初中數學函數概念教學設計及練習引言函數概念是初中數學知識體系中的一座重要里程碑，它不僅是后續(xù)學習代數、幾何、統計與概率等內容的基礎，更是培養(yǎng)學生抽象思維能力、邏輯推理能力和數學建模思想的關鍵載體。函數的引入，標志著數學學習從對靜態(tài)數量的研究轉向對動態(tài)變化關系的探索。因此，如何設計一套既符合學生認知規(guī)律，又能深刻揭示函數本質的教學方案，并輔以有效的練習，是每位初中數學教師需要深入思考的課題。本文旨在結合教學實踐，探討函數概念的教學設計思路與相應的練習安排。一、函數概念教學設計（一）教學目標1.知識與技能：*學生能夠結合具體情境，理解變量與常量的意義。*初步理解函數的概念，能識別簡單問題中的自變量與函數。*能根據問題中的數量關系，寫出簡單的函數關系式。2.過程與方法：*通過對實際問題和數學問題的分析，經歷從具體到抽象，從特殊到一般的認知過程，體會函數思想。*在觀察、比較、歸納、抽象的過程中，發(fā)展抽象思維能力和初步的建模能力。3.情感態(tài)度與價值觀：*感受數學與生活的密切聯系，體會函數在描述現實世界變化規(guī)律中的作用。*在探索活動中，體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學習數學的興趣和自信心。（二）教學重難點*重點：理解函數的概念，特別是“對于自變量的每一個確定的值，函數值有且只有一個值與之對應”這一核心內涵。*難點：從實際問題中抽象出函數關系，準確把握函數概念的本質，區(qū)分函數與非函數關系。（三）教學過程1.創(chuàng)設情境，引入變量教師活動：（1）展示圖片或視頻：如行駛中的汽車里程與時間的關系、加油站加油量與費用的關系、一天中氣溫隨時間變化的關系等。（2）提出問題：“在這些變化過程中，你能發(fā)現哪些在不斷變化的量？有沒有不變的量？”學生活動：觀察、思考、討論，列舉出如時間、里程、加油量、費用、氣溫等變化的量，以及如速度（在勻速行駛時）、單價等可能不變的量。設計意圖：從學生熟悉的生活實例入手，激發(fā)學習興趣，初步感知“變化”，為引出“變量”和“常量”做鋪墊。2.合作探究，形成概念教師活動：（1）引導學生聚焦某一具體實例進行深入分析。例如，“汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛的路程為s千米，行駛時間為t小時?！?提問1：“在這個過程中，哪些量是變化的？哪些量是固定不變的？”（引導學生說出：s和t是變化的量，速度60千米/小時是不變的量。）*提問2：“當t取一個確定的值時，s的值能確定嗎？例如，t=1時，s=？t=2時，s=？”（引導學生發(fā)現：t的值確定，s的值就唯一確定。）*提問3：“你能用一個式子表示s與t之間的關系嗎？”（s=60t）（2）再給出一個實例，如“購買單價為2元的筆記本，購買x本，付費y元?！?引導學生類似地分析：哪些是變量，哪個變量隨著哪個變量的變化而變化，當一個變量確定時另一個變量是否唯一確定，以及它們之間的關系式（y=2x）。（3）引導學生觀察、比較上述兩個實例，以及之前提到的其他情境，找出它們的共同特征。*共同特征：都有兩個變化的量；一個量變化，另一個量也隨之變化；當其中一個量取定一個值時，另一個量有唯一確定的值與之對應。（4）引出“變量”、“常量”、“自變量”、“函數（因變量）”的概念，并板書規(guī)范定義。*在一個變化過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量。*在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量。*如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。學生活動：參與實例分析，思考并回答問題，嘗試概括共同特征，理解新概念的含義。設計意圖：通過具體實例的細致剖析和比較歸納，幫助學生從直觀感知上升到理性認識，逐步抽象出函數的核心概念，培養(yǎng)抽象概括能力。強調“唯一確定”是函數概念的核心。3.概念辨析，深化理解教師活動：（1）給出一些具體的問題情境或數學表達式，讓學生判斷是否構成函數關系。*例1：一個人的年齡與身高。（不是，因為年齡確定，身高不一定唯一確定，可能還受其他因素影響）*例2：圓的半徑r與圓的面積S。（是，S=πr2，r是自變量，S是r的函數）*例3：對于關系式y=x2，y是x的函數嗎？x是y的函數嗎？（前者是，后者不是，因為對于y=4，x有±2兩個值對應）*例4：下面的表格中，y是x的函數嗎？