第七次課§3.2

向量組的線性相關(guān)性§3.1n維向量了解n維向量的概念理解向量組的線性組合、線性相關(guān)（無關(guān)）的概念掌握向量組相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì)及判定定理教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標及基本要求§3.3

向量組線性相關(guān)性的判定向量組的線性相關(guān)性重點難點向量組的線性相關(guān)性2025/9/272§3.1N維向量一、基本概念及運算Vector1、def：由n個數(shù)組成的有序數(shù)組或，稱為n維向量。列向量(列矩陣)，記作行向量(行矩陣)，記作實向量復(fù)向量全為0零向量至少存在一個非零元素非零向量2025/9/2732、向量組：若干個維數(shù)相同的行向量（列向量）所組成的集合3、矩陣與向量的內(nèi)在聯(lián)系列向量組行向量組2025/9/274二、n維向量的線性運算及其運算律1、同型向量：維數(shù)相同的行（列）向量2、向量相等：3、數(shù)乘：4、加（減）法：5、運算律：略，見教材2025/9/275設(shè)求1）例12）2025/9/276§3.2-§3.3向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合(P72定義3.2.1)2025/9/277則2025/9/278故判斷向量組的線性組合（表示）可轉(zhuǎn)化為判斷其所對應(yīng)的非齊次線性方程組是否有解。無解有解存在唯一解有無窮多解線性方程組的向量形式2025/9/279當方程個數(shù)=未知量個數(shù)時,也可用Cramer法則來判斷結(jié)論1：任一向量都能被基本單位向量組線性表示“非不唯”均可由n維基本向量組表示為α=a1e1+a2e2+…+anen.2025/9/2710例12025/9/2711線性表示（表出）復(fù)習(xí)無解有解存在唯一解有無窮多解2025/9/2712二、向量組的線性相關(guān)性AX=0的向量表示形式

則,當不全為0時（存在非零解）稱線性相關(guān)

當時（只有零解）稱線性無關(guān)

(P73定義3.2.2)2025/9/27132、定理1：只有零解(線性無關(guān))存在非零解(線性相關(guān))結(jié)論：基本單位向量組必線性無關(guān)。(P78定理3.3.2)(P74例3.2.1)2025/9/2714例12025/9/2715例22025/9/2716(P75定理3.2.1)例1(P76例3.2.4)2025/9/2717(P76定理3.2.2)2025/9/2718簡單結(jié)論：(1)：

(2)：相關(guān)對應(yīng)分量成比例。(3)：含零向量的向量組一定線性相關(guān)。(4)：相關(guān)組加個仍相關(guān)。(5)：無關(guān)組減個仍無關(guān)。(6)：無關(guān)組增維仍無關(guān)。(7)：相關(guān)組降維仍相關(guān)。(P73)(P79推論3.3.4)2025/9/2719三、向量組等價(1)：反身性(2)：對稱性(3)：傳遞性2、性質(zhì)(P79定義3.3.1)2025/9/2720定理3.3.4（P79）推論3.3.5（P80）推論3.3.6（P80）等價無關(guān)組所含向量的個數(shù)相等2025/9/2721小結(jié)線性表示（表出）無解有解