解析幾何中的度量問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析線段和角是歐氏幾何中兩個(gè)基本的圖形，因此距離和角度是歐氏幾何中兩個(gè)基本的度量,刻畫(huà)距離和角度是平面解析幾何的基本任務(wù).引入坐標(biāo)法之后，借助于解析幾何中兩個(gè)重要公式：兩點(diǎn)的斜率公式和兩點(diǎn)的距離公式，可以度量線段和角.這兩個(gè)公式在平面解析幾何的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)地位，它們是幾何圖形代數(shù)化的起點(diǎn)和重要工具.因此“解析”的核心就是利用坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題代數(shù)化來(lái)解決問(wèn)題.笛卡爾坐標(biāo)理論建立在兩個(gè)觀念基礎(chǔ)之上，一個(gè)是坐標(biāo)理論，另一個(gè)是將含有兩個(gè)變量的等式看成是一條曲線方程的理論.在直線、圓、圓錐曲線的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)基本感知到利用平面上兩點(diǎn)間距離公式和斜率公式可以將幾何圖形的幾何特征用代數(shù)表達(dá)，進(jìn)而可以得出曲線方程.通過(guò)求解聯(lián)立不同曲線的方程所得方程組，可以解決曲線位置關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)求解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，又可以進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、距離、面積等一系列的度量問(wèn)題.本節(jié)課是解析幾何大單元的延伸探究?jī)?nèi)容，是從度量的角度對(duì)坐標(biāo)法的再認(rèn)識(shí)再升華，也是對(duì)解析幾何問(wèn)題解決方法的進(jìn)一步深入探究，重點(diǎn)解決如何簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算上.旨在解決解析幾何中的度量問(wèn)題過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法中對(duì)線段和角的度量是基礎(chǔ)，同時(shí)感受解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的運(yùn)算，學(xué)會(huì)用幾何的眼光觀察、分析幾何要素的基本關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而進(jìn)一步落實(shí)數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.體會(huì)利用兩點(diǎn)間距離公式和斜率公式，可以將解析幾何中的度量問(wèn)題化歸為對(duì)線段和角兩個(gè)基本圖形的度量的過(guò)程；2.學(xué)會(huì)用代數(shù)、幾何等手段化簡(jiǎn)解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課授課對(duì)象為高二年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)初步掌握了本章的基礎(chǔ)知識(shí)，有了研究解析幾何中度量問(wèn)題的直接經(jīng)驗(yàn)，具備結(jié)合幾何圖形直觀獲得解題思路，會(huì)用“坐標(biāo)法”研究解析幾何中的軌跡問(wèn)題以及長(zhǎng)度（距離）、面積、角度等簡(jiǎn)單的度量問(wèn)題.但解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)于較為復(fù)雜靈活的問(wèn)題，學(xué)生缺少“以形助數(shù)”的意識(shí)，缺乏用幾何眼光觀察、分析幾何圖形要素及其之間基本關(guān)系的能力.本節(jié)課的難點(diǎn)：利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.教學(xué)策略分析1．站在大單元的高度組織內(nèi)容.通過(guò)精心設(shè)計(jì)的“問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何的學(xué)習(xí)歷程，確定平面解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形，刻畫(huà)距離和角度是平面解析幾何的基本任務(wù).在此基礎(chǔ)之上通過(guò)具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行分析，抓住解析幾何問(wèn)題首先是幾何問(wèn)題這一核心，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).2．基于學(xué)習(xí)力的視角組織教學(xué)活動(dòng).根據(jù)現(xiàn)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際能力和學(xué)生的思維特點(diǎn)及認(rèn)知基礎(chǔ)，運(yùn)用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和講練結(jié)合的方法，提出問(wèn)題讓學(xué)生分析、思考和交流，在鞏固知識(shí)的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)構(gòu)造能力的提升.3．通過(guò)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的雙向轉(zhuǎn)化過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)的變化與統(tǒng)一，深化數(shù)學(xué)思維.