第2講空間點、直線、平面之間的位置關系專題四

立體幾何與空間向量考情分析高考對此部分的考查，一是空間線面關系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題.考點一空間直線、平面位置關系的判定考點二空間平行、垂直關系考點三翻折問題專題強化練內容索引空間直線、平面位置關系的判定

考點一判斷空間直線、平面位置關系的常用方法(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.核心提煉例1

(1)(2022·廣東聯(lián)考)已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，下列說法正確的是A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若α∥β，m⊥α，n∥β，則m∥nC.若m∥α，m⊥β，則α⊥βD.若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n√對于選項A，m∥α，n∥α，m與n可以平行、異面或者相交，故A錯誤；對于選項B，因為α∥β，m⊥α，所以m⊥β.又n∥β，所以m⊥n，故B錯誤；對于選項C，由m∥α，則存在直線l?α，使得m∥l，又m⊥β，所以l⊥β，且l?α，所以α⊥β，故C正確；對于選項D，因為α⊥β，可設α∩β＝l，則當m∥l，n∥l時，可以得到m∥α，n∥β，但此時m∥n，故D錯誤.(2)(2022·金華模擬)每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，則下列結論正確的是________.①四邊形AECF是平行四邊形；②GH與MN是異面直線；③GH∥平面EAB；④GH⊥BC.①③如圖所示，連接AC，EF，設AC與EF的交點為O，連接BD，MH，EH，EM，則AC與EF相交且相互平分，故四邊形AECF為平行四邊形，故①正確；所以AE∥CF.又G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，連接MG，GH，NM，NH，所以GM∥AE，NH∥CF，所以GM∥NH，且GM＝NH，所以四邊形MNHG是平行四邊形，即GH與MN是共面直線，故②錯誤；易證平面MNHG∥平面EAB，又GH?平面MNHG，所以GH∥平面EAB，故③正確；因為EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，EH，MH?平面EMH，所以BC⊥平面EMH，而GH?平面EMH，GH∩EH＝H，所以GH與BC不垂直，故④錯誤.對于線面關系的存在性問題，一般先假設存在，然后再在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足，則假設成立；若得出矛盾，則假設不成立.規(guī)律方法

(1)(2022·湖南師大附中模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結論錯誤的是A.A，M，O三點共線B.M，O，A1，A四點共面C.B，B1，O，M四點共面D.A，O，C，M四點共面跟蹤演練1√如圖，因為AA1∥CC1，則A，A1，C1，C四點共面.因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理，O，A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點共線，從而M，O，A1，A四點共面，A，O，C，M四點共面.由長方體性質知，OM與BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點不共面.(2)設點E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是線段MB的中點，則A.ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線B.ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線C.ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線D.ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線√連接EF，如圖所示，由題意知AB⊥AD，AB⊥AM，AM＝AD，AB＝AB，則Rt△BAM≌Rt△BAD，所以BM＝BD，因為E，F(xiàn)分別為BD，BM的中點，則EF∥DM，故四邊形FMDE是等腰梯形，所以ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線.空間平行、垂直關系

考點二平行關系及垂直關系的轉化核心提煉

(1)(2022·新高考全國Ⅰ改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則下列結論正確的是________.(填序號)①直線BC1與DA1所成的角為90°；②直線BC1與CA1所成的角為90°；③直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°；④直線BC1與平面ABCD所成的角為45°.例2考向1異面直線所成的角①②④如圖，連接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因為AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，故①正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.連接B1C，則B1C⊥BC1.因為CD∩B1C＝C，CD，B1C?平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1?平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直線BC1與CA1所成的角為90°，故②正確；連接A1C1，交B1D1于點O，則易得OC1⊥平面BB1D1D，連接OB.因為OB?平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.因為C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故④正確.(2)(2022·廣東聯(lián)考)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為________.如圖，連接CD，取CD的中點F，連接EF，BF，則EF∥PD，∠BEF為異面直線PD，BE所成的角.例3

如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點.考向2平行、垂直關系的證明(1)求證：BC1⊥平面AB1C；∵四邊形AA1C1C為矩形，∴AC⊥C1C,又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B，∵C1B?平面CC1B1B，∴AC⊥C1B，又四邊形CC1B1B為菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C∩AC＝C，AC?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)求證：DE∥平面AB1C.如圖，取AA1的中點F，連接DF，EF，∵四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點，∴EF∥AC，又EF?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，同理可得DF∥平面AB1C，∵EF∩DF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF,∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C.(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理.(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質證線線垂直.規(guī)律方法

(2022·西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，AC1的中點.跟蹤演練2(1)求證：MN⊥AA1；連接A1C，如圖，因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C為平行四邊形，故A1C和AC1相交，且交點為它們的中點N，又因為M為A1B的中點，所以MN為△A1BC的中位線，所以MN∥BC.因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，所以AA1⊥MN，即MN⊥AA1.(2)在線段BC1上是否存在一點P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出點P的具體位置；若不存在，請說明理由.存在，當P為BC1的中點時，平面MNP∥平面ABC.連接PN，PM，如圖，因為N為AC1的中點，P為BC1的中點，所以PN∥AB，又PN?平面ABC，AB?平面ABC，所以PN∥平面ABC，又由(1)知MN∥BC，BC?平面ABC，MN?平面ABC，故MN∥平面ABC，又MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，所以平面MNP∥平面ABC.翻折問題

