2.3三角形的內(nèi)切圓講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 1【題型1】三角形的內(nèi)切圓和外接圓的綜合應(yīng)用 1【題型2】三角形的內(nèi)心和外心的綜合應(yīng)用 7【題型3】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的應(yīng)用 11【題型4】三角形的內(nèi)心 17【題型5】三角形的內(nèi)切圓 23知識(shí)講解知識(shí)講解【知識(shí)點(diǎn)1】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．題型專練題型專練【題型1】三角形的內(nèi)切圓和外接圓的綜合應(yīng)用【典型例題】如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)，交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接CD，EI，IC，當(dāng)AI＝2CD，IC＝6，ID＝5時(shí)，IE的長(zhǎng)為（）A.5B.4.5C.4D.3.5【答案】C【解析】延長(zhǎng)ID到M，使DM＝ID，連接CM．想辦法求出CM，證明IE是△ACM的中位線即可解決問(wèn)題．延長(zhǎng)ID到M，使DM＝ID，連接CM．∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM＝＝8，∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE是△ACM的中位線，∴IE＝CM＝4，故選：C．【舉一反三1】如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠ABC＝90°，點(diǎn)D，E是切點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.CD＝CEB.∠ABO＝45°C.△BCO的外心在△BCO的外面D.四邊形ODCE有外接圓【答案】D【解析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得到OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝CE，故A正確；根據(jù)角平分線的定義得到∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠COD＝∠COE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BOC＝90°+A＞90°是鈍角三角形，推出△BCO的外心在△BCO的外面，故C正確；推出點(diǎn)O、D、C、E四點(diǎn)共圓，得到四邊形ODCE有外接圓，故D錯(cuò)誤．∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，∴CD＝CE，故A正確；∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴OB平分∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正確；∵OD⊥BC，∴∠BOD＝45°，在Rt△CDO與Rt△CEO中，，∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），∴∠COD＝∠COE，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠BOC＝90°+A＞90°是鈍角三角形，∴△BCO的外心在△BCO的外面，故C正確；∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E是切點(diǎn)，∴OD⊥BC，OE⊥AC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴點(diǎn)O、D、C、E四點(diǎn)共圓，∴四邊形ODCE有外接圓，故D錯(cuò)誤，故選：D．【舉一反三2】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D．連接BD，若∠C＝50°，則∠DBE＝

．【答案】65°【解析】設(shè)∠DBC＝α，∠CBE＝β，則∠DAC＝α，根據(jù)內(nèi)心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案．設(shè)∠DBC＝α，∠CBE＝β，則∠DAC＝α，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠DAB＝α，∠ABE＝β，∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°，∴α+β＝65°，則∠DBE＝α+β＝65°．故答案為：65°．【舉一反三3】如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D．（1）求證：DB＝DI；（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求證：BC＝2AM．【答案】證明：（1）連接BI，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∴∠BAD+∠ABI＝∠CAD+∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠IBD，∴DB＝DI．（2）連接OD交BC于點(diǎn)E，∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，BE＝CE，∵OI⊥AD，IM⊥AB，∴∠BED＝∠AMI＝90°，IA＝DI，∵DB＝DI，∴DB＝IA，∵∠DBE＝∠DAC，∠IAM＝∠DAC，∴∠DBE＝∠IAM，在△DBE和△IAM中，，∴△DBE≌△IAM（AAS），∴BE＝AM，∴2BE＝2AM，∵BC＝2BE，∴BC＝2AM．【舉一反三4】如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD、BA相交于點(diǎn)F，∠ADF的平分線交AF于點(diǎn)G．（1）求證：DG∥CA；（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）解；∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴，即，∴AD＝6，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6＝∠DAI，∴DI＝AD，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．【題型2】三角形的內(nèi)心和外心的綜合應(yīng)用【典型例題】一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為6，8，則這個(gè)直角三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為（）A.B.C.2D.3【答案】B【解析】利用在Rt△ABC，可求得AB＝10，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可判定四邊形OECE是正方形，所以用r分別表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r；再利用AB作為相等關(guān)系求出r＝2，則可得AN＝4，N為圓與AB的切點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形中外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，即M為外接圓的圓心；在Rt△OMN中，先求得MN＝AM﹣AN＝1，由勾股定理可求得OM＝．如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD＝OE＝r，∵∠C＝90°，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴AN＝4，設(shè)點(diǎn)M為直角三角形ABC的外心，在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1，∴OM＝．故選：B．【舉一反三1】下列命題正確的是（）A.三角形的內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等B.三角形的內(nèi)心不一定在三角形的內(nèi)部C.等邊三角形的內(nèi)心，外心重合D.一個(gè)圓一定有唯一一個(gè)外切三角形【答案】C【解析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義和圓的外切三角形的定義判斷即可．A、三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，錯(cuò)誤；B、三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部，錯(cuò)誤；C、等邊三角形的內(nèi)心，外心重合，正確；D、經(jīng)過(guò)圓上的三點(diǎn)作圓的切線，三條切線相交，即可得到圓的一個(gè)外切三角形，所以一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形，錯(cuò)誤；故選：C．【舉一反三2】如圖，△ABC的內(nèi)心為I，∠A＝52°，則∠BIC＝

