微重點1函數(shù)的新定義問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的“新定義”問題，是近幾年高考試題或模擬試題中出現(xiàn)的一種函數(shù)創(chuàng)新試題，一般是以“新定義型”函數(shù)的定義或性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的定義、性質(zhì)、運算等，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和運用數(shù)學(xué)知識綜合解決問題的能力.考點一特征函數(shù)考點二“新定義”函數(shù)的性質(zhì)、運算法則等專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引特征函數(shù)

考點一

(2022·長治模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－[x]([x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.5]＝1，[－0.5]＝－1)，則以下關(guān)于f(x)的性質(zhì)說法錯誤的是A.f(x)是R上的增函數(shù)B.f(x)是周期函數(shù)C.f(x)是非奇非偶函數(shù)D.f(x)的值域是[0,1)例1考向1高斯函數(shù)√對于A，f(1)＝f(2)＝0，故A錯誤；對于B，因為f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，所以f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，故B正確；對于C，f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，f(1.2)≠±f(－1.2)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)，故C正確；對于D，根據(jù)[x]的定義可得x－1<[x]≤x，則0≤x－[x]<1，即f(x)的值域是[0,1)，故D正確.

德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名字命名的函數(shù)f(x)＝

稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)，下列說法正確的是A.f(x)的定義域為{0,1}B.f(x)的值域為[0,1]C.?x∈R，f(f(x))＝0D.任意一個非零有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對任意x∈R恒成立例2考向2狄利克雷函數(shù)√所以函數(shù)的定義域為R，值域為{0,1}，故A，B錯誤；因為f(x)＝0或f(x)＝1，且0與1均為有理數(shù)，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C錯誤；對于任意一個非零有理數(shù)T，若x為有理數(shù)，則x＋T也為有理數(shù)，則f(x＋T)＝f(x)＝1；若x為無理數(shù)，則x＋T也為無理數(shù)，則f(x＋T)＝f(x)＝0，綜上可得，任意一個非零有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對任意x∈R恒成立，故D正確.

(2022·新鄉(xiāng)模擬)黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝例3考向3黎曼函數(shù)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝R(x)，則f(2022)＋

＝_____.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴f(2＋x)＝－f(2－x).又f(x)是奇函數(shù)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)的一個周期為4.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴令x＝0，可得f(2)＝0，∴f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.

(2022·重慶八中調(diào)研)若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì).對于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，函數(shù)φ(n)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，則下列說法正確的是A.φ(5)＝φ(10)B.φ(2n－1)＝1C.φ(32)＝15D.φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*例4考向4歐拉函數(shù)√因為φ(5)＝φ(10)＝4，故A正確；因為當(dāng)n＝4時，φ(15)≠1，故B不正確；因為小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的實數(shù)為1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16個，所以φ(32)＝16，故C不正確；因為當(dāng)n＝2時，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正確.以某些特殊函數(shù)為背景考查函數(shù)的基本概念及應(yīng)用時，關(guān)鍵是理解函數(shù)的實質(zhì)，與熟悉的函數(shù)類比，通過賦特殊值或數(shù)形結(jié)合解決.規(guī)律方法

(1)(2022·東北師大附中模擬)已知符號函數(shù)sgnx＝跟蹤演練1偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則√對于A選項，sgn[f(0)]＝sgn0＝0，A錯；對于C選項，對任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，則sgn[f(2k＋1)]＝sgn1＝1，C對；對于D選項，取k＝2，則sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn0＝0，而|sgn2|＝1，D錯.(2)(2022·滁州模擬)雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，在物理學(xué)眾多領(lǐng)域中有著廣泛的實際應(yīng)用.最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)

令f(x)＝sinhxcoshx，得到下面的結(jié)論：①f(x)為偶函數(shù)；

②f(x)為奇函數(shù)；③f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

④f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.其中正確的是A.①③ B.②③C.①④ D.②④√故f(x)為奇函數(shù)，所以①錯誤，②正確；所以③正確，④錯誤.因為y＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝e－2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，“新定義”函數(shù)的性質(zhì)、運算法則等

考點二

(1)(2022·德州質(zhì)檢)定義在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：①f(x)＝x3；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為A.①②

B.③④C.①③

D.②④例5√設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.故f(x)＝x3是“保等比數(shù)列函數(shù)”；故f(x)＝2x不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；故f(x)＝|x|是“保等比數(shù)列函數(shù)”；故f(x)＝ln|x|不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.(2)函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，對[a，b]上任意兩點x1與x2，有

時，我們稱函數(shù)g(x)在[a，b]上“嚴(yán)格上凹”，稱函數(shù)g(x)在[a，b]上為“凹函數(shù)”，若用導(dǎo)數(shù)的知識可以簡單地解釋為原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(二階導(dǎo)函數(shù))在給定區(qū)間內(nèi)恒為正，即g″(x)>0.則下列函數(shù)中在所給定義域上“嚴(yán)格上凹”的是A.f(x)＝log2x(x>0)C.f(x)＝－x3＋2x

D.f(x)＝sinx－x2(0<x<π)√由題意可知，若函數(shù)在所給定義域上“嚴(yán)格上凹”，則滿足f″(x)>0在定義域內(nèi)恒成立.對于A，f(x)＝log2x(x>0)，對于C，f(x)＝－x3＋2x，則f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x，當(dāng)x>0時，f′(x)<0，不符合題意，故選項C錯誤；對于D，f(x)＝sinx－x2(0<x<π)，則f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在(0，π)上恒成立，不符合題意，故選項D錯誤.利用函數(shù)的凹凸性可以考查函數(shù)值增減的快慢，即考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.進(jìn)一步可以利用二階導(dǎo)數(shù)來新定義凹凸函數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上恒為正值，則說明函數(shù)是凹函數(shù)，否則函數(shù)不是凹函數(shù).規(guī)律方法

