上海民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DE＝nEA，連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F．（1）嘗試探究：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA時(shí)，BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比延伸：如圖2，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝EA時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展遷移：如圖3，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝nEA時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）；（2）仍然成立，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）嘗試探究：過(guò)點(diǎn)作，交于，可證,，，可得，可證，可得BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系；（2）類比延伸：過(guò)點(diǎn)作，交于，可證，，可得，可證，可得之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展遷移：過(guò)點(diǎn)作，交于，由平行線分線段成比例可得，可得，即可求之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）嘗試探究如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于∵是中線，∴∵，∴，∴∴∴∴∴（2）類比延伸：結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于∵是中線,∴∵，∴，∴∴∴∴∴（3）拓展遷移如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于∵，且∴∴∵∴∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)綜合，根據(jù)題干條件作出輔助線并得到對(duì)應(yīng)的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵.2．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點(diǎn)，過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點(diǎn)E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，．若，，求菱形的邊長(zhǎng)．解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，如圖所示：過(guò)作于由，，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在菱形中，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接．（探索發(fā)現(xiàn)）填空：當(dāng)時(shí)，=．的值是（驗(yàn)證猜想）當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)僅就圖的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展應(yīng)用）在的條件下，若，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）線段的長(zhǎng)為或．【分析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，，由四邊形ABCD為菱形，可求∠ABE=90°，由，可求∠ABC=60°，=30°，由DF⊥BC，DC∥AB，∠FDC=∠EBC=30°，由sin∠FDC=sin∠EBC=，可得CF=CE，可求∠CEF=∠FDC=30°即可；當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．先求，再證．最后證即可；連接，交于點(diǎn)．先求，．．分兩種情況：如圖先求，再證△B′BD∽△EBF，可得，如圖先求．再證△B′BD∽△EBF，．【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，∵，四邊形ABCD為菱形，CD∥AB，∴⊥AB，∴∠ABE=90°，∵，AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∴=∠ABE-∠ABC=90°-60°=30°，∵DF⊥BC，DC∥AB，∴DF⊥AD，∠CDA=180°-∠BAD=60°，∴∠FDC=90°-∠CDA=30°，∠FCD=90°-∠FDC=60°，∴∠FDC=∠EBC=30°，∴sin∠FDC=sin∠EBC=，∵DC=BC，∴CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=∠FCD=30°，∴∠CEF=∠FDC=30°，∴DF=FE，∵cos∠FDC=，∴=，故答案為，．當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，連接．，，．，．．．，即．，，．．，線段的長(zhǎng)為或．連接，交于點(diǎn)．，，，，∵DE=BE，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．分兩種情況：如圖，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．如圖，．∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)]（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍.請(qǐng)將下列的求解過(guò)程補(bǔ)充完整.解：∵∴∵∴.[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)，則的取值范圍.解析：（1）；（2）C；（3）4，4；（4）【詳解】試題分析：本題的⑴問(wèn)抓住函數(shù)是由分式給定的，所以抓住是分母不為0,即可確定自變量的取值范圍.本題的⑵問(wèn)結(jié)合第⑴問(wèn)中的，即或進(jìn)行分類討論函數(shù)值的大致取值范圍，即可得到函數(shù)的大致圖象.本題的第⑶問(wèn)根據(jù)函數(shù)的配方逆向展開(kāi)即推出“（）”應(yīng)填寫“常數(shù)”部分，再根據(jù)配方情況可以得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，的取值范圍.本題的⑷問(wèn)現(xiàn)將函數(shù)改寫為的形式，再按⑶的形式進(jìn)行配方變形即可求的取值范圍.試題解析：（1）由于函數(shù)是分式給定的，所要滿足分母不為0，所以.故填：.（2）即或；當(dāng)時(shí)，的值是正數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第一象限；當(dāng)時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第三象限；所以函數(shù)的圖象只在直角坐標(biāo)系的一、三象限.故其大致圖象應(yīng)選C.（3）∵，∴.故分別填：；（4）∵（這里隱含有首先是正數(shù)）∴∵∴.5．如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作α；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問(wèn)題：（1）探究：若R＝2，m＝1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是；如圖2，當(dāng)α＝°時(shí)，半圓O與射線AB相切；（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說(shuō)明理由．（3）發(fā)現(xiàn)：如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系；cosα＝（用含有R、m的代數(shù)式表示）（4）拓展：如圖5，若R＝m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍，并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）解析：（1）+1；60°；（2）4+2；（3）；（4）m2．【詳解】試題分析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題、（4）當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，求出此時(shí)的面積即可．試題解析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長(zhǎng)即可．在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2，∴O′F=O′M?cos30°=，O′E=+1，∴點(diǎn)O′到AB的距離為+1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，∴AE=O′F=2，∵AM=1，∴EM=1，在Rt△O′EM中，sinα=，∴α=60°故答案為+1，60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．∵O′P=R，∴R=R+1，∴R=4+2．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q=R?cosα，QP=m，∵O′P=R，∴R?cosα+m=R，∴cosα=．故答案為．（4）如圖5中，當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°故答案為90°＜α≤120°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，所以S═﹣?m?m=m2．6．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖，若四邊形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，______；拓展探究如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；解決問(wèn)題如圖，若于G，請(qǐng)直接寫出的值．