5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第1課時兩角差的余弦公式——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進階式教學(xué))[課時目標]1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，掌握余弦公式的結(jié)構(gòu)特征.2.知道兩角差余弦公式的意義，掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用.公式cos(α－β)＝________________簡記符號C(α－β)使用條件α，β為任意角|微|點|助|解|(1)公式的左邊是差角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和式，可用口訣“余余正正號相反”記憶公式．①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號相反．(2)公式的適用條件：公式中的α，β不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團體”，如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq\f(α＋β,2)”相當(dāng)于公式中的α，“eq\f(α－β,2)”相當(dāng)于公式中的β.基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(2)對于任意角α，β，總有cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(3)對于任意角α，β，總有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()2．cos25°＝()A．cos30°cos5°－sin30°sin5°B．cos30°cos5°＋sin30°sin5°C．sin30°cos5°－cos30°sin5°D．cos30°sin5°－sin30°cos5°3．cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝()A．－eq\f(1,2)B.eqB.\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eqD.\f(\r(3),2)題型(一)給角求值問題[例1]求下列各式的值：(1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°；(2)sin100°sin(－160°)＋cos200°cos(－280°)．聽課記錄：|思|維|建|模|兩角差的余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開求解．(2)含有常數(shù)的式子，先將常數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解．[針對訓(xùn)練]1.eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°的值是()A.eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),2) D．－eq\f(\r(6),2)2．化簡下列三角函數(shù)的值．(1)eq\f(\r(3),2)cos75°＋eq\f(1,2)sin75°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))sinθ.題型(二)給值(式)求值問題[例2]已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝________.聽課記錄：[例3]已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sinα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，求cosβ的值．聽課記錄：|思|維|建|模|給值求值問題的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[針對訓(xùn)練]3．已知sinα＝eq\f(15,17)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值為________．4．若α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，sin(α－β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值．題型(三)給值求角問題[例4]已知α，β均為銳角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．聽課記錄：|思|維|建|模|已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．[針對訓(xùn)練]5．已知α，β為銳角，cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，求β的值．eq\a\vs4\al(課下請完成課時跟蹤檢測五十五)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第1課時兩角差的余弦公式?課前預(yù)知教材cosαcosβ+sinαsinβ[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]1.(1)√(2)×(3)×2.B3.B?課堂題點研究[例1]解:(1)原式=cos80°cos35°+sin80°·sin35°=cos(80°35°)=cos45°=22(2)原式=sin(180°80°)sin(180°+20°)+cos(20°+180°)cos(80°360°)=sin80°·(sin20°)+(cos20°)cos80°=(cos20°·cos80°+sin20°sin80°)=cos(20°80°)=12[針對訓(xùn)練]1.選A原式=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°15°)=cos45°=222.解:(1)32cos75°+12sin=cos30°cos75°+sin30°sin75°=cos(30°75°)=cos(45°)=22(2)cosπ4+θcosθ+sinπ4=cosπ4+θ?θ[例2]解析:因為cosα=35,α∈3π所以sinα=45所以cosα?π3=cosαcosπ3+sinαsinπ3=35×12答案:3?4[例3]解:因為α,β∈0,π2,所以α+β∈(0,π則sin(α+β)>0,sin(α+β)=1?cos2(α+β)=6365,cosα=1?sin2α=35,所以cosβ=cos(α+βα)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin[針對訓(xùn)練]3.解析:∵sinα=1517,α∈π2,π,∴cosα=1?sin2∴cosπ4?α=cosπ4cosα+sinπ4sinα=22×?8答案:74.解:因為α,β∈0,π2,所以αβ∈?π2,π2.又sin(αβ)=513所以cosα=1?sin2α=45,cos(αβ)=則cosβ=cos[α(αβ)]=cosαcos(αβ)+sinαsin(αβ)=45×1213+35×5[例4]解:∵α,β均為銳角,∴sinα=55sinβ=310∴cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=255×1010+55×又sinα<sinβ,∴0<α<β<π2∴π2<αβ<0