第10講導(dǎo)數(shù)之單調(diào)性、最值、極值【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一．函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)有以下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.二．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)椋椿?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.三．函數(shù)極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且，若在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn).函數(shù)的極值是相對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).四．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).五．函數(shù)的最大值、最小值若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn)，則該函數(shù)在上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.六．求函數(shù)的最大值、最小值的一般步驟設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在可導(dǎo)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.【典型例題】例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中（文））已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為．（1）求a，b的值；（2）的極值．【詳解】（1）解：，，；（2）解：由（1）得，令，得或，，－1（－1，3）3＋0－0＋的極大值為，極小值為.例2．（2021·陜西禮泉·高三開(kāi)學(xué)考試（文））設(shè)，函數(shù).（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即為.（2）解：因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且；②在時(shí)取得極大值；③函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，這三個(gè)條件中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件將下面的題目補(bǔ)充完整（只要填寫(xiě)序號(hào)），并解答本題．題目：已知函數(shù)存在極值，并且______．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值【詳解】選①：（1），所以，故；（2）由，所以單調(diào)遞增，故，．選②：因?yàn)椋杂深}意知，解得，故，經(jīng)檢驗(yàn)在時(shí)取得極大值，故符合題意，所以，（2），令，所以或，所以或時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，，，所以，；選③：由題意知，又因?yàn)?，所以，解得，所以，?），所以單調(diào)遞增，故，．例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，求的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，極小值，無(wú)極大值（2）①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，，解得不滿(mǎn)足，故舍去②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，單調(diào)遞增，解得，不滿(mǎn)足，故舍去③當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，解得，滿(mǎn)足綜上：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù).例6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【詳解】，記，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，所以且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上可知：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且，為的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式f（x﹣1）＞0的解集為（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得不等式的解集．【詳解】因?yàn)闀r(shí)，故在為增函數(shù)，而為上的奇函數(shù)，故在為增函數(shù)，因?yàn)椋?又即為或或，故或或無(wú)解，故或，故不等式解集為.故選：A．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則在下列區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間．【詳解】因?yàn)椋傻没颍鰠^(qū)間為，故選：B．3．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上為減函數(shù)B．在處取得極小值C．在區(qū)間上為增函數(shù)D．在處取得極大值【答案】B【分析】函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷．【詳解】由圖知，或時(shí)，，時(shí)，，因此在和上遞減，在上遞增，是極小值，是極大值．只有B正確．故選：B．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在上是可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式解集為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)符號(hào)法則將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，結(jié)合圖象即可解出．【詳解】原不等式等價(jià)于或，結(jié)合的圖象可得，或，解得或或．故選：D．5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．和 B．和C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)大于零，可求出函數(shù)的增區(qū)間【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令，得，所以函?shù)的增區(qū)間為，故選：D6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將代入得到切點(diǎn)為，求導(dǎo)得到，從而得到，解方程組得到，再利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】將代入得到，所以切點(diǎn)為.因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以函數(shù)的增區(qū)間為.故選：C7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到答案．【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在（-∞，-2），（0，+∞）上單調(diào)遞減，

在（-2，0）上單調(diào)遞增，

故選：A．8．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論是（）A．是極大值，是極小值；B．沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；C．有最大值，沒(méi)有最小值；D．有最小值，沒(méi)有最大值.【答案】C【分析】先函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在令解出，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析出極大值與極小值.【詳解】由，得，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是極小值，是極大值，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)槭菢O小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值,也是最大值，所以有最大值，沒(méi)有最小值，所以C正確，BD錯(cuò)誤.故選：C9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)得，則，由此可求答案．【詳解】解：由題意得，若函數(shù)有極值，則，解得，故選：A．10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)，則（）A．既有極大值，也有極小值 B．有極小值，無(wú)極大值C．有極大值，無(wú)極小值 D．既無(wú)極大值，也無(wú)極小值【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判定極值即可.【詳解】依題意，；令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且函數(shù)無(wú)極大值，故選：B．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)可導(dǎo)，則“有實(shí)根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合極值與充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】，但在零點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)都同時(shí)大于零或者小于零時(shí)在零點(diǎn)處無(wú)極值，但有極值則在極值處一定等于.所以“有實(shí)根”是“有極值”的必要不充分條件.故選：A12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象知在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝－2是極大值；在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，x＝－1是極小值；在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝2是極大值；所以f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在處有極值10，則a，b的值為（）A．，，或， B．，，或，C．， D．，【答案】C【分析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在處有極值10，建立方程組，解出a、b，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得：，解得：或.當(dāng)時(shí)，，在x=1的左右兩側(cè)正負(fù)相反，所以在處有極值，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在處無(wú)極值，應(yīng)舍去；故選：C14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由有兩個(gè)不等的正實(shí)根（轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)根）可得參數(shù)范圍．【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，則因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)所以有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則有，解得所以滿(mǎn)足條件的取值范圍為故選：D.15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的（）A．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為 B．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為C．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為 D．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.【詳解】，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，由可得?所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.因此，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.故選：A16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，求得其最大值點(diǎn)，再根據(jù)在區(qū)間上有最大值，由最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中的元素求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，且在區(qū)間上有最大值，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在區(qū)間內(nèi)有最小值，可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可求解.【詳解】由，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值.此時(shí)函數(shù)必定存在極值點(diǎn)，由，設(shè)，為一元二次方程的兩根，有不妨設(shè)，故只需要即可，令，有，解得.故選：C.18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，可得的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)題意，可得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得答案.