解析：（1）①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先一步證明△AED~△DFC，然后進(jìn)一步利用相似三角形性質(zhì)求解即可；（2）在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，通過(guò)證明△ADE~△DCM進(jìn)一步求解即可；（3）過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，先證明△BAD≌△BCD，然后進(jìn)一步證明△BCM~△DCN，再結(jié)合勾股定理求出CN，最終通過(guò)證明△AED~△NFC進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED~△DFC，∴，∴①，②若四邊形ABCD為正方形，，故答案為：①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由如下：如圖，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A=∠CDM，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°，∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB，∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB，∴∠CMD=∠AED，∴△ADE~△DCM，∴，即：；（3），理由如下：過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，設(shè)CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CAN=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD與△BCD中，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM~△DCN，∴，∴，∴，在Rt△CMB中，，BM=AM?AB=，由勾股定理可得：，∴，解得：（舍去）或，∴，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF，∴△AED~△NFC，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定和全等三角形性質(zhì)與判定及矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.7．如圖1，兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，填空：①線段與的位置關(guān)系是________；②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是_____．（2）猜想論證：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展探究：已知，平分，，，交于點(diǎn)（如圖4）．若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)求相應(yīng)的的長(zhǎng)．解析：（1）DE∥AC；S1=S2；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）BF的長(zhǎng)為3或6．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后勾股定理求出EG的長(zhǎng)，即可得解【詳解】（1）①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案為：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：S1=S2；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于N，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF1=S△BDE；過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，BG=BC=，∴BD=3∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，∴∠CDE=360°-∠CDF2-∠F2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°，∴∠CDG=90°-∠DCG=60°，又∵BD=CD=3，∴DG=，設(shè)EG為x，則DE=2x,,解得x=1.5,∴BE=BG-EG=4.5-1.5=3，∴BF1=3，BF2=BF1+F1F2=3+3=6，故BF的長(zhǎng)為3或6．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．8．綜合與實(shí)踐（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中.，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，試猜想：①與之間的數(shù)量關(guān)系：______；②______．（2）（拓展探究）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）（解決問(wèn)題）如圖（3），在中，，，，點(diǎn)在射線上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．解析：（1）①；②；（2），．理由見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問(wèn)題；（3）分當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上和當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF=BE，∠DAF=∠E，∵∠AOD=∠EOB，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案為AF=BE，90°．（2），.理由：∵，∴，.∵，∴.∴.∴∵，，，∴.又∵，∴.∴，.∴，，∴.（3）1或2.解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，如圖（1）.∵，∴.∵，∴.∵，∴，.∵，，∴.∵，∴.∴.∴.又，∴，.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖（2）.∵，∴.∴.∴.同理可得.綜上可得，的長(zhǎng)為1或2.【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．9．問(wèn)題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大小．嘗試應(yīng)用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算得答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE、PE的長(zhǎng)即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．綜合與實(shí)踐如圖①，在中中，，，，過(guò)點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖②，當(dāng)時(shí)，__________；如圖③，當(dāng)時(shí)，__________．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖④的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決如圖⑤，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）無(wú)變化，理由詳見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進(jìn)一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，再證明即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為：；；（2）無(wú)變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉(zhuǎn)可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題，此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣．11．問(wèn)題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_(kāi)_____．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為_(kāi)_____．解析：（1），30°；（2）成立，理由見(jiàn)解析；拓展延伸：或【分析】（1）通過(guò)證明，可得，，即可求解；（2）通過(guò)證明，可得，，即可求解；拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為，故答案為：，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，又，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為．拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，由（2）可得：，，，的面積；如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，同理可求：的面積；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．12．在中，，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，若與重合時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)___________；（2）類比探究：如圖2，設(shè)與BC的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展延伸在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）60；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，．（2）為的中點(diǎn)，,山旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，；（3）四邊形四邊形最小即最小，，取的中點(diǎn)，，，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，，即與正合時(shí),最小，，，的最小值，四邊形=．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．13．如圖1，在中，,，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)探索發(fā)現(xiàn)：圖１圖２圖３圖1中，的值為_(kāi)____________；的值為_(kāi)________；(2)拓展探究若將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的大小有無(wú)變化，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)問(wèn)題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．