第1課時單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性 [核心必知]1．任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1)單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓．(2)正弦、余弦函數(shù)的定義：如圖所示，設(shè)α是任意角，其頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓O交于點P(u，v)，那么點P的縱坐標(biāo)v叫作角α的正弦函數(shù)，記作v＝sin_α；點P的橫坐標(biāo)u叫作角α的余弦函數(shù)，記作u＝cos_α．(3)正弦、余弦函數(shù)的定義域，值域：通常，我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，這樣我們就定義了任意角三角函數(shù)y＝sin_x和y＝cos_x．它們的定義域為R，值域為[－1，1]．(4)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號象限三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋2.周期性(1)周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期．(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正周期．(3)終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系①sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；②cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)．[問題思考]1．等式sin(30°＋120°)＝sin30°是否成立？如果這個式子成立，那么能否說明eq\f(2π,3)是正弦函數(shù)y＝sinx的周期？提示：根據(jù)三角函數(shù)的定義sin150°＝sin30°＝eq\f(1,2)成立，但不能說eq\f(2π,3)是y＝sinx的周期，在周期函數(shù)定義中，對每一個x都有f(x＋T)＝f(x)，則T是周期，而等式sin(x＋120°)＝sinx，不是對任意的x成立．如x＝0°時sin120°≠sin0°.2．公式sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角α的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值．講一講1．已知角α的終邊在射線y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．[嘗試解答]法一：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P(x，y)，則y＝2x(x＞0)．又因為x2＋y2＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，))于是sinα＝y(tǒng)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝x＝eq\f(\r(5),5).法二：在角α的終邊上任取一點P(x，y)(x＞0)，則OP＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋4x2)＝eq\r(5)|x|，又因為x＞0，所以O(shè)P＝eq\r(5)x.所以sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))＝eq\f(y,\r(5)x)＝eq\f(2\r(5),5)；cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))＝eq\f(x,\r(5)x)＝eq\f(\r(5),5).求任意角的正弦、余弦值常用的兩種方法：(1)利用單位圓中的正、余弦函數(shù)的定義．(2)利用正、余弦函數(shù)定義的推廣：若P(x，y)是角α終邊上的任意一點，則sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))，cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2).)練一練1．[多維思考]本講中，把“射線y＝2x(x>0)”改為“直線y＝2x”，求sinα，cosα.解：設(shè)直線y＝2x與單位圓的交點為P(x，y)則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝1，))解得P(eq\f(\r(5),5)，eq\f(2\r(5),5))或(－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))．當(dāng)x>0時，P(eq\f(\r(5),5)，eq\f(2\r(5),5))，則sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)；當(dāng)x<0時，P(－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))，則sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5).講一講2．(1)判斷符號：sin340°cos265°；(2)若sin2α>0，且cosα<0，試確定α所在的象限．[嘗試解答](1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°<0，cos265°<0.∴sin340°cos265°>0.(2)∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ<α<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<2mπ＋eq\f(π,2)(m∈Z)；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝(2m＋1)(m∈Z)．有2mπ＋π<α<2mπ＋eq\f(3π,2)(m∈Z)．∴α為第一或第三象限角．又由cosα<0，可知α為第三象限角．1．正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)取正數(shù)的規(guī)律可概括為“正弦上為正、余弦右為正”，即當(dāng)角α的終邊在x軸的上方時sinα>0；當(dāng)角α的終邊在y軸的右側(cè)時，cosα>0.2．對于確定角α所在象限的問題，應(yīng)首先確定題目中所有三角函數(shù)的符號，然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號來確定角α所在象限，則它們的公共象限即為所求．3．由kπ<θ<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)確定θ所在象限時應(yīng)對k進(jìn)行分類討論．練一練2．已知sinαcosα<0，試寫出角α所適合的集合．解：∵sinαcosα<0.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,cosα<0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα<0，,cosα>0.))∴α是第二或第四象限的角．∴角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)<α<kπ＋π，k∈Z)))).講一講3．求下列三角函數(shù)值．(1)cos(－1050°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))；(3)log2(4sin1110°)．[嘗試解答](1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角與30°的角終邊相同．