，O為△ABC的外心，則∠BOC＝

．【答案】116°；100°【解析】直接利用三角形內(nèi)心即角平分線的交點(diǎn)，外心是外接圓圓心，進(jìn)而得出答案．∵△ABC的內(nèi)心為I，∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝128°，∴∠BIC＝180°﹣×128°＝116°，∵O為△ABC的外心，∴∠BOC＝100°．故答案為：116°；100°．【舉一反三3】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分∠BAC，交⊙O于D，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心．（1）判斷BC與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若AB＝8，AC＝6，求AD的長(zhǎng)．【答案】解：（1）BC＝DM．理由如下：連接DB、DC、CM，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD，∵BC為直徑，∴∠BDC＝90°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BC＝CD，∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，∴CM平分∠ACB，∴∠MCB＝∠MCA，∵∠DMC＝∠DAC+∠MCA，∠DAC＝∠BCD，∴∠DMC＝∠BCD+∠MCB＝∠MCD，∴DM＝DC，∴BC＝DM；（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如圖，在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑＝＝2，∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，∴AM平分∠BAC，∴ME＝MF，∴四邊形AEMF為正方形，∴AM＝ME，∴AM＝2，而DM＝BC＝5，∴AD＝AM+DM＝7．【題型3】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的應(yīng)用【典型例題】如圖，在△ABC中，內(nèi)切圓O與BC，CA，AB分別切于D，E，F(xiàn)若∠A＝50°，則∠EDF＝（）A.55°B.65°C.75°D.85°【答案】B【解析】先根據(jù)切線的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理求出∠EOF＝130°，再由同圓中同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半即可得到答案．如圖所示，連接OE，OF，∵內(nèi)切圓O與CA，AB分別切于E，F(xiàn)，∴∠AFO＝∠AEO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠AFO﹣∠AEO＝130°，∵點(diǎn)D在圓O上，∴，故選：B．【舉一反三1】如圖，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，內(nèi)切圓⊙O半徑為3，則圖中陰影部分面積和是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圖中陰影部分面積和是△AOB的面積﹣扇形TOQ的面積，進(jìn)而即可求解．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為G，D，R，∴圖中陰影部分面積和是△AOB的面積﹣扇形TOQ的面積，∵OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∴∠OAB+∠OBA＝∠CAB+∠CBA＝55°，∴∠AOB＝180﹣（∠OAB+∠OBA）＝125°，∴S陰影＝S△AOB﹣S扇形＝×10×3﹣×π×32＝15﹣π，故選：A．【舉一反三2】如圖，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為R，AD的長(zhǎng)為h，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓特點(diǎn)作出圓心和三條半徑，分別表示出△ABC的面積，利用面積相等即可解決問(wèn)題．如圖所示：O為△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分線交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別作垂線相交于AB、AC、BC于點(diǎn)E、G、F，S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB?R+BC?R+AC?R＝R（AB+AC+BC），∵AB+AC＝BC，∴S△ABC＝R（BC+BC）＝R?BC，∵AD的長(zhǎng)為h，∴S△ABC＝BC?h，∴R?BC＝BC?h，∴h＝R，∴＝＝，故選：A．【舉一反三3】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于D，E兩點(diǎn)，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，若∠ACB＝70°，則∠AFD的大小是