解析：(1);(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進(jìn)而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出△ACD∽△BCE，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在線段AE上和AE的延長(zhǎng)線上，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解:解:(1)如圖1，連接AE,∵AB=AC=2，點(diǎn)E分別是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵AB=AC=2，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據(jù)勾股定理得，BE∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BC=2BE∴∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=AC=1,∴故答案為：,;(2)無(wú)變化,理由:由(1)知,CD=1,,∴,∴,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)線段BE的長(zhǎng)為或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴,∴,在Rt△AFC中,AC=2,根據(jù)勾股定理得,,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴,∴,在Rt△ACG中,根據(jù)勾股定理得,,∴,由(2)知,,∴即:線段BE的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．解析：（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的長(zhǎng)為3或2．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；（2）根據(jù)兩邊的比相等且?jiàn)A角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù)；（3）正確畫圖形，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長(zhǎng)．【詳解】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：①如圖1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，（2）類比探究：如圖2，，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO=∠DBO，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）拓展延伸：①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，∴AB=2OB=2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+(x?2)2＝(2)2，x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x1=3，x2=-2，∴AC=3；②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+（x+2）2=(2)2.x2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x1=-3，x2=2，∴AC=2；.綜上所述，AC的長(zhǎng)為3或2．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問(wèn)題，本題是一道比較好的題目．15．問(wèn)題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若，，DE與BC間的距離為．請(qǐng)證明．拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試?yán)茫?）中的結(jié)論求△ABC的面積．解析：（1），，；（2）見(jiàn)解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)，分別求出S1、S2即可解決問(wèn)題．（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結(jié)論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案為6，9，1．（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面積為5+3=8．由（2）得，□DBHG的面積為．∴△ABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題型，屬于中考?jí)狠S題，16．問(wèn)題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．問(wèn)題探究：在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上，（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)；（2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AD的中點(diǎn)為S，求P'S的最小值．問(wèn)題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C'N交AD于點(diǎn)F．分別過(guò)點(diǎn)A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請(qǐng)直接寫出FH的長(zhǎng)．解析：?jiǎn)栴}情境：.理由見(jiàn)解析；問(wèn)題探究：（1）；（2）的最小值為；問(wèn)題拓展：.【分析】問(wèn)題情境：過(guò)點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F，證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出NF＝MB，證明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出結(jié)論；問(wèn)題探究：（1）連接AQ，過(guò)點(diǎn)Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)H、I，證出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PC，證明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性質(zhì)得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)S作SK⊥DO'，垂足為K，即可得出結(jié)果；問(wèn)題拓展：延長(zhǎng)AG交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)FH交CD于P，則EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，證明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，證明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，證明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，證明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．【詳解】問(wèn)題情境：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn).所以四邊形為平行四邊形.所以.所以，所以，又因?yàn)?，所?，所以.因?yàn)?，所以，所?問(wèn)題探究：（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn).易得四邊形矩形.所以且.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以.所以是等腰直角三角形，.所以.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以.所以.所以.所以.所以.所以是等腰直角三角形，，即.（2）如圖所示，連接交于點(diǎn)，由題意易得的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的落點(diǎn)為.易知.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).易證：，所以，因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以，易得，所以.所以.所以，故.所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則的最小值為.問(wèn)題拓展：解：延長(zhǎng)AG交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)FH交CD于P，如圖4：則EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴，即，解得：，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴，解得：∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴，即，解得：FP＝，∴FH＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．17．（問(wèn)題）如圖1，在中，，過(guò)點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過(guò)推理就可以得到，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請(qǐng)完成證明過(guò)程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請(qǐng)你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見(jiàn)解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見(jiàn)解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推