2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.從一個(gè)包含N個(gè)單元的總體中，按預(yù)先設(shè)定的規(guī)則抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，這種抽樣方法稱為（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣2.在抽樣調(diào)查中，用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，產(chǎn)生誤差的主要來(lái)源是（）。A.測(cè)量誤差B.登記誤差C.抽樣誤差D.系統(tǒng)誤差3.當(dāng)總體各單位標(biāo)志值差異很大時(shí)，為了提高抽樣效率，通常宜采用（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣4.在重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，若樣本量增加一倍，其他條件不變，抽樣平均誤差將變?yōu)樵瓉?lái)的（）。A.1倍B.√2倍C.1/2倍D.√0.5倍5.對(duì)于同一總體、同一抽樣方法、同一樣本量n，總體方差越大，則抽樣平均誤差（）。A.越大B.越小C.不變D.無(wú)法確定二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填寫在題中的橫線上。）6.在分層抽樣中，理想的分層標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足層內(nèi)差異小，層間差異大的原則，這樣做的好處是能夠有效縮小__________。7.抽樣極限誤差通常用字母__________表示，它等于抽樣平均誤差乘以一個(gè)系數(shù)。8.在整群抽樣中，將總體劃分為若干群，抽樣時(shí)直接抽取群?jiǎn)卧缓髮?duì)抽中的群內(nèi)的所有單元進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方式屬于__________抽樣。9.無(wú)偏估計(jì)是指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)的總體參數(shù)，抽樣平均數(shù)和抽樣成數(shù)都是__________估計(jì)量。10.確定樣本量時(shí)，影響樣本量大小的主要因素包括總體方差的大小、允許的抽樣誤差范圍、置信水平以及抽樣方法等。三、簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）11.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用條件。12.簡(jiǎn)述影響抽樣誤差大小的因素有哪些？13.什么是抽樣估計(jì)？它包含哪些基本要素？四、計(jì)算題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。）14.某工廠生產(chǎn)一批零件共10000個(gè)，采用重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得樣本合格率為95%。若要求用95%的置信水平估計(jì)該批零件的合格率，試計(jì)算抽樣平均誤差和合格率的置信區(qū)間。15.某村共有農(nóng)戶500戶，為調(diào)查該村家庭的平均年收入水平，按戶編號(hào)進(jìn)行抽樣。若采用系統(tǒng)抽樣方法，從500戶中抽取50戶進(jìn)行調(diào)查。試確定抽樣間隔k的值，并說(shuō)明如何進(jìn)行抽樣。五、綜合應(yīng)用題（本大題共1小題，共25分。）16.某市欲調(diào)查居民對(duì)城市綠化滿意度的基本情況。該市有居民15萬(wàn)，分屬城區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)區(qū)域，城區(qū)人口10萬(wàn)，郊區(qū)人口5萬(wàn)。由于城區(qū)和郊區(qū)居民對(duì)綠化的關(guān)注點(diǎn)可能存在差異，研究者決定采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查。計(jì)劃抽取樣本總量為800人，其中城區(qū)居民樣本量為600人，郊區(qū)居民樣本量為200人。假設(shè)城區(qū)居民對(duì)綠化表示滿意的比例估計(jì)為80%，郊區(qū)居民的比例估計(jì)為70%。試問(wèn)：（1）該調(diào)查采用了什么抽樣方法中的哪種具體形式？請(qǐng)簡(jiǎn)述其操作步驟。（2）若最終從城區(qū)抽取了612名居民，其中540人表示滿意；從郊區(qū)抽取了198名居民，其中140人表示滿意。試分別計(jì)算城區(qū)和郊區(qū)居民對(duì)綠化滿意度的樣本比例，并分別計(jì)算這兩個(gè)樣本比例的抽樣平均誤差（假設(shè)總體規(guī)模遠(yuǎn)大于樣本量，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣公式近似）。（3）若用總體居民數(shù)作為權(quán)數(shù)，計(jì)算全市居民對(duì)綠化滿意度的樣本比例，并計(jì)算該樣本比例的抽樣平均誤差。（4）若要求以95%的置信水平估計(jì)全市居民對(duì)綠化滿意度的總體比例，給出其置信區(qū)間。試卷答案一、選擇題1.A解析：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指從總體N個(gè)單元中，完全隨機(jī)地抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，每個(gè)單元被抽中的概率相等。