第1章平行線

1.4平行線的性質(zhì)

精選練習(xí)

基礎(chǔ)篇

I.如圖，已知N1=N2,Z3=55°,則N4是（）

A.45°B.55°C.125°D,135°

【答案】C

【分析】首先利用N1=N2求證。進(jìn)而得到3+4=180%即可求出N4的度數(shù).

【詳解】解：?.Zl=Z2

ab,

.?.N3+N4=I80。，

QZ3=55°,

.?.Z4=180°-Z3=125°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要是考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練角相等，證明兩直線平行，然后利用平行關(guān)系證明

其他角相等，這是解決該題的關(guān)鍵.

2.如圖，瓶是N8AC的平分線：DF//AC,若Nl=35。，則/的度數(shù)為（）

A.17.5°B.35°C.55°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得N￡4C=N1,再根據(jù)角平分線的定義可得⑷/=NQC，從

而可得結(jié)果.

【詳解】解：?.?OF〃AC,

:.ZE4C=Z1=35°,

???"'是NBAC的平分線，

:.JBAF=ZFAC=35。，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是舉世聞名的三星堆考古中發(fā)掘出的一個(gè)梯形殘缺玉片，工作人員從玉片上已經(jīng)量得乙4=115。，

ZD=I（XF.已知梯形的兩底則另外兩個(gè)角的度數(shù)為（）.

115°100°

A.ZB=115°,4=100。B.4=80。，4=65。

C.N3=65。，ZC=80°D.ZB=100°,ZC=1I5°

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：vAD/7BC,Z4=H5°,ZD=100°,

AZB=180°-ZA=65°,ZC=18O°-ZD=8O°；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)的應(yīng)用.熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知alb,直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線。上，若Nl=40。，則N2等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到N3與N1互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知N2的度

數(shù).

【詳解】解：???直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線Q上，Zl=40°

，Z3=50°

*：ab

/.Z2=Z3=50°

故逐B(yǎng)

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及垂線的定義的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

5.一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，第一次拐彎NA的度數(shù)為100。，第二次拐彎N3的度數(shù)為120。,

到了點(diǎn)。后需要繼續(xù)拐彎，拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則-C的度數(shù)為（）

A.100°B.160°C.140°D.120°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作BECD,如圖，

VAF//CD,BECD,

AAFBECD,

???ZA=ZA￡?￡,NC+NC8E=180。，

VZA=100°,

AZABE=100°,

ZABC=120°,

???ZCBE=120°-100°=20°,

:.ZC=180°-20°=160°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AB//CD,ZABE=125°,ZC=30°,則Na=()

A.70°B.75°C.8（）。D.85°

【答案】D

【分析】過點(diǎn)E作?！?,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得N8+/8E尸=180°,再根據(jù)兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等得出NC=NFEC,然后整理即可得解.

【詳解】過點(diǎn)E作E尸〃8，

AB

，NC=NFEC（兩直線平行，內(nèi)僧角相等），

ZFEC=30°,

；AB//CD（已知），

EF//AB（平行于同?直線的兩直線平行），

AZB+ZBEF=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

二.ZBEF=55°,

，Na=ZBEF+ZFEC=85°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，Zl=60°,下列推理正確的是（）

①若N2=60。，則A8〃C。；②若N5=60。，則A8〃CO；

③若/3=120。，則48〃CO；④若N4=120。，則A8〃CD.

A.①②B.?@C.②③④D.②③

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.

【詳解】解：由Nl=N2=60。，不能判定434C。，

故①不符合題意；

VZl=Z2=60°,Z5=60°,

/.Z2=Z5,

AABCD,

故②符合題意：

由/I=60。.Z3=120°,不能判定A8CD,

故③不符合題意；

VZ1=Z2=6O°,Z4=120°,

/.Z2+Z4=180°,

AABCD,

故④符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知直線A8〃C￡）,ZGEF=130°,ZEF/7=135°,則4+N2的度數(shù)為（）

G

C.65°D.85°

【答案】D

【分析】由26所=130°,/比H=135?？傻肗l+N3+N2+N4=265。，由A8C。得N3+N4=180。，進(jìn)而

川一求出N1+N2的度數(shù).

【詳解】解：如下圖所示,

???ZGEF=130°,

???Z1+Z3=13O°,

???ZEFH=135°,

/.Z2+Z4=135°,

/.Zl+Z3+Z2+Z4=265°

?:ABCD,

:.Z3+Z4=18O0,

?，.Z1+Z2=Z1+Z3+Z2+Z4-(Z3+Z4)=265°-180°=85°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系.

9.如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)用.

【答案】相等或互補(bǔ)

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：(1)如圖所示:

AB//CD,

BE//DF,

\Z2=Z3,

'.Z1=Z2；

(2)如圖所示:

/.Z1=Z3,

BE//DF,

/.z2+Z3=180°,

/.Z14-Z2=180°；

綜上可得：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

故答案為：相等或互補(bǔ).

【點(diǎn)睛】本題主要考杳平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)

角互補(bǔ)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

10.如圖，已知N1=N2=Z3=63。，N4=.

4

3%2

【答案】117°

【分析】根據(jù)N1=N3,可以得到。〃b,然后即可得到N2=/5,再根據(jù)N5+N4=180。，即可求得N4的

度數(shù).

【詳解】解：?.Z1=Z3,

\a//b>

/.Z2=Z5,

,22=63°,

.-.Z5-63°,

z5+Z4=180°,

.?.z4=180o-Z5=180o-63o=117°,

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

11.如圖，已知AB〃CO,點(diǎn)M,N分別在直線48、CD上，/MEN=90°,4CNE=/ENF,則Na與Ng

的數(shù)量關(guān)系.

