第二課時(shí)組合的綜合應(yīng)用eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P12])有限制條件的組合問題[例1]現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，任意抽出3件檢查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少種？(2)至少有一件是次品的抽法有多少種？[思路點(diǎn)撥]分清“恰有”“至少”的含義，正確地分類或分步．[精解詳析](1)從2件次品中任取1件，有Ceq\o\al(1,2)種抽法．從8件正品中取2件，有Ceq\o\al(2,8)種抽法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的抽法共有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)＝56種．(2)法一：含1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)種，含2件次品的抽法有Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,8)種．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的抽法共有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,8)＝56＋8＝64種．法二：從10件產(chǎn)品中任取3件的抽法有Ceq\o\al(3,10)種，不含次品的抽法有Ceq\o\al(3,8)種，所以至少有1件次品的抽法為Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,8)＝64種．[一點(diǎn)通]解答有限制條件的組合問題的基本方法：(1)直接法：優(yōu)先選取特殊元素，再選取其他元素．(2)間接法：正面情況分類較多時(shí)，從反面入手，正難則反．解題時(shí)要注意分清“恰有”“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．1．從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩同學(xué)中至多有一個(gè)人參加，則不同選法的種數(shù)為()A．9 B．14C．12 D．15解析：法一：(直接法)分兩類，第一類張、王兩同學(xué)都不參加，有Ceq\o\al(4,4)種選法；第二類張、王兩同學(xué)中只有1人參加，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)種選法．故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝9種選法．法二：(間接法)Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9種．答案：A2．在7名學(xué)生中，有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，有2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？解：分四類求解：①從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有3×2＝6種選法；②從3名只會(huì)下象棋的的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有3×2＝6種選法；③從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，有2×2＝4種選法；④從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，剩下的1名參加圍棋比賽，有2×1＝2種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共有6＋6＋4＋2＝18種不同的選法.與幾何有關(guān)的組合問題[例2]平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線．以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？[思路點(diǎn)撥]解答本題可以從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，也可以從反面考慮，任意三點(diǎn)的取法種數(shù)減去共線三點(diǎn)的取法種數(shù)．[精解詳析]法一：以從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．第一類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,8)＝48個(gè)不同的三角形；第二類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8)＝112個(gè)不同的三角形；第三類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56個(gè)不同的三角形．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216個(gè)．法二(間接法)：從12個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)點(diǎn)，有Ceq\o\al(3,12)＝220種取法，而在共線的4個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有Ceq\o\al(3,4)＝4種．故這12個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝216個(gè)．[一點(diǎn)通]1．解決幾何圖形中的組合問題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理．2．圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．3．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)為________．解析：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成Ceq\o\al(4,8)個(gè)四點(diǎn)組，其中共面的四點(diǎn)組有正方體的6個(gè)表面和正方體相對(duì)棱分別所在6個(gè)平面的四個(gè)頂點(diǎn)，故可以確定的四面體有Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．答案：584．正六邊形的頂點(diǎn)和中心共7個(gè)點(diǎn)，可組成________個(gè)三角形．解析：不共線的三個(gè)點(diǎn)可組成一個(gè)三角形，7個(gè)點(diǎn)中共線的是過中心的3條對(duì)角線，即共有3種情況，故組成三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－3＝32.答案：32排列與組合的綜合應(yīng)用問題[例3](10分)有6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生，從中選3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生到5個(gè)不同的地區(qū)巡回醫(yī)療，但規(guī)定男醫(yī)生甲不能到地區(qū)A，則共有多少種不同的分派方案？[思路點(diǎn)撥]男醫(yī)生甲是特殊元素，地區(qū)A是特殊位置，因此可分類解決．[精解詳析]分兩類：第一類，甲被選中，共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種分派方案；第二類，甲不被選中，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)種分派方案．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝5760＋7200＝12960種分派方案．[一點(diǎn)通]本題是一道“既選又排”的排列、組合綜合題，解決這類問題的方法是“先選后排”，同時(shí)要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的原則．5．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)中每次取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有()A．40個(gè) B．120個(gè)C．360個(gè) D．720個(gè)解析：先選取3個(gè)不同的數(shù)，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40個(gè)三位數(shù)．答案：A6．某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加．當(dāng)甲、乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360 B．520C．600 D．720解析：若甲、乙同時(shí)參加，可以先從剩余的5人中選出2人，先排此兩人，再將甲、乙兩人插入其中即可，則共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種不同的發(fā)言順序；若甲、乙兩人只有一人參加，則共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)種不同的發(fā)言順序．綜上可得不同的發(fā)言順序?yàn)镃eq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝600種．答案：C解有限制條件的排列組合應(yīng)用題的基本方法：(1)直接法：用直接法求解時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”、“特殊位置優(yōu)先安排”的原則．(2)間接法：選擇間接法的原則是正難則反，也就是若正面問題的分類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大時(shí)，不妨從反面問題入手，特別是涉及“至多”、“至少”等問題時(shí)更是如此．此時(shí)，正確理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等詞語的確切含義是解決這些問題的關(guān)鍵．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練六])1．在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各數(shù)位之和為偶數(shù)的共有()A．36個(gè)B．24個(gè)C．18個(gè)D．6個(gè)解析：若各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則只能兩奇一偶，故有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝36個(gè)．答案：A2．將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A．12種B．10種C．9種 D．8種解析：先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種安排方案．答案：A3．甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A．150種B．180種C．300種 D．345種解析：若這名女同學(xué)是甲組的，選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,6)；若這名女同學(xué)是乙組的，則選法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)；故符合條件的選法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)＝345種．答案：D4．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種B．15種C．20種 D．30種解析：分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局、輸1局，第4局贏)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局、輸2局，第5局贏)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種．答案：C5．直角坐標(biāo)系xOy平面上，平行于x軸和平行于y軸的直線各有6條，則由這12條直線組成的圖形中，矩形共有________個(gè)．解析：從6條水平直線和6條豎直直線中各取2條，每一種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)矩形，因此矩形共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,6)＝225個(gè)．答案：2256．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)會(huì)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種．解析：(間接法)共有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34種不同的選法．答案：347．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．解：(1)分三步完成：第一步，從9本不同的書中任取4本分給甲，有Ceq\o\al(4,9)種分法；第二步，從余下的5本書中任取3本給乙，有Ceq\o\al(3,5)種分法；第三步，把剩下的書給丙，有Ceq\o\al(2,2)種分法，所以共有不同的分法Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(2,2)＝1260種．(2)分兩步完成：第一步，按4本、3本、2本分成三組，有Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(2,2)種分法；第二步，將分成的三組書分給甲、乙、丙三個(gè)人，有Aeq\o\al(3,3)種分法，所以共有Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝7560種分法．(3)用與(1)相同的方法求解，有Ceq\o\al(3,9)·Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(3,3)＝1680種分法．8．從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)．試問：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？(4)(1)中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有多少個(gè)？解：(1)分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有Aeq\o\al(7,7)種情況，所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝個(gè)．(2)上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\a