題目描述符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義。2.C解析：抽樣誤差是指由于隨機(jī)抽樣引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異，是抽樣調(diào)查中不可避免的誤差來(lái)源。測(cè)量誤差、登記誤差屬于非抽樣誤差。系統(tǒng)誤差雖然可能存在，但抽樣誤差是抽樣調(diào)查的核心誤差。3.B解析：分層抽樣將總體按主要標(biāo)志劃分成若干層，然后在各層內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣。當(dāng)總體單位差異大時(shí)，分層可以保證各層內(nèi)部較為均勻，層間差異較大，這樣可以提高樣本代表性，從而提高抽樣效率。4.D解析：在重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，抽樣平均誤差σ_?=σ/√n。當(dāng)樣本量n增加一倍，即變?yōu)?n時(shí)，抽樣平均誤差變?yōu)棣?√(2n)=σ_?/√2=σ_?*√0.5。5.A解析：抽樣平均誤差σ_?=σ/√n（重復(fù)抽樣）。在其他條件不變的情況下，總體方差σ2越大，抽樣平均誤差σ_?也越大。二、填空題6.抽樣平均誤差解析：分層抽樣的目的是利用分層縮小層內(nèi)方差，增大層間方差。由于層內(nèi)差異小，以層內(nèi)單位均值或比例作為該層代表值，誤差主要來(lái)源于層內(nèi)方差。層間差異大，不同層之間的均值或比例差異大，這會(huì)使得用樣本總均值或總比例估計(jì)總體時(shí)產(chǎn)生誤差，但通過(guò)加權(quán)平均可以減小這種由層間差異帶來(lái)的誤差。關(guān)鍵在于層內(nèi)差異小有助于減少抽樣誤差。7.μ_?_e或δ解析：抽樣極限誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)）與總體參數(shù)（如總體平均數(shù)或總體成數(shù)）之間允許的最大絕對(duì)誤差范圍。用字母μ_?_e（表示平均數(shù)的極限誤差）或δ（希臘字母delta）表示。其計(jì)算公式為μ_?_e=Zα/2*σ_?或p_e=Zα/2*σ_p，其中Zα/2是置信水平對(duì)應(yīng)的臨界值，σ_?或σ_p是抽樣平均誤差。8.整群解析：整群抽樣是將總體劃分成若干群，抽樣時(shí)直接抽取群?jiǎn)卧ㄕ海缓髮?duì)抽中的群內(nèi)的所有或部分單元進(jìn)行調(diào)查。題目描述“直接抽取群?jiǎn)卧缓髮?duì)抽中的群內(nèi)的所有單元進(jìn)行調(diào)查”符合整群抽樣的定義。9.無(wú)偏解析：無(wú)偏估計(jì)的定義是：若估計(jì)量E(θ?)=θ，則稱θ?是參數(shù)θ的無(wú)偏估計(jì)量。抽樣平均數(shù)E(?X)=μ，抽樣成數(shù)E(p)=P，因此它們都是總體均值μ和總體成數(shù)P的無(wú)偏估計(jì)量。10.是解析：樣本量的確定是一個(gè)反推過(guò)程，需要考慮多個(gè)因素：為了獲得較小的抽樣誤差（允許的誤差范圍），通常需要較大的樣本量；較高的置信水平（如99%>95%>90%）對(duì)應(yīng)較大的Z值，需要更大的樣本量；總體方差越大，需要越大的樣本量才能達(dá)到同樣的抽樣精度；不同的抽樣方法（如整群抽樣效率低于分層抽樣）也會(huì)影響樣本量的大小。三、簡(jiǎn)答題11.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指從總體N個(gè)單元中，完全隨機(jī)地抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，每個(gè)單元被抽中的概率相等。其特點(diǎn)包括：（1）直接從總體中抽取樣本單位，無(wú)需經(jīng)過(guò)任何中間環(huán)節(jié)。（2）保證每個(gè)樣本單位被抽中的概率相等（在重復(fù)抽樣中為n/N，在不重復(fù)抽樣中為組合數(shù)C(N,n)/C(N,N)）。（3）抽樣過(guò)程簡(jiǎn)單，概念清晰。適用條件包括：（1）總體單元個(gè)數(shù)N不是非常大，便于編號(hào)。（2）總體單元分布比較均勻，無(wú)明顯聚集或周期性結(jié)構(gòu)。（3）對(duì)抽樣誤差的要求不是非常高，或者作為其他復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)。12.影響抽樣誤差大小的因素主要有：（1）總體方差（σ2或P(1-P)）：總體單位標(biāo)志值或類別分布越分散（方差越大），抽樣誤差越大；反之，越集中（方差越小），抽樣誤差越小。（2）樣本量（n）：在其他條件不變的情況下，樣本量越大，抽樣誤差越小；樣本量越小，抽樣誤差越大。兩者呈平方根反比關(guān)系。（3）抽樣方法：不同的抽樣方法，其抽樣誤差的計(jì)算公式不同，導(dǎo)致抽樣效率不同，從而影響抽樣誤差的大小。一般來(lái)說(shuō)，分層抽樣的效率最高，其次是整群抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣效率相對(duì)較低（在同等樣本量下）。（4）抽樣方式：重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣的抽樣誤差計(jì)算公式不同，不重復(fù)抽樣的誤差通常小于重復(fù)抽樣（在同等樣本量下）。13.抽樣估計(jì)是指利用樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)）的數(shù)值來(lái)推斷或估計(jì)未知的總體參數(shù)（如總體平均數(shù)、總體成數(shù)）的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法。