．【答案】35°【解析】如圖所示，連接OE，OD，OB，設(shè)OB、DE交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB＝125°，再由切線長(zhǎng)定理得到BD＝BE，進(jìn)而推出OB是DE的垂直平分線，即∠OHF＝90°，則∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°．如圖所示，連接OE，OD，OB，設(shè)OB、DE交于H，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，∴，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°，∴，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°，∵⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，E，∴BD＝BE，又∵OD＝OE，∴OB是DE的垂直平分線，∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°，∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°，故答案為：35°．【舉一反三4】如圖，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，M，N，K是切點(diǎn)，連接OA，OC．交⊙O于E，D兩點(diǎn)．點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接DF，EF，則∠EFD的度數(shù)是

．【答案】62.5°【解析】先根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，，進(jìn)而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根據(jù)圓周角定理得出答案．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OA，OC是△ABC的角平分線，∴，．∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∴，∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，∴．故答案為：62.5°．【舉一反三5】如圖，已知在△ABC中，內(nèi)切圓I與邊AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是劣弧DE上一點(diǎn)，探索∠DFE與∠A的數(shù)量關(guān)系．【答案】解：連接IE和ID．∵AB和AC是圓的切線，∴ID⊥AB，IE⊥AC．∴∠ADI＝∠AEI＝90°，∴∠A+∠DIE＝180°，∴∠DIE＝180°﹣∠A．∵∠DFE＝∠1，即∠1＝2∠DFE，又∠1+∠DIE＝360°，∴180°﹣∠A+2∠DFE＝360°，∴2∠DFE﹣∠A＝180°．【舉一反三6】如圖，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圓O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F．（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）求內(nèi)切圓的面積．【答案】解：（1）連接AF，BO，CO，AO∵AC＝AB＝10，BC＝12，圓O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F，∴AF⊥BC，AD＝AE，∴BF＝CF＝6，BD＝BF＝CF＝CE＝6，∴AD＝AE＝4，∵AD＝AE，AB＝AC，∠A＝∠A，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝×12＝，∴△ADE的周長(zhǎng)為：4+4+＝；（2）連接DO，AF，由（1）得：AF＝＝＝8，設(shè)FO＝r，則AO＝8﹣r，∴AD2+DO2＝AO2，∴r2+42＝（8﹣r）2，解得：r＝3，∴內(nèi)切圓的面積為：π×32＝9π．【題型4】三角形的內(nèi)心【典型例題】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O為△ABC的內(nèi)心，若△ABO的面積為20，則△ACO的面積為（）A.20B.15C.18D.12【答案】B【解析】由O為△ABC的內(nèi)心可得，點(diǎn)O到AB，BC，AC的距離相等，則△AOB、△BOC、△AOC面積的比實(shí)際為AB，BC，AC三邊的比．∵O為△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)O到AB，AC的距離相等，∴△AOB、△AOC面積的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面積為20，∴△ACO的面積為15．故選：B．【舉一反三1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)P是△ACM的內(nèi)心，則∠MPC的度數(shù)（）A.等于115°B.可以等于80°C.等于120°D.無(wú)法確定【答案】A【解析】利用三角形內(nèi)角和為180°求出∠B，∠A，設(shè)∠BCM＝x，通過(guò)外角定理與三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出∠CMP，∠MCP，再利用三角形內(nèi)角和定理消去x即可求出結(jié)論．∵∠ACB＝80°，AC＝BC，∴∠B＝∠A＝50°，設(shè)∠BCM＝x°，則∠MCA＝80°﹣x，∴∠AMC＝50°+x，∵點(diǎn)P是ACM的內(nèi)心，∴CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，∴∠MCP＝∠ACP＝MCA＝（80°﹣x），∠CMP＝∠AMP＝AMC＝（50°+x），∴∠MPC＝180°﹣∠MCP﹣∠CMP＝180°﹣（80°﹣x）﹣（50°+x°）＝115°．故選：A．【舉一反三2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝50°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，（1）∠BIC＝