∴cos(－1050)°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(31π,4)＝－4×2π＋eq\f(π,4)，∴角－eq\f(31π,4)與角eq\f(π,4)的終邊相同．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(3)∵sin1110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)og24sin1110°＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4))＝log22＝1.利用公式sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx，k∈Z，可以把任意角的正弦、余弦函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間的角的正弦、余弦函數(shù)值問題．一般步驟是：(1)把角β寫成β＝2kπ＋α(k∈Z)形式；(2)求出角α的正弦或余弦；(3)得到角2kπ＋α(k∈Z)的正弦或余弦．練一練3．求下列三角函數(shù)值．(1)sin(－1020°)；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(35π,6))).解：(1)∵－1020°＝－3×360°＋60°，∴－1050°的角與60°的角的終邊相同．∴sin(－1050°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(35π,6)＝－eq\f(36π,6)＋eq\f(π,6)＝－3×2π＋eq\f(π,6)，∴－eq\f(35π,6)角的終邊和eq\f(π,6)角的終邊相同；∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(35π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).已知角α的終邊落在直線y＝－3x上，求2sinα＋3cosα的值．[錯解一]取直線上一點(1，－3)，則sinα＝－3，cosα＝1，∴2sinα＋3cosα＝2×(－3)＋3×1＝－3.[錯解二]取直線y＝－3x與單位圓的交點eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)\r(10)))得sinα＝eq\f(－3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，∴2sinα＋3cosα＝－eq\f(3\r(10),10).[錯因]錯解一，犯了兩個錯誤，一是對正、余弦函數(shù)的定義理解有誤．定義中的(x，y)須是α終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，不是任意點。二是α的終邊在直線y＝－3x上包括兩種情況，在射線y＝－3x(x≥0)上或在射線y＝－3x(x≤0)上，而錯解中漏掉了一種情況．錯解二只考慮了y＝－3x(x≥0)時的情形，沒考慮y＝－3x(x≤0)時的情況．[正解]設(shè)α終邊與單位圓交點為(x，y)；則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－3x，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(10),10)，,y＝－\f(3\r(10),10)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(10),10)，,y＝\f(3\r(10),10)，))∴2sinα＋3cosα＝－eq\f(3\r(10),10)或2sinα＋3cosα＝eq\f(3\r(10),10).1．已知P(1，－5)是終邊α上一點，則sinα等于()A．1B．－5C．－eq\f(5\r(26),26)D.eq\f(\r(26),26)解析：選C∵x＝1，y＝－5，∴r＝eq\r(26)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(5\r(26),26).2．coseq\f(25π,6)的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：選Dcoseq\f(25π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).3．已知θ是第三象限角，則()A．sinθ>0，cosθ>0B．sinθ>0，cosθ<0C．sinθ<0，cosθ>0D．sinθ<0，cosθ<0解析：選D由三角函數(shù)值在各象限的符號，易知D正確．4．已知函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，周期T＝6，f(2)＝1，則f(14)＝________．解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.答案：15．sin390°＝________．解析：∵390°＝360°＋30°，∴sin390°＝sin30°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．已知角α的終邊經(jīng)過點P(a，eq\r(3)a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦．解：|OP|＝eq\r(a2＋3a2)＝2|a|，當(dāng)a>0時，sinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，當(dāng)a<0時，sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,－2a)＝－eq\f(1,2).一、選擇題1．如果－315°角的終邊過點(2，a)，則a等于()A．－2B．2C．－eq\f(\r(5),5)D．±2解析：選B∵cos(－315°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2,\r(4＋a2))，解得a＝±2，又－315°是第一象限角，∴a＝22．coseq\f(9π,4)等于()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－1D．1解析：選Bcoseq\f(9π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).3．已知角α的終邊過點(x，－6)，若sinα＝－eq\f(12,13)，則x等于()A.eq\f(5,2)B．－eq\f(5,2)C．±eq\f(2,5)D．±eq\f(5,2)解析：選Dsinα＝eq\f(－6,\r(x2＋62))＝－eq\f(12,13)，解得x＝±eq\f(5,2).4．設(shè)A是第三象限角，且|sineq\f(A,2)|＝－sineq\f(A,2)，則eq\f(A,2)是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：選D∵A是第三象限角，∴eq\f(A,2)是第二、四象限角．又|sineq\f(A,2)|＝－sineq\f(A,2)≥0，∴sineq\f(A,2)≤0，易知eq\f(A,2)為第四象限角．二、填空題5．sin(－330°)＝________．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．如果cosx＝|cosx|，那么角x的取值范圍是________．解析：∵cosx＝|cosx|，∴cosx≥0，∴－eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.答案：{x|2kπ－eq\f(π,2)≤x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}7．若點P(2m，－3m)(m<0)在角α的終邊上，則sinα＝________，cosα＝________．解析：如右圖，點P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，且r＝－eq\r(13)m，故有sinα＝eq\f(－3m,r)＝eq\f(－3m,－\r(13m))＝eq\f(3\r(13),13).cosα＝eq\f(2m,r)＝eq\f(2m,－\r(13)m)＝eq\f(－2\r(13),13).答案：eq\f(3\r(13),13)