2.121。查t分布表得t_(8,0.025)≈2.306。由于|t|<2.306，不能拒絕H0，即回歸系數(shù)b不顯著。解析思路：對回歸系數(shù)b進(jìn)行t檢驗(yàn)。提出H0:β1=0。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值。查自由度為n-2（此處為8）的t分布表，得到α=0.05時的臨界值。比較t統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小，做出拒絕或不拒絕H0的決策。3.預(yù)測值為Y?=3.5+1.1*7=11.2。預(yù)測區(qū)間為Y?±t_(8,0.025)*s_e*sqrt(1+1/10+(x_0-x?)^2/Σ(xi-x?)^2)，其中s_e=sqrt[Σ(y_i-Y?)^2/(n-2)]。計(jì)算得預(yù)測區(qū)間約為(10.34,12.06)。解析思路：先計(jì)算在x_0=7時的點(diǎn)預(yù)測值Y?。然后計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差s_e。最后代入Y?,x_0,x?,Σ(xi-x?)^2,n,t_(8,0.025)的值到預(yù)測區(qū)間公式中，計(jì)算出具體區(qū)間。五、使用單因素方差分析（ANOVA）檢驗(yàn)。計(jì)算各組均值μ_A,μ_B,μ_C。計(jì)算組內(nèi)平方和SSE，組間平方和SSA。計(jì)算均方MSA=SSA/k-1，MSW=SSE/(n-k)。計(jì)算F=MSA/MSW。查F分布表得F_(α,k-1,n-k)。由于F計(jì)算值>F_(0.05,2,27)，拒絕原假設(shè)，即三種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績存在顯著差異。解析思路：提出原假設(shè)H0:μ_A=μ_B=μ_C。計(jì)算各組的樣本均值和總均值。分解總離差平方和為組內(nèi)平方和（SSE）和組間平方和（SSA）。計(jì)算組內(nèi)均方MSW和組間均方MSA。計(jì)算F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。查自由度為(k-1,n-k)的F分布表，得到α=0.05的臨界值。比較F統(tǒng)計(jì)量與臨界值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。六、1.采用新產(chǎn)品的期望收益E[利潤]=0.6*100+0.4*(-50)=30-20=10萬元。解析思路：直接根據(jù)期望的定義計(jì)算期望收益，即每種結(jié)果下的收益乘以其發(fā)生概率后求和。2.調(diào)研后的期望收益：*若調(diào)研預(yù)測高需求：概率P(高|高)*100+P(低|高)*(-50)=0.8*100+0.2*(-50)=80-10=70萬元。*若調(diào)研預(yù)測低需求：概率P(高|低)*100+P(低|低)*(-50)=0.2*100+0.7*(-50)=20-35=-15萬元。*總期望收益E[調(diào)研后利潤]=P(高)*70+P(低)*(-15)=0.6*70+0.4*(-15)=42-6=36萬元。解析思路：