°；（2）若BI的延長(zhǎng)線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，當(dāng)∠ACB＝

°時(shí)，CE∥AB．【答案】（1）115；（2）80【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根據(jù)BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，得出，，根據(jù)∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)當(dāng)∠ABE＝∠E＝25°時(shí)，CE∥AB，得出此時(shí)∠ABC＝2∠ABE＝50°，求出∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝80°．（1）∵在△ABC中，∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，∴，，∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝＝＝115°；故答案為：115；（2）∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∵CE平分∠ACD，∴，∵∠DCE＝∠E+∠CBE，∴，∵，∴，∵當(dāng)∠ABE＝∠E＝25°時(shí)，CE∥AB，∴此時(shí)∠ABC＝2∠ABE＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝80°．故答案為：80．【舉一反三3】如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為

．【答案】（2，3）【解析】根據(jù)點(diǎn)A、B、C在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)等腰三角形三線合一，利用網(wǎng)格確定△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)即可．如圖，點(diǎn)I即為△ABC的內(nèi)心．所以△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)為（2，3）．故答案為：（2，3）．【舉一反三4】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，過(guò)G作DE∥BC分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）已知AG＝6，，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，求GI的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：連接OG，∵∠BAC的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，∴∠BAG＝∠CAG，∴＝，∴OG⊥BC，∵DE∥BC∴OG⊥EF，∵OG是⊙O的半徑，∴DE為⊙O的切線；（2）解：連接BI，BG，∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，∴∠BAI＝∠CBG，∴∠BIG＝∠GBI，∴BG＝IG，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADG，∴＝＝，∵AG＝6，∴AF＝4，∴FG＝2，∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，∴△BGF∽△AGB，∴＝，∴＝，∴BG＝2（負(fù)值舍去），∴GI的長(zhǎng)為2．【舉一反三5】若AD是△ABC角平分線，I是線段AD上的點(diǎn)，且∠BIC＝90°+∠BAC．求證：I是△ABC的內(nèi)心．【答案】解：作△ABC的外接圓⊙O，設(shè)AD的延長(zhǎng)線交⊙O于M，BI的延長(zhǎng)線交⊙O于E．連ME、CE、CM，IC與ME交于點(diǎn)F．則∠MEC＝∠BAC＝∠BEC，因∠BIC＝∠ICE+∠IEC，＝∠ICE+∠MEC+∠BAC，＝90°+∠BAC．則∠ICE+∠MEC＝90°，即IC⊥EF．于是，有△IEF≌△CEF，從而，IF＝FC，即EM是IC的垂直平分線．故MC＝MI，于是，∠MCI＝∠MIC．又∠MCI＝∠MAC+∠ACI，則∠BCI＝∠ACI．即CI平分∠ACB．因此，I是△ABC的內(nèi)心．【題型5】三角形的內(nèi)切圓【典型例題】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接BO并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)D，則∠AOD的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.65°【答案】B【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAB+∠CBA＝90°，由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，得到AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，根據(jù)角平分線的定義得到∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBC＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝45°，故選：B．【舉一反三1】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠FDE＝α，則（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分別為（）A.0，180°﹣2αB.r，180°﹣αC.D.【答案】A【解析】連接IE、IF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)定理得AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，則AF+CD＝AF+CE＝AC，所以AF+CD﹣AC＝0，而∠FIE＝2∠FDE＝2α，則∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝180°﹣2α，于是得到問(wèn)題的答案．連接IE、IF，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∠FDE＝α，∴AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，∴AF+CD＝AF+CE＝AC，∴AF+CD﹣AC＝AC﹣AC＝0，∵∠AEI＝∠AFI＝90°，∠FIE＝2∠FDE＝2α，∴∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝360°﹣90°﹣90°﹣2α＝180°﹣2α，故選：A．【舉一反三2】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，CF＝4，則劣弧EF的長(zhǎng)是（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】A【解析】連接OE、OF，由⊙O與BC、AC分別相切于點(diǎn)E、點(diǎn)F，證明∠OEC＝∠OFC＝90