小題滿分練4一、選擇題1．(2022·中山模擬)設(shè)全集U與集合M，N的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．M∩N B．M∪NC．(?UM)∪N D．(?UM)∩N答案D解析由Venn圖知，元素屬于N但不屬于M，即陰影部分對應(yīng)的集合為(?UM)∩N.2．(2022·衡水中學(xué)模擬)如果復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(其中i為虛數(shù)單位，b為實數(shù))為純虛數(shù)，那么b等于()A．1B．2C．4D．－4答案A解析eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2b＋－b－4i,5)＝eq\f(2－2b,5)＋eq\f(－b－4,5)i，因為復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)為純虛數(shù)，所以eq\f(2－2b,5)＝0且eq\f(－b－4,5)≠0，解得b＝1.3．“a2＝1”是“直線x＋ay＝1與直線ax＋y＝1平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析因為直線x＋ay＝1與直線ax＋y＝1平行，所以a≠0，且兩直線的斜率相等，即－eq\f(1,a)＝－a，解得a＝±1，而當a＝1時，直線x＋ay＝1為x＋y＝1，同時ax＋y＝1為x＋y＝1，兩直線重合，不滿足題意；當a＝－1時，x－y＝1與－x＋y＝1平行，滿足題意，故a＝－1，又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分條件，所以“a2＝1”是“直線x＋ay＝1與直線ax＋y＝1平行”的必要不充分條件．4．(2022·佛山模擬)核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增過程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數(shù)量Xn與擴增次數(shù)n滿足lgXn＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中p為擴增效率，X0為DNA的初始數(shù)量．已知某個被測標本DNA擴增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴增效率p約為()(參考數(shù)據(jù)：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)A．0.369 B．0.415C．0.585 D．0.631答案C解析由題意知，lg(100X0)＝10lg(1＋p)＋lgX0，即2＋lgX0＝10lg(1＋p)＋lgX0，所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.5．(2022·全國乙卷)分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長(單位：h)，得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是()A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6答案C解析對于A選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為eq\f(7.3＋7.5,2)＝7.4，A選項結(jié)論正確；對于B選項，乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為eq\f(1,16)×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.50625>8，B選項結(jié)論正確；對于C選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值eq\f(6,16)＝0.375<0.4，C選項結(jié)論錯誤；對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值eq\f(13,16)＝0.8125>0.6，D選項結(jié)論正確．6．(2022·韶關(guān)模擬)已知10a＝2,102b＝5，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＋2b>1 B．a(chǎn)b>eq\f(1,8)C．a(chǎn)b>lg22 D．a(chǎn)>b答案C解析由題可知a＝lg2，b＝eq\f(1,2)lg5＝lgeq\r(5)，又eq\r(5)>2，所以a<b，D錯誤；因為10a·102b＝10a＋2b＝10，所以a＋2b＝1，A錯誤；由基本不等式得a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，當且僅當a＝2b時取等號，又因為a＝lg2,2b＝lg5，所以a≠2b，故ab<eq\f(1,8)，B錯誤；由于a＝lg2>0，b＝lg

eq\r(5)>lg2，所以ab>lg22，C正確．7．(2022·常德模擬)已知在△ABC中，B＝eq\f(3π,4)，AB＝1，角A的角平分線AD＝eq\r(2)，則AC等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(3)＋3答案C解析在△ABD中，由正弦定理得eq\f(1,sin∠ADB)＝eq\f(\r(2),sinB)，所以sin∠ADB＝eq\f(sinB,\r(2))＝eq\f(sin

\f(3π,4),\r(2))＝eq\f(1,2)，因為B＝eq\f(3π,4)，所以∠ADB＝eq\f(π,6)，∠BAD＝eq\f(π,12)，所以∠BAC＝eq\f(π,6)，∠ACB＝eq\f(π,12)，sin