考點三翻折問題，關鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決.核心提煉例4

(1)(2022·南寧模擬)已知正方形ABCD中E為AB中點，H為AD中點，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點，CF＝2FB，CG＝2GD，將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD，則在翻折過程中，以下說法正確的是A.EF∥GH

B.EF與GH相交C.EF與GH異面

D.EH與FG異面√如圖，由CF＝2FB，CG＝2GD，由E為AB中點，H為AD中點，所以EH∥FG，且EH≠FG，所以四邊形EFGH為梯形.梯形EFGH的兩腰EF，HG延長必交于一點，所以EF與GH相交，EH與FG平行，故選項A，C，D不正確，選項B正確.(2)(2022·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是________.(填序號)①BM的長是定值；②點M的運動軌跡在某個圓周上；③存在某個位置，使DE⊥A1C；④A1不在底面BCD上時，BM∥平面A1DE.①②④如圖所示，取CD的中點F，連接MF，BF，AC，易得MF∥A1D，BF∥DE，∵MF?平面A1DE，A1D?平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，同理可得BF∥平面A1DE，又MF∩BF＝F，MF，BF?平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM?平面BMF，∴BM∥平面A1DE，故④正確；又∠BFM＝∠A1DE＝定值，在△MFB中，由余弦定理知，MB2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cos∠MFB，∴BM為定值，故①正確；∴點M的運動軌跡在以點B為圓心，BM為半徑的圓周上，故②正確；∵A1C在平面ABCD內的射影在直線AC上，且AC與DE不垂直，∴不存在某個位置，使DE⊥A1C，故③錯誤.注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關系.易錯提醒

(2022·聊城模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將△ABC沿對角線AC進行翻折，得到三棱錐B－ACD，則下列說法正確的是________.(填序號)①在翻折過程中，三棱錐B－ACD的體積最大為

；②在翻折過程中，三棱錐B－ACD的外接球的表面積為定值；③在翻折過程中，存在某個位置使得BC⊥AD；④在翻折過程中，存在某個位置使得BD⊥AC.跟蹤演練3①②由題意知，當平面BAC⊥平面ACD時，三棱錐B－ACD的體積最大，假設BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，AB，AD?平面BAD，所以BC⊥平面BAD.又BD?平面BAD，所以BC⊥BD，則在Rt△BCD中，斜邊CD的長度要大于4，這與CD＝3矛盾，故③錯誤；又CF＝CF，∠CFB＝∠CFD＝90°，所以△BCF≌△DCF，所以BC＝CD，這與BC＝4，CD＝3矛盾，故④錯誤.假設BD⊥AC，如圖，過點D作DF⊥AC于點F，連接BF.由于BD∩DF＝D，BD，DF?平面BDF，所以AC⊥平面BDF.又BF?平面BDF，所以AC⊥BF，專題強化練