它包含的基本要素有：（1）樣本：通過(guò)抽樣方法從總體中抽取的部分單位構(gòu)成的集合。（2）樣本統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的數(shù)值，用于估計(jì)總體參數(shù)，如樣本均值、樣本成數(shù)等。（3）總體參數(shù)：描述總體特征的未知數(shù)值，是抽樣估計(jì)的目標(biāo)，如總體均值μ、總體成數(shù)P等。（4）抽樣誤差：樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異，是抽樣估計(jì)中不可避免的因素，需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和控制。（5）置信水平（或置信度）：表明估計(jì)可靠性的概率值，通常用(1-α)表示，代表總體參數(shù)落在估計(jì)區(qū)間內(nèi)的概率。（6）置信區(qū)間：根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣誤差計(jì)算得出的一個(gè)區(qū)間范圍，用于估計(jì)總體參數(shù)的可能取值范圍。四、計(jì)算題14.解：（1）樣本量n=200，樣本合格率p?=95%=0.95?？傮w單位數(shù)N=10000。（2）計(jì)算抽樣平均誤差。因?yàn)槭侵貜?fù)抽樣，且總體方差σ2未知，可用樣本方差s2估計(jì)。s2=p?(1-p?)=0.95*(1-0.95)=0.0475抽樣平均誤差σ_?=σ/√n≈s/√n=√0.0475/√200≈0.2174/14.1421≈0.0154（3）計(jì)算置信區(qū)間。置信水平為95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Zα/2=1.96。抽樣極限誤差μ_?_e=Zα/2*σ_?≈1.96*0.0154≈0.0303置信區(qū)間=(p?-μ_?_e,p?+μ_?_e)≈(0.95-0.0303,0.95+0.0303)≈(0.9197,0.9803)答：抽樣平均誤差約為0.0154，合格率的95%置信區(qū)間約為(0.9197,0.9803)。15.解：（1）總體單元數(shù)N=500，樣本量n=50。（2）計(jì)算抽樣間隔k。系統(tǒng)抽樣中，抽樣間隔k=N/n=500/50=10。（3）確定抽樣起點(diǎn)。在1到k（即1到10）之間隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)作為起點(diǎn)，記為R。假設(shè)隨機(jī)確定起點(diǎn)R=7。（4）確定樣本單位。從第R個(gè)單位開始，每隔k個(gè)單位抽取一個(gè)單位，即抽取第7個(gè)，第17個(gè)，第27個(gè)，...，第497個(gè)單位。答：抽樣間隔k=10。抽樣步驟為：確定k=10，隨機(jī)確定起點(diǎn)R（1-10之間），然后從第R個(gè)單位開始，每隔10個(gè)單位抽取一個(gè)單位，共抽取50個(gè)單位構(gòu)成樣本。五、綜合應(yīng)用題16.解：（1）該調(diào)查采用了分層抽樣方法中的分層隨機(jī)抽樣（或稱分層簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）。操作步驟如下：①將總體（該市所有居民戶）按地域劃分為兩個(gè)層：城區(qū)層和郊區(qū)層。②確定各層樣本量。根據(jù)要求，城區(qū)樣本量為600戶，郊區(qū)樣本量為200戶。③在城區(qū)層內(nèi)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（如不重復(fù)抽樣）抽取600戶。④在郊區(qū)層內(nèi)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（如不重復(fù)抽樣）抽取200戶。⑤將抽中的城區(qū)樣本戶和郊區(qū)樣本戶合并，構(gòu)成最終的樣本。（2）計(jì)算樣本比例及抽樣平均誤差：城區(qū)：樣本量n?=612，滿意戶數(shù)x?=540。樣本比例p??=x?/n?=540/612≈0.8851。假設(shè)總體遠(yuǎn)大于樣本，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣公式近似?？傮w城區(qū)人口N?=100000，樣本量n?=612。不重復(fù)抽樣平均誤差公式σ_p??≈√[p(1-p)/n*(N-n)/N]≈√[p??(1-p??)/n?*(N?-n?)/N?]σ_p??≈√[0.8851*(1-0.8851)/612*(100000-612)/100000]≈√[0.8851*0.1149/612*99388/100000]σ_p??≈√[0.1018/612*0.99388]≈√[0.0001663*0.99388]≈√0.0001655≈0.01287。郊區(qū)：樣本量n?=198，滿意戶數(shù)x?=140。樣本比例p??=x?/n?=140/198≈0.7051。總體郊區(qū)人口N?=50000，樣本量n?=198。不重復(fù)抽樣平均誤差公式σ_p??≈√[p??(1-p??)/n?*(N?-n?)/N?]σ_p??≈√[0.7051*(1-0.7051)/198*(50000-198)/50000]≈√[0.7051*0.2949/198*49802/50000]σ_p??≈√[0.2083/198*0.99604]≈√[0.0010538*0.99604]≈√0.0010499≈0.0324。（3）計(jì)算全市樣本比例及抽樣平均誤差：總樣本量n=n?+n?=612+198=810?？倽M意戶數(shù)x=x?+x?=540+140=680。全市居民對(duì)綠化滿意度的樣本比例p?=x/n=680/810≈0.8396。全市總居民數(shù)N=N?+N?=100000+50000=150000。不重復(fù)抽樣平均誤差公式σ_p