(1)定義方程f(x)＝f′(x)的實數(shù)根x0為函數(shù)f(x)的“新不動點”，給出下列函數(shù)：①g(x)＝

x2；②g(x)＝－ex－2x；③g(x)＝lnx；④g(x)＝sinx＋2cosx.其中只有1個“新不動點”的函數(shù)是______.(填序號)跟蹤演練2②③故函數(shù)g(x)有2個“新不動點”，不符合題意；對于②，g(x)＝－ex－2x，則g′(x)＝－ex－2，令－ex－2x＝－ex－2，得x＝1，故函數(shù)g(x)只有1個“新不動點”，符合題意；所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)只有1個“新不動點”，符合題意；對于④，g(x)＝sinx＋2cosx，則g′(x)＝cosx－2sinx，令sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，得3sinx＝－cosx，因為函數(shù)y＝tanx的周期為π，故函數(shù)g(x)有無數(shù)個“新不動點”，不符合題意.(2)在實數(shù)集R上定義一種運算“★”，對于任意給定的a，b∈R，a★b為唯一確定的實數(shù)，且具有下列三條性質(zhì)：(ⅰ)a★b＝b★a；(ⅱ)a★0＝a；(ⅲ)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.若函數(shù)f(x)＝x★，則下列說法正確的是________.(填序號)①函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；④函數(shù)f(x)不是周期函數(shù).①③④對于新運算“★”的性質(zhì)(ⅲ)，令c＝0，則(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3，故①正確；函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，∴函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故②錯誤；專題強(qiáng)化練

1.(2022·眉山模擬)四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達(dá)式為y＝

＋d(x>0)，常用于競爭系統(tǒng)和免疫檢測，它的圖象是一條遞增(或遞減)的類似指數(shù)或?qū)?shù)的曲線，或雙曲線(如y＝x－1)，還可以是一條S形曲線，當(dāng)a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1時，該擬合函數(shù)圖象是A.類似遞增的雙曲線

B.類似遞增的對數(shù)曲線C.類似遞減的指數(shù)曲線

D.一條S形曲線√12345678123456782.若函數(shù)f(x)對?a，b∈R，同時滿足：(1)當(dāng)a＋b＝0時，有f(a)＋f(b)＝0；(2)當(dāng)a＋b>0時，有f(a)＋f(b)>0，則稱f(x)為Ω函數(shù).下列函數(shù)中是Ω函數(shù)的為A.f(x)＝x3＋1

B.f(x)＝x|x|C.f(x)＝ex＋e－x12345678√12345678由條件(1)可知，對?a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝0，故f(x)是奇函數(shù)，由條件(2)可知，當(dāng)a>－b時，f(a)>－f(b)＝f(－b)，故f(x)是增函數(shù)，對于A，f(x)＝x3＋1是增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A不符合；是奇函數(shù)也是增函數(shù)，故B符合；12345678對于C，f(x)＝ex＋e－x，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故C不符合；對于D，當(dāng)x<0時，f(x)>0，而當(dāng)x>0時，f(x)<0，故f(x)在定義域上不是增函數(shù)，故D不符合.3.設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是函數(shù)y＝f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x＝x0，則稱(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱中心.若函數(shù)f(x)＝x3－3x2，A.－8086 B.－8082C.8084 D.808812345678√1234567因為函數(shù)f(x)＝x3－3x2，則f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，令f″(x)＝0，解得x＝1，且f(1)＝－2，由題意可知，f(x)的拐點為(1，－2)，故f(x)的對稱中心為(1，－2)，所以f(2－x)＋f(x)＝－4，84.已知函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域為

，那么就稱函數(shù)f(x)為“D上的k類成功函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k類成功函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍為A.(0,2] B.[0,2]C.(0,2) D.(－2,2)12345678√1234567由題意知函數(shù)f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k類成功函數(shù)”，8即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有兩個不相等的實數(shù)根.1234567設(shè)g(x)＝3x－x3，則原問題可轉(zhuǎn)化為直線y＝k與函數(shù)g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個不同的交點.因為g′(x)＝3－3x2，當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，其圖象如圖所示，所以在(0，＋∞)上，g(x)max＝g(1)＝2.85.(2022·成都質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上有定義，對于任一給定的正數(shù)p，定義函數(shù)fp(x)＝

則稱函數(shù)fp(x)為f(x)的“p界函數(shù)”.若給定函數(shù)f(x)＝x2－2x－1，p＝2，則下列結(jié)論錯誤的是A.fp(f(0))＝f(fp(0))B.fp(f(1))＝f(fp(1))C.fp(fp(2))＝f(f(2))D.fp(fp(3))＝f(f(3))12345678√1234567因為f(x)＝x2－2x－1，p＝2，8對于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正確；對于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B錯誤；對于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正確；對于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正確.6.(2022·重慶市育才中學(xué)模擬)在函數(shù)f(x)上存在A，B兩點，使

，則稱f(x)為“正交函數(shù)”.下列四個函數(shù)中不是“正交函數(shù)”的為A.f(x)＝x－2

B.f(x)＝cosx＋1C.f(x)＝lnx

D.f(x)＝2x－212345678√12345678由題意，要使f(x)為“正交函數(shù)”，則f(x)的圖象與y＝±x在相鄰的象限上有交點即可，對于A，f(x)＝x－2與y＝±x的圖象如圖所示，符合題意；對于B，f(x)＝cosx＋1與y＝±x的圖象如圖所示，符合題意；對于C，f(x)＝lnx與y＝±x的圖象如圖所示，只有一個交點，不符合題意