6．4平面向量的應(yīng)用6．4.1～6.4.2平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例【課標(biāo)要求】1.用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題及其他實(shí)際問(wèn)題.2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用．【導(dǎo)學(xué)】學(xué)習(xí)目標(biāo)一平面幾何中的向量方法師問(wèn)：把直角三角形兩直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系類比到矩形中，你能發(fā)現(xiàn)矩形兩對(duì)角線長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？生答：例1已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，試用向量方法證明AC⊥BC總結(jié)：(1)基底法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的線性運(yùn)算或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把相關(guān)向量坐標(biāo)化，將長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA＝EF.學(xué)習(xí)目標(biāo)二平面向量在物理中的應(yīng)用師問(wèn)：小明在拉單杠時(shí)感覺(jué)兩臂的夾角越大，拉起來(lái)越費(fèi)力，這是為什么？生答：例2在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大?。孟蛄糠椒ń鉀Q物理問(wèn)題的步驟跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)量m＝2.0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距離，求物體所受各力對(duì)物體所做的功．(g＝9.8N/kg)【導(dǎo)練】1．在△ABC中，若AB·BC+ABA．∠C為鈍角的三角形B．∠B為直角的直角三角形C．銳角三角形D．∠A為直角的直角三角形2．已知三個(gè)力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3，2)，F(xiàn)3＝(7，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使該物體保持平衡，再加上一個(gè)力F4，則F4＝()A．(－2，－2)B．(2，－2)C．(－1，2)D．(－2，2)3．某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)向相同，此時(shí)風(fēng)速大小為v，則此人實(shí)際感到的風(fēng)速為()A．a(chǎn)－vB．v－aC．a(chǎn)＋vD．v4．在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，若AP·AC＝6，則【導(dǎo)思】(多選)點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有()A．若BCOA＋ACOB＋ABOC＝0，則點(diǎn)O是B.若OA·ACAC?ABAB＝OB·BCBC?C．若OA+OB·AB＝OB+OC·BC＝0，則點(diǎn)OD．若O為△ABC外心，且2BO＝BA+BC，則B6．4平面向量的應(yīng)用6．4.1～6.4.2平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)一生答：矩形兩對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和．例1證明：如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°.設(shè)CD＝DA＝12AB＝a由題意知，AC＝AD+DC，∴AC·BC＝(AD+DC)·(＝AD·BA+AD2＋AD·DC+＝0＋a2＋0－2a2＋0＋a2＝0，∴AC⊥BC，即AC⊥BC.跟蹤訓(xùn)練1證明：在正方形ABCD中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則D(0，0)，C(1，0)，B(1，1)，A(0，1)，由P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，令DP＝λDB(0<λ<1)，而DB＝(1，1)，則DP＝(λ，λ)，即P(λ，λ)，由四邊形PFCE是矩形，得E(1，λ)，F(xiàn)(λ，0)，因此AP＝(λ，λ－1)，F(xiàn)E＝(1－λ，λ)，則|AP|＝λ2+λ?12＝2λ2?2λ+1于是|AP|＝|FE|，所以PA＝EF.學(xué)習(xí)目標(biāo)二生答：根據(jù)向量加法的幾何意義，當(dāng)兩臂的夾角為0時(shí)，兩臂的拉力分別為物體重力的一半，所以兩臂的夾角越小越省力．例2解析：如圖，兩根繩子的拉力之和OA+OB＝且|OC|＝|OG|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，從而|OA|＝|OC|·cos30°＝1503(N)，|AC|＝|OC|·sin30°＝150(N)，所以|OB|＝|AC|＝150(N)．所以與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是1503N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N．跟蹤訓(xùn)練2解析：木塊受三個(gè)力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如圖所示，拉力F與位移s方向相同，所以拉力對(duì)木塊所做的功為WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)；支持力FN與位移方向垂直，不做功，所以WN＝FN·s＝0；重力G對(duì)物體所做的功為WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos120°＝－19.6(J)．導(dǎo)練1．解析：在△ABC中，AB·BC+AB2＝AB·(AB+BC)＝AB·AC＝0，∴AB⊥AC，∴∠A＝答案：D2．解析：因?yàn)镕1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3，2)，F(xiàn)3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使該物體保持平衡，只需F4＝－(2，－2)＝(－2，2)，故選D.答案：D3．解析：由題意，某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)向相同，此時(shí)風(fēng)速大小為v，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得此人實(shí)際感到的風(fēng)速為a－v.故選A.答案：A4．解析：平行四邊形ABCD中，AO＝OC，因?yàn)锳P·AC＝6，所以AP·AO＝3，根據(jù)向量的幾何意義可知AP·AO＝AP2＝3，解得AP＝|AP|＝3.答案：3導(dǎo)思解析：對(duì)于A，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AD＝ABc，AE＝ACb，則|AD|＝|AE|＝1，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，則四邊形ADFE是菱形，且AF＝AD+AE＝ABc+ACb，所以AF平分∠BAC，因?yàn)閨BC|OA＋|AC|OB＋|AB|OC＝0即aOA＋bOB＋cOC＝0，所以a·OA＋b·(OA+AB)＋c·(OA+AC)＝0，即(a＋b＋c)OA＋bAB＋cAC＝0，所以AO＝ba+b+cAB+ca+b+cAC＝bca+b+cAB對(duì)于B，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AE＝AC|AC|，AD＝AB|AB|，如圖，則|AD|＝|AE|＝1，且AC|AC|?AB|AB|＝DE，因?yàn)镺A·AC|AC|?AB|AB|＝0，即對(duì)于C，取A