x1234y3537（是，每個x都對應唯一的y）（2）引導學生總結判斷兩個變量是否構成函數關系的關鍵：一看是否存在兩個變量；二看對于自變量的每一個確定的值，函數值是否有且只有一個值與之對應。學生活動：獨立思考，小組討論，發(fā)表見解，在辨析中深化對函數概念的理解。設計意圖：通過正反例的辨析，突出函數概念的核心要素“單值對應”，幫助學生準確理解函數的本質，突破教學難點。4.初步應用，鞏固新知教師活動：（1）教材例題講解：選擇與生活實際聯系緊密的簡單例題，示范如何根據題意列出函數關系式，并指出其中的自變量和函數。例如：某種大米的單價是4.8元/千克，購買x千克這種大米，付費y元，寫出y關于x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍。（y=4.8x，x≥0且x為非負實數，實際問題中可能還需考慮x為整數等情況）（2）強調在實際問題中，自變量的取值范圍不僅要使函數關系式有意義，還要符合實際意義。學生活動：嘗試獨立完成例題，理解函數關系式的建立過程，明確自變量的取值范圍。設計意圖：通過例題示范和練習，讓學生初步學會運用函數概念解決簡單問題，體會數學的應用性。5.課堂小結，知識梳理教師活動：引導學生回顧本節(jié)課學習的主要內容：*什么是變量、常量？*什么是函數？函數概念的核心是什么？*如何判斷兩個變量之間是否存在函數關系？*如何根據實際問題列出簡單的函數關系式？學生活動：自主總結，相互補充，形成知識網絡。設計意圖：梳理本節(jié)課的知識脈絡，幫助學生構建清晰的知識結構，加深記憶和理解。6.布置作業(yè)，拓展延伸教師活動：布置有層次性的作業(yè)。學生活動：獨立完成作業(yè)。設計意圖：鞏固所學知識，檢測學習效果，并為學有余力的學生提供進一步發(fā)展的空間。二、練習設計（一）基礎鞏固型練習1.指出下列變化過程中的變量與常量：（1）三角形的底邊長為a，高為h，面積S=1/2ah。若a為定長，則在這個關系式中，變量是______，常量是______。（2）一輛汽車從A地駛往B地，所用時間t（小時）與行駛速度v（千米/小時）之間的關系為t=s/v，其中s為A、B兩地間的路程。若s為定長，則變量是______，常量是______。2.下列各題中，分別指出了一個變化過程中的兩個變量x和y，判斷y是不是x的函數：（1）長方形的寬x一定時，其長y與面積S。（將S改為y，即y與x，若寬x一定，長y變化，面積S=y*x，這里原題可能表述有歧義，修改為：長方形的寬為x，長為y，面積S=xy。判斷S是不是x的函數（當y一定時），或判斷S是不是y的函數（當x一定時）。此處建議明確：長方形的長為5cm，寬為xcm，面積為ycm2。判斷y是不是x的函數。答案：是，y=5x）（2）人的體重y與身高x。（不是）（3）y=±√x(x≥0)。（不是）（4）一個正數x的平方根是y。（不是）3.寫出下列問題中的函數關系式，并指出自變量的取值范圍（在實際意義下）：（1）正方形的邊長為x，面積為y，寫出y關于x的函數關系式。（2）一個游泳池的容積為2000立方米，打開進水閥勻速進水，進水速度為v立方米/小時，將空池注滿水所需時間為t小時，寫出t關于v的函數關系式。（二）能力提升型練習4.已知函數y=2x-1。（1）當x=-3時，求y的值；（2）當y=5時，求x的值；（3）當x從1變化到4時，y從______變化到______。5.如圖（此處假設有一個簡單的函數圖像，例如一次函數圖像），是小明從家出發(fā)去學校過程中，離家的距離s（米）與行走時間t（分鐘）的關系圖像。根據圖像回答：（1）小明家到學校的距離是多少米？（2）小明在出發(fā)后第幾分鐘到達學校？（3）圖像中線段AB表示什么意思？（假設AB是水平線段，表示停留）（4）在這個過程中，s是t的函數嗎？為什么？6.思考：下列兩個情境中，哪一個更能體現函數關系？并簡述理由。情境A：某班學生的學號與對應的數學考試成績。情境B：某班學生的數學考試成績與對應的學號。三、教學反思與建議函數概念的教學是一個循序漸進的過程，不可能一蹴而就。在初次接觸時，學生往往難以深刻理解其抽象性和嚴密性。因此，教學中應注意：1.注重概念的形成過程：多從具體實例出發(fā)，引導學生觀察、分析、歸納，讓學生在經歷概念的“再創(chuàng)造”過程中主動建構知識，避免直接灌輸定義。2.強調核心內涵的理解：“對于自變量的每一個確定的值，函數值有且只有一個值與之對應”是函數概念的靈魂，應通過多角度、多層次的辨析練習幫助學生深刻領會。3.關注數學與生活的聯系：選取學生熟悉的生活實例，讓學生感受函數在描述客觀世界變化規(guī)律中的作用，體會數學的應用價值。4.鼓勵學生積極參與：通過提問、討論、合