eq\f(π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝sin

eq\f(π,3)cos

eq\f(π,4)－cos

eq\f(π,3)sin

eq\f(π,4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(1·sin

\f(3π,4),sin

\f(π,12))＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝eq\r(3)＋1.8．(2022·重慶育才中學(xué)模擬)已知一個盒子中裝有10個乒乓球，其中有7個新球，3個舊球(使用過的球都稱舊球)．在第一次比賽時任意取出2個使用，比賽后放回原盒；在第二次比賽時同樣任意取出2個球使用．記事件Ai為第一次取出的2個球中恰有i個新球(i＝0,1,2)，事件B為第二次取出的球均為新球．則下列結(jié)論中不正確的是()A．事件A0，A1，A2兩兩互斥B．P(B|A1)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(196,675)D．事件B與事件A1相互獨立答案D解析根據(jù)互斥事件的定義，得事件A0，A1，A2兩兩互斥，故A正確；由P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(A1B)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(7,45)，得P(B|A1)＝eq\f(PA1B,PA1)＝eq\f(1,3)，故B正確；P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,7),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,5),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(196,675)，故C正確；由P(B)P(A1)＝eq\f(196,675)×eq\f(7,15)≠P(A1B)，得事件B與事件A1不相互獨立，故D錯誤．9．(2022·西寧模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，則S2022等于()A．2020 B．2021C．2022 D．2024答案C解析當n＝1時，a2＋2S1＝2＋1?a2＝1，當n≥2時，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，兩式相減可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2022＝2022.10．(2022·湖南長郡中學(xué)模擬)已知f(x)＝x3－x，如果過點(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線．則下列結(jié)論中正確的是()A．－1<m<8 B．0<m<7C．－3<m<5 D．－2<m<6答案D解析設(shè)切點為(x0，xeq\o\al(3,0)－x0)，f′(x)＝3x2－1，所以切線斜率為3xeq\o\al(2,0)－1，所以切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)，將(2，m)代入方程得m－(xeq\o\al(3,0)－x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(2－x0)，即2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋2＋m＝0，由題設(shè)知該方程有3個不等實根．令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m，u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，當x<0時，u′(x)>0，當0<x<2時，u′(x)<0，當x>2時，u′(x)>0，所以u(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以u(x)在x＝0時取得極大值u(0)＝2＋m，在x＝2時取得極小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6，由三次函數(shù)圖象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u0＝2＋m>0，,u2＝m－6<0，))解得－2<m<6.11．(2022·十堰統(tǒng)考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則下列結(jié)論正確的是()①直線A1C與平面AFD1垂直；②直線BE與平面AFD1平行；③三棱錐A1－AFD1的體積等于eq\f(2,3)；④平面AFD1截正方體所得的截面面積為eq\f(9,2).A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案D解析以點D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A1(2,0,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，F(xiàn)(0,2,1)，則eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)·(0,2，－1)＝6≠0，顯然A1C與D1F不垂直，故直線A1C與平面AFD1不垂直，①不正確；因為E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，所以BE∥D1F.又BE?平面AFD1，D1F?平面AFD1，所以直線BE與平面AFD1平行，②正確；＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，③不正確；如圖，取棱BC的中點G，連接AG，F(xiàn)G，因為F為棱CC1的中點，所以FG∥AD1，則四邊形AGFD1為平面AFD1截正方體所得的截面，該四邊形AGFD1的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2)，④正確．12．(2022·濟寧模擬)等邊三角形ABC的外接圓的半徑為2，點P是該圓上的動點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最大值為()A．4B．7C．8D．11答案C解析如圖，等邊三角形ABC，O為等邊三角形ABC的外接圓的圓心，以O(shè)為原點，AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．因為AO＝2，所以A(0,2)，設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin60°)＝2R＝4，所以a＝2eq\r(3)，則B(－eq\r(3)，－1)，C(eq\r(3)，－1)．又因為P是該圓上的動點，所以設(shè)P(2cosθ，2sinθ)，θ∈[0,2π]，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2cosθ，2－2sinθ)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－2cosθ，－1－2sinθ)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－2cosθ，－1－2sinθ)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2cosθ(－eq\r(3)－2cosθ)＋(2－2sinθ)(－1－2sinθ)＋(－eq\r(3)－2cosθ)(eq\r(3)－2cosθ)＋(－1－2sinθ)(－1－2sinθ)＝4＋2sinθ＋2eq\r(3)cosθ＝4＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，因為θ∈[0,2π]，所以θ＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,3)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))∈[－1,1]，所以當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最大值為8.二、填空題13．(2022·山東聯(lián)考)a>0，b>0，若2是a與b＋1的等比中項，則a＋b的最小值為________．答案3解析由題可得a(b＋1)＝4，則a＋b＝eq\f(4,b＋1)＋b＝b＋1＋eq\f(4,b＋1)－1≥2eq\r(b＋1·\f(4,b＋1))－1＝2eq\r(4)－1＝3，當且僅當b＋1＝eq\f(4,b＋1)，即b＝1，a＝2時，等號成立．故a＋b的最小值為3.14．(2022·衡水中學(xué)調(diào)研)某班級上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)為________．答案16解析根據(jù)題意，可分三步進行分析：(1)要求語文與化學(xué)相鄰，將語文與化學(xué)看成一個整體，考慮其順序，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)情況；(2)將這個整體與英語全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)順序，排好后，有3個空位；(3)數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，安排物理，有2種情況，則數(shù)學(xué)、物理的安排方法有2×2＝4(種)，所以不同的排課方法的種數(shù)是2×2×4＝16.15．(2022·烏魯木齊模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再將得到的圖象關(guān)于x軸翻折，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))))解析將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，可得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，再將f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象關(guān)于x軸翻折，可得g(x)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).由2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.當k＝－1時，得－eq\f(11π,6)≤x≤－eq\f(5π,6)，當k＝1時，得eq\f(13π,6)≤x≤eq\f(19π,6)，當k＝0時，得eq\f(π,6)≤x≤eq\f(7π,6)，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))上單調(diào)遞減．所以g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6))).16．(2022·中山統(tǒng)考)已知點M為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一象限內(nèi)一點，點F為雙曲線C的右焦點，O為坐標原點，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，則雙曲線C的離心率為________；若MF，MO所在直線分別交雙曲線C于點P，點Q，記直線QM與PQ的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝________.答案4－15解析設(shè)M(x0，y0)，因為4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，所以|MO|＝