一、選擇題1.(2022·龍巖質檢)已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關系是A.平行

B.相交C.異面

D.平行、相交或異面1234567891011121314畫圖分析可知空間直線的三種位置關系均有可能，故D正確.√12345678910111213142.(2022·湖北八市聯(lián)考)設α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件可以是A.α內有無數(shù)條直線與β平行B.α，β垂直于同一個平面C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一條直線√1234567891011121314對于A，α內有無數(shù)條直線與β平行不能得出α∥β，α內的所有直線與β平行才能得出，故A錯誤；對于B，C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一條直線，不能確定α，β的位置關系，故B，C錯誤；對于D，α，β垂直于同一條直線可以得出α∥β，反之，當α∥β時，若α垂直于某條直線，則β也垂直于該條直線.12345678910111213143.正方體上的點M，N，P，Q是其所在棱的中點，則下列各圖中直線MN與直線PQ是異面直線的圖形是√1234567891011121314對于A，易證MQ∥NP，所以A不符合題意；對于B，如圖，因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1，PQ?平面ABCD，所以MN與PQ無公共點，因為MN與PQ不平行，所以MN與PQ是異面直線，所以B符合題意；對于C，易證PM∥NQ，所以C不符合題意；對于D，易證MN∥PQ，所以D不符合題意.1234567891011121314√1234567891011121314把三棱柱補成如圖所示的長方體，連接B1D，CD，則B1D∥AC1，所以∠CB1D(或其補角)即為異面直線AC1與CB1所成的角.12345678910111213145.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D√1234567891011121314在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；1234567891011121314如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，設AB＝2，則D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，1234567891011121314設平面B1EF的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，可取m＝(2,2，－1)，同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個法向量為n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1,1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯誤；1234567891011121314因為m與n2不平行，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯誤；因為m與n3不平行，所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯誤.6.(2022·華中師大附中模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1D的中點，則下列說法正確的是A.直線PB與直線D1C平行，直線PB⊥平面A1C1DB.直線PB與直線AC異面，直線PB⊥平面ADC1B1C.直線PB與直線B1D1相交，直線PB?平面ABC1D.直線PB與直線A1D垂直，直線PB∥平面B1D1C1234567891011121314√1234567891011121314如圖，連接DB，A1B，D1B1，D1C，B1C，PB，AC，DC1，AB1，由正方體的性質知，A1B∥D1C，又A1B與PB相交，所以PB與D1C不平行，故A錯誤；顯然，直線PB與直線AC異面，直線A1B⊥平面ADC1B1，而直線PB與A1B不平行，所以直線PB不與平面ADC1B1垂直，故B錯誤；直線PB與直線B1D1異面，不相交，故C錯誤；1234567891011121314因為BA1＝BD，P是A1D的中點，所以直線PB與直線A1D垂直，又DB∥D1B1，A1B∥D1C，DB?平面B1D1C，A1B?平面B1D1C，A1B∩DB＝B，A1B，DB?平面BDA1，D1C，D1B1?平面B1D1C，所以平面BDA1∥平面B1D1C，又PB?平面BDA1，所以直線PB∥平面B1D1C，故D正確.12345678910111213147.(2022·中山模擬)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1等于√1234567891011121314連接AB1，交A1B于點Q，連接PA1，PB，PQ，如圖所示.因為AC1∥平面A1BP，AC1?平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面A1BP＝PQ，所以AC1∥PQ，又點Q是AB1的中點，所以P是B1C1的中點，所以PC1＝1.8.如圖1，已知E為正方形ABCD的邊AB的中點，將△DAE沿邊DE翻折到△PDE，連接PC，PB，EC，設F為PC的中點，連接BF，如圖2，則在翻折的過程中，下列命題正確的是1234567891011121314①存在某一翻折位置，使得DE∥平面PBC；②在翻折的過程中(點P不在平面BCDE內)，都有BF∥平面PDE；③存在某一翻折位置，使得PE⊥CD；④若PD＝CD＝PC＝4，則三棱錐P－CDE的外接球的表面積為

.A.①③④

B.②③C.①②④

D.②③④√1234567891011121314對于①，取DC的中點G，連接BG，因為BE∥GD，BE＝GD，所以四邊形DEBG為平行四邊形，所以DE∥GB，而BG與平面PBC相交，所以DE與平面PBC相交，故①錯誤；對于②，連接FG，則FG∥PD，由DE∥GB，易證平面BFG∥平面PDE，而BF?平面BFG，所以BF∥平面PDE，故②正確；對于③，因為PE⊥PD，要使得PE⊥CD，則PE⊥平面PCD，則PE⊥PC，而EC＝ED，此時，只需要PC＝PD即可，故③正確；1234567891011121314對于④，由PD＝CD＝PC＝4可知，PE⊥平面PCD，PE＝2，設△PCD的外接圓半徑為r，設三棱錐P－CDE的外接球半徑為R，二、填空題9.已知l是平面α，β外的直線，給出下列三個論斷：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結論，寫出一個正確命題：__________________________________________.(用序號表示)1234567891011121314若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)因為當l∥α，α⊥β時，l與β可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；因為l∥α，所以α內存在一條直線m與l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即①③作為條件，可以得出②；因為α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l?α，因為l是平面α外的直線，所以l∥α，即②③作為條件，可以得出①.1234567891011121314123456789101112131410.三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝1，過線段BC的中點E作平面EFGH與直線AB，CD都平行，且分別交BD，AD，AC于F，G，H，則四邊形EFGH的周長為________.21234567891011121314因為AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EH，AB?平面ABC，所以四邊形EFGH的周長為2.所以AB∥EH，又點E為BC中點，所以EH為△ABC的中位線，123456789101112131411.(2022·長春模擬)在正方形ABCD中，O為BD的中點，將平面ABD沿直線BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，則直線AB與CD所成角的大小為________.60°1234567891011121314如圖，過B，D作BE∥CD，DE∥CB，且BE，DE交于點E，連接AE，OE，所以直線AB與CD所成角即為∠ABE或其補角，設正方形ABCD的邊長為2，則BE＝AB＝AD＝2，而AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故AE＝2，則△ABE為等邊三角形，故∠ABE＝60°，即直線AB與CD所成角的大小為60°.123456789101112131412.如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A，C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為________.如圖，分別取AC，BD的中點S，E，連接AE，CE，SB，SD，SE.1234567891011121314則AE⊥BD，CE⊥BD，又AE∩CE＝E，AE，CE?平面ACE，則BD⊥平面ACE，則SE⊥BD，AC⊥SD，AC⊥SB，又SD∩SB＝S，SD，SB?平面SBD，則AC⊥平面SBD，則SE⊥AC，則SE是異面直線AC與BD的公垂線段，12345678910111213141234567891011121314三、解答題13