選修4-2矩陣與變換復(fù)習(xí)第一節(jié)二階矩陣與平面向量及幾種種常見的平面變換第二節(jié)矩陣的乘法及逆變換逆矩陣第三節(jié)特征值與特征向量及矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用典型例題例1.（2009江蘇）求矩陣的逆矩陣.析：本小題主要考查逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為則即故解得：，從而A的逆矩陣為.例2.（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣eq\b\bc\[(\a\al(20,01))對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程．解：，即，……………4分所以解得…………………6分所以．由，得．……………10分例3.（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值[解析]本題主要考查矩陣的乘法運(yùn)算及變換。例4.求將曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得的曲線方程．解：由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣，………3分設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，變換后變?yōu)榱硪稽c(diǎn)，則，即所以又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上，所以，故，即為所求的曲線方程．……………10分例5.已知矩陣,向量.(1)求的特征值、和特征向量、；(2)計(jì)算的值.解：(1)矩陣的特征多項(xiàng)式為得,當(dāng),當(dāng).………5分(2)由得.……7分由(2)得:………………10分練習(xí)1.已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，對(duì)它先作關(guān)于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．（1）分別求兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣M1，M2；（2）求點(diǎn)C在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)．解（1）M1＝eq\b\bc\[(\a\al(10,0－1))，M2＝eq\b\bc\[(\a\al(0－1,10))；（2）因?yàn)镸＝M2M1＝eq\b\bc\[(\a\al(0－1,10))eq\b\bc\[(\a\al(10,0－1))＝eq\b\bc\[(\a\al(01,10))，所以Meq\b\bc\[(\a\al(2,1))＝eq\b\bc\[(\a\al(01,10))eq\b\bc\[(\a\al(2,1))＝eq\b\bc\[(\a\al(1,2))．故點(diǎn)C在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2)．2.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a>b>c,且a+b+c=0,且方程ax2+bx+c=0與x軸的兩交點(diǎn)為A、B，求證：求線段AB在矩陣變換下投影長度的取值范圍。解（1）由題意可得：a>0,c<0.方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.2分由a+b+c=0得b=-(a+c)5分（2）由a+b+c=0知x=1是方程ax2+bx+c=0的根,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得另一根為,,7分線段AB在矩陣變換下投影實(shí)質(zhì)是投影到直線y=x上,所以投影的長度范圍是:.10分3.（2011鹽城二調(diào)）已知矩陣M=的一個(gè)特征值為3，求其另一個(gè)特征值。4.已知矩陣A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(33,cd))，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為α1＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(1,1))，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α2＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(3,－2))．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．解：由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為α1＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(1,1))可得，eq\b\bc\[(\a\al\vs4(33,cd))eq\b\bc\[(\a\al\vs4(1,1))＝6eq\b\bc\[(\a\al\vs4(1,1))，即c＋d＝6；………3分由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α2＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(3,－2))，可得eq\b\bc\[(\a\al\vs4(33,cd))eq\b\bc\[(\a\al\vs4(3,－2))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(3,－2))，即3c－2d＝－2，…………6分解得eq\b\lc\{(\a\al(c＝2，,d＝4．))即A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(33,24))，…………8分A逆矩陣是eq\b\bc\[(\a\al\vs4(eq\F(2,3)－eq\F(1,2),－eq\F(1,3)eq\F(1,2)))5.(揚(yáng)州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))對(duì)應(yīng)的 變換下得到曲線F，求曲線F的方程．解：設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x0′，y0′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0′,y0′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x