微重點(diǎn)7平面向量的最值與范圍問題專題二

三角函數(shù)與解三角形平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的值域解決問題，同時，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.考點(diǎn)一求參數(shù)的最值(范圍)考點(diǎn)二求向量模、夾角的最值(范圍)專題強(qiáng)化練考點(diǎn)三求數(shù)量積的最值(范圍)內(nèi)容索引求參數(shù)的最值(范圍)

考點(diǎn)一例1[1,4]以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，(2)設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意θ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為A.[－1,3] B.[－1,5]C.[－7,3] D.[5,7]√∵非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|，a·b＝|a||b|cosθ＝2|b|2cosθ，不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意θ恒成立，∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cosθ≥0恒成立，∵cosθ∈[－1,1]，∴－1≤λ≤3.利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0).規(guī)律方法跟蹤演練1√所以λ＝μ＝0，從而有λ＋μ＝0；因為M，B，C三點(diǎn)共線，綜上，λ＋μ的取值范圍是[0,1].求向量模、夾角的最值(范圍)

考點(diǎn)二例2(1)已知e為單位向量，向量a滿足：(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為A.4 B.5 C.6 D.7√可設(shè)e＝(1,0)，a＝(x，y)，則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，則1≤x≤5，－2≤y≤2，即|a＋e|的最大值為6.找兩向量的夾角時，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]；若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線，同理若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線.易錯提醒跟蹤演練2

已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，則|a＋b|＋|a－b|的最大值為________.設(shè)向量a，b的夾角為θ，求數(shù)量積的最值(范圍)

考點(diǎn)三例3√∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，∴(a－b)·(b－c)＝a·b－a·c－b2＋b·c∵cos〈a－b，c〉∈[－1,1]，[－2,2]如圖所示，以C為原點(diǎn)，因為菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，因為點(diǎn)P在BC邊上(包括端點(diǎn))，所以設(shè)P(t，0)，其中t∈[－2,0].向量數(shù)量積最值(范圍)問題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷.(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.規(guī)律方法跟蹤演練3√以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)P(cosα，sinα)(α∈[0，π])，專題強(qiáng)化練

12345678√1234567812345678√1234567812345678√1234567812345678√12345678設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD＝2θ，則AO＝CO＝1，12345678√12345678如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因為AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，12345678√12345678∵|m|＝2，不妨設(shè)m＝(2,0)，由|m＋n|－|m－n|＝2，得|n＋m|－|n－m|＝2，1234567812345678②③④1234567如圖，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，D(－1,2)，E(1,1)，連接OP，設(shè)∠BOP＝α(α∈[0，π])，8得(cosα＋1，sinα)＝λ(0,2)＋μ(2,1)，則2μ＝cosα＋1且2λ＋μ＝sinα，α∈[0，π]，12345678當(dāng)α＝0時，μmax＝1，故②正確；12345678方法一連接AC，BD交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BD所在直線為x軸，AC