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一代數(shù)幾何熔一爐問(wèn)題1：平面圖形可以從哪些方面度量？學(xué)生答案預(yù)設(shè)：面積、周長(zhǎng).教師活動(dòng)：揭示平面幾何圖形度量的角度.問(wèn)題2：觀察這些圖形的面積周長(zhǎng)公式，你發(fā)現(xiàn)最終都?xì)w結(jié)為對(duì)什么圖形的度量？學(xué)生答案預(yù)設(shè)：線段，角.教師活動(dòng)：揭示歐氏幾何兩個(gè)基本的度量——線段和角度的度量.問(wèn)題3：建立在高中學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，我們?nèi)绾味攘俊熬€段”“角”？師生活動(dòng)：解三角形（正余弦定理）、向量工具（向量的夾角、模長(zhǎng)公式等），兩點(diǎn)間距離公式和斜率公式，而這兩個(gè)公式是建立在“坐標(biāo)”之上的，通過(guò)坐標(biāo)系，把幾何中的基本元素——點(diǎn)與代數(shù)的基本對(duì)象——數(shù)（有序數(shù)對(duì)或數(shù)組）對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而平面幾何中兩個(gè)基本的度量——距離和角度，可以借助于公式得到代數(shù)表達(dá).在此基礎(chǔ)之上將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，這便產(chǎn)生了“坐標(biāo)法”——是我們解析幾何研究問(wèn)題的基本方法.環(huán)節(jié)二乾坤變幻坐標(biāo)書(shū)師生活動(dòng)：復(fù)習(xí)用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟：第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；（建系時(shí)借助圖形的對(duì)稱性建系可以使所得方程形式更加簡(jiǎn)潔美觀）第二步：進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這道題的解答讓學(xué)生總結(jié)坐標(biāo)法解題的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)、反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣；同時(shí)讓學(xué)生感受：平面解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形，刻畫(huà)距離和角度是平面解析幾何的基本任務(wù).師生活動(dòng)：先獨(dú)立思考完成解答，小組交流分享結(jié)果。我們得到幾何結(jié)論：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于定值（大于零且不等于1）的點(diǎn)的軌跡為圓，該圓最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出，所以我們稱為“阿氏圓”.引入“阿波羅尼斯圓”，介紹數(shù)學(xué)史.阿波羅尼奧斯所著《圓錐曲線論》一書(shū)，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，像“阿氏圓”“極點(diǎn)極線”等問(wèn)題都出自于本書(shū).自從笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系以來(lái)，為了闡明阿波羅尼奧斯的結(jié)果，借助于坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式和斜率公式把平面幾何中的兩個(gè)基本圖形用代數(shù)的形式表達(dá)，從而把幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，由此便產(chǎn)生了解析幾何.【設(shè)計(jì)意圖】在教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，可以讓學(xué)生從歷史的角度審視自己學(xué)習(xí)的知識(shí)，感悟自己所學(xué)知識(shí)的意義以及文化價(jià)值，落實(shí)課標(biāo)中有關(guān)滲透數(shù)學(xué)文化的要求.環(huán)節(jié)三圖形百態(tài)方程繪，曲線千姿計(jì)算求問(wèn)題4：解析幾何的研究對(duì)象有哪些？研究方法是什么？師生活動(dòng)：直線、圓、圓錐曲線，將幾何特征代數(shù)化，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題（坐標(biāo)法），而在此過(guò)程中，對(duì)于線段的度量和角的度量是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的核心.我們發(fā)現(xiàn)每一個(gè)幾何對(duì)象都有與之對(duì)應(yīng)的方程，在同一坐標(biāo)系下寫(xiě)出兩條不同曲線的方程，對(duì)它們聯(lián)立所得的方程組求解，根據(jù)解的個(gè)數(shù)我們可以判斷兩條曲線的位置關(guān)系，求解出方程組的解便可以得到兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而解決更多的解析幾何問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】笛卡爾理論建立在兩個(gè)觀念基礎(chǔ)之上：坐標(biāo)觀念和利用坐標(biāo)法把帶有兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的方程的觀念.