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，令，得或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn).由在區(qū)間上存在最小值，可得，解得，此時(shí)，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：D.二、多選題19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合所給區(qū)間列出關(guān)于的不等關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)可求正確答案.【詳解】定義域?yàn)?，；由得函?shù)的增區(qū)間為；由得函數(shù)的減區(qū)間為；因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以或解得或；結(jié)合選項(xiàng)可得A,C正確.故選：AC.20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是的極小值點(diǎn)C．是的極小值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)【答案】CD【分析】根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)極值點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以A不正確；不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以B不正確；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以C正確；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以D正確.故選：CD.21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，D．函數(shù)的極大值為【答案】ABD【分析】對(duì)A，B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷，，的大小以及的單調(diào)性，對(duì)C，D由極值的定義即可判斷.【詳解】解：由題圖知可，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，故C正確；對(duì)D，函數(shù)的極大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的（）A．在時(shí)取極小值 B．在時(shí)取極大值C．是極小值點(diǎn) D．是極小值點(diǎn)【答案】AC【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的極值和極值點(diǎn)【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以在時(shí)取極小值，所以A正確，當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以是極小值點(diǎn)，所以C正確，而和，左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值同號(hào)，所以和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以BD錯(cuò)誤，故選：AC23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．時(shí)，取得最大值 D．時(shí)，取得最小值【答案】AB【分析】由圖象可確定的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，由單調(diào)性知為極大值，當(dāng)時(shí)，可能存在，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由單調(diào)性知，D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于的方程，解出即可【詳解】解：由，得，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間是，所以的解集為，所以是方程的一個(gè)根，所以，解得，故答案為：25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)圖像可知，應(yīng)滿(mǎn)足，解得.26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】求出，考慮且不恒為零時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上恒成立，且不恒為零.在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，故即，而當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有，故不恒為零.的最小值為.填.【點(diǎn)睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則且不恒為零．27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在恒成立，參變分離，即在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可求出其最大值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以，即故答案為：28．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為_(kāi)_________【答案】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求出極大值點(diǎn)，最后代入原函數(shù)可求得極大值.【詳解】由題意得，，，解得，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為.故答案為：29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)是___________.【答案】1【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn).【詳解】的定義域?yàn)?，，所以令，解得，令，解得，所以為的極值點(diǎn).故答案為：1.【點(diǎn)睛】求極值（極值點(diǎn)）需研究函數(shù)的單調(diào)性：①；②在左右兩側(cè)單調(diào)性相反.30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時(shí)有極值0，則m＋n=________.【答案】11【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在有極值，可以得到，代入求解可得或，經(jīng)檢驗(yàn)，即可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，聯(lián)立可得或；當(dāng)時(shí)函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值，所以舍去；所以，所以.故答案為：11.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的性質(zhì)：若函數(shù)在取得極值，則．反之結(jié)論不成立，即函數(shù)有，函數(shù)在該點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，（還得加上在兩側(cè)有單調(diào)性的改變），本題屬于基礎(chǔ)題．31．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.四、解答題32．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】求出函數(shù)f(x)定義域并求出其導(dǎo)數(shù)，分，兩類(lèi)確定不等式、的解集即可.【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，令，得：；令，得；當(dāng)時(shí)，令，得：或，令，得；因此，當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；當(dāng)時(shí)，在，遞減；在遞增．33．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(其中常數(shù))，討論的單調(diào)性；【答案】當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)一元二次方程的判別式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，記，，①當(dāng)，即時(shí)，，故，所以在單調(diào)遞增．②當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，，注意到，且對(duì)稱(chēng)軸，故，所以當(dāng)或時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．34．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根之間的大小關(guān)系、函數(shù)的定義域分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．35．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（），討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】求導(dǎo)，分，討論求函數(shù)的單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．36．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，當(dāng)時(shí)﹐由得，由，得，由，得，于是有在上遞增，在上遞減,綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)﹐在上遞增，在上遞減.37．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，討論的單調(diào)性.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得（），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】（1）當(dāng)時(shí)令得或（舍）當(dāng)時(shí)，；時(shí)，于是的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得于是①當(dāng)時(shí)在恒成立②當(dāng)時(shí)在恒成立；在恒成立綜上所述當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】由題設(shè)知定義域?yàn)?0,＋∞)、，討論參數(shù)判斷的符號(hào)，即可確定的單調(diào)性.【詳解】解：的定義域是，，對(duì)于，①△即時(shí)，在恒成立，故在遞減，②△時(shí)，時(shí)，令，解得：（舍，，故時(shí)，，時(shí)，，故在遞增，在遞減，時(shí)，令，解得：，，故時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故在遞減，在遞增，在遞減；綜上：時(shí)，在遞減，時(shí)，在遞增，在遞減，時(shí)，在遞減，在遞增，在遞減．39．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極大值.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求和的解，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值點(diǎn)，代入求出極大值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，令，則或，令，則所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）由（1）可知：時(shí)，有極大值為.40．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用求解；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，利用二次函數(shù)的最值求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，依題意有，故，此時(shí)，取得極大值，所以；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，設(shè)，只需，即.41．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值．【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，即可確定極值；（2）由（1）先確定函數(shù)在上的單調(diào)性，再由題中條件，得出，進(jìn)而可求出最大值.【詳解】（1），或當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：0200極小值極大值則極大值為，極小值為；（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，，所以最小值為，即，最大值在或處取，，，所以在上的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)極值，以及最值，屬于?？碱}型.42．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）最大值為；最小值為．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：（1），令，得，與的變化情況如下：↗↘↗的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最大值為；在區(qū)間上的最小值為，，且，在區(qū)間上的最小值為．43．（2021·天津市第一零二中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線(xiàn)方程；（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；（3），.【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線(xiàn)斜率，由此可得切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定所求極值點(diǎn)；（3）由（2）可得