在同一坐標(biāo)系內(nèi)寫(xiě)出兩條不同曲線的方程，聯(lián)立方程組可以求解出兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而解決弦長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等度量問(wèn)題.問(wèn)題5：在求解直線與圓錐曲線相交所得弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)什么方式來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算呢？師生活動(dòng)：以橢圓與直線相交求所得弦長(zhǎng)為例，利用韋達(dá)定理整體代入可以簡(jiǎn)化計(jì)算.以求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為例，利用拋物線的幾何特征表示弦長(zhǎng)可以簡(jiǎn)化計(jì)算.師生活動(dòng)：方法一：采用橢圓參數(shù)方程，將距離構(gòu)造為關(guān)于角的三角函數(shù)，求函數(shù)最值；方法二：數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，可以取得最大值，而此時(shí)直線的斜率與直線斜率相等，所以先利用相切確定直線方程，進(jìn)而將距離轉(zhuǎn)化為平行線間距離問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以將幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系起來(lái).初步體會(huì)借助幾何直觀、適當(dāng)設(shè)元（參數(shù)方程）可以簡(jiǎn)化計(jì)算.【設(shè)計(jì)意圖】解析幾何解決度量問(wèn)題時(shí)必要的運(yùn)算是不可避免的，如何能突破運(yùn)算難點(diǎn)是非常關(guān)鍵的.由于解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以引導(dǎo)學(xué)生先用幾何的眼光觀察,分析清楚幾何圖形的要素及其之間的基本關(guān)系，再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)，而且在運(yùn)算過(guò)程中要時(shí)刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，這是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措.通過(guò)這道題的講解可以提高學(xué)生的運(yùn)算能力，教會(huì)學(xué)生解決解析幾何問(wèn)題不僅要從代數(shù)角度入手，還要努力提高幾何圖形分析能力，也就是要在落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想上下功夫.問(wèn)題5：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我重溫了哪些知識(shí)？鞏固了什么方法？體會(huì)了何種思想？我們還可以研究什么問(wèn)題？教師活動(dòng)：剛才同學(xué)們都提到了“數(shù)形結(jié)合”的思想，看來(lái)這種思想已經(jīng)深入人心，它體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對(duì)立與統(tǒng)一，正如李尚志教授所說(shuō)：“代數(shù)幾何熔一爐，乾坤變幻坐標(biāo)書(shū).圖形百態(tài)方程繪，曲線千姿計(jì)算求.”我希望通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能夠掌握解決解析幾何中度量問(wèn)題的基本方法，我更希望同學(xué)們能夠理解度量問(wèn)題背后的思想，站得高一點(diǎn)自然就望的遠(yuǎn)一些，從而感受數(shù)學(xué)中的美，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.【設(shè)計(jì)意圖】從知識(shí)、方法、思想等多維度進(jìn)行反思提煉，既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)又站在單元的視角明晰解析幾何研究方向，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、提升素養(yǎng).課堂教學(xué)評(píng)價(jià)與作業(yè)設(shè)計(jì)（一）課堂教學(xué)評(píng)價(jià)：本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，由于是高二年級(jí)的學(xué)生，對(duì)解析幾何單元的學(xué)習(xí)停留在能解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的水平，所以本節(jié)課涉及的內(nèi)容以及例題練習(xí)難度并不大，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課主要是以問(wèn)題串和例題變式的形式引導(dǎo)教學(xué)，另外課上充分讓學(xué)生展示自己的解答過(guò)程，學(xué)生課堂參與度較高.但是由于課堂時(shí)間限制，本節(jié)課的重點(diǎn)放在了與線段有關(guān)的度量問(wèn)題上，在角的度量問(wèn)題上涉及較少，可以在接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中繼續(xù)完善.（二）作業(yè)設(shè)計(jì)：（1）求的離心率；選做：匯總同學(xué)們必做題目的解題方法，比較各種方法的解題邏輯以及優(yōu)缺點(diǎn)，形成報(bào)告.【設(shè)計(jì)意圖】?jī)傻李}目分別選自2022年全國(guó)I卷第16題和2021年八省聯(lián)考第21題.第一道題目在于引導(dǎo)學(xué)生深刻理解圓錐曲線定義和基本性質(zhì)的作用，第二道題目在于對(duì)角度量的練習(xí)，由于