【答案】a=2p

【分析】過點(diǎn)E作切〃A8,根據(jù)平行線的性質(zhì)與已知條件得出口=?，Z2=90°-1?,根據(jù)乙的=90。,

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)石作&7〃AB,則A8〃CD〃硝,

/.Zl=/?

EF//CD,/CNE=/ENF,

Z2=ZE7VC=1(180o-Za)=90°-^a,

ZA/E/V=90°,

即N1+N2=夕+90。-g。=90。

:?p='a；即a=2〃；

故答案為：。=26.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，直線A8〃CD,ZC=40°,NE為直角，則Nl=

【答案】130°

【分析】過點(diǎn)E作叱〃8,根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)E作E尸〃CD,如下圖：

則EF//CD//AB,

???NFEC二NDCE=40°,ABAE=^FEA

???ABAE=ZFE4=900-ZFEC=50°,

???Zl=180°-ZBA￡=130°,

故答案為：130。

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

13.如圖，將一把直尺和一塊含30°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果NCS=46°,那么NBA/

的度數(shù)為.

【答案】度

【分析】由題意可確定=60。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NE4C=Na?O=46。，然后根據(jù)角

的關(guān)系即可解答.

【詳解】解：由題意可知。后〃A尸，

ZFAC=ZCED=46°,

由含30。角的三角板的特點(diǎn)可知：ZBAC=90。-30°=60。，

:,Z.BAF=ZBAC-ZFAC=14°,

故答案為：14。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，含30。角的三角板中的角度計(jì)算，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)筵.

14.如圖，AB//CD,BF,CG分別平分NA8E,/DCE,B尸與CG的反向延長線交于點(diǎn)尸，若NE=100。，

【答案】40

【分析】過/作切〃AB，根據(jù)用平分線的有關(guān)計(jì)算、平行線的性質(zhì)將相關(guān)角結(jié)合在四邊形BECF中進(jìn)行

計(jì)算即可得到解答.

【詳解】解：過/作"/〃A8,

:.卜H//AH//3,

???ZDCG=KFG,ZABF=ABFH,

?:BF,CG分別平分NA8E,NDCE,

:.公BF=/EBF,/ECG=NGCD,

工/ECF=180°-4ECG,/LBFG=ZABF-/GCD,

???在四邊形BECF^,NE+NFBE+NBFG+NECF=360。,

Al00°+ZABF+(ZABF-ZGCD14-(180°-ZGCD)=360°,

???ZA^F-ZGCD=40°,

,/乙BFG=ZABF-ZGCD,

ZBFG=ZABF-ZGCD=40°,

故答案為:40.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)和角平分線的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出

輔助線.

15.如圖，質(zhì)分別與8。、CE交于點(diǎn)G、H,4c分別與CE交于點(diǎn)B、C,。尸分別與8。、CE交于

點(diǎn)。、E,Zl=55°.若NA=N產(chǎn)，NC=/D,求N2的度數(shù).

【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可.

【詳解】解：

???AC//DF,

，ZC=ZCEF,

*/ZC=ZD,

???/CEF=/D,

：.BD//CE,

???Z1=ZWC=55°,

AZ2=180°-Z4HC=125°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點(diǎn)A、。在直線E/上，Zl+Z2=180°,08平分/ADC,AD//BC.

⑴求證：AB//DC-,

(2)若/D4B=128。，求—O4C的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZD?C=26°

【分析】（1）由已知條件得出NB4O+/aM=180。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可得證;

（2）根據(jù)已知條件得出/位9=180。-128。=52。，根據(jù)角平分線的定義得出

幺DB=NBDC=gZADC=26°,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（D證明：???N1+N2=18O。,Zl+ZDAB=180°,Z2+/ADC=180°,

/.ZBAO+ZCZM=180°.

JAB//DC.

（2）解：VZBAD+ZCDA=m3,ZD^=128°,

/.ZAZ）C=180o-128o=52o,

,/08平分^ADC,

/ADB=NBDC=-ZADC=26°,

2

VAD//BC,

ZDBC=ZADB=26°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.填空并完成以下證明：已知，如圖，Z1=ZAC5,/2=N3,FH_LA3于〃，求證：CDLAB.

/.NBHF=.

Z1=ZACB（已知）

:.DE//BC（）

:.Z2-/BCD.（）

vZ2=Z3（已知）

.?/=.

：.CD//.（同位角相等，兩直線平行）

:.NBDC=NBHF=9QP（兩直線平行，同位角相等）

：.CD±AB

【答案】90°；同位角相等，兩直線平行：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；/BCD；HF

【分析】根據(jù)N1=NAC3,可得DE〃BC,從而得到N3=N8CD,進(jìn)而得到?！ù?可得到

NBDC=/BHF=9（f,即可.

【詳解】證明：FH1AB（已知）

:.NBHF=90"

,Z1=ZACB（已知）

S.DE//BC（同位角相等，兩直線平行）

.-.Z2=ZBCD.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

vZ2=Z3（已知）

...N3=NBCD.

.?.CO〃”產(chǎn).（同位角相等，兩直線平行）

，/BDC=/BHF=9（r（兩直線平行，同位角相等）

s.CDLAB.

故答案為：90°；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；/BCD；HF

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，點(diǎn)七、尸分別在48、CO上，Akj_a于點(diǎn)O,Nl=NB,Z4+Z2=90°,求證：AB//CD.

證明：???A/_LCE（已知），

AZAO￡=90°（）

又；Z1=ZB（已知），

???（）,

/.ZAFB=ZAOE（）,

?,?乙4陽=90。（）,

又：Z4R7+Z4m+N2=180。（平角的定義）

/.ZAFC+Z2=（）。，

又INA+N2=90。（已知），

AZA=ZAFC（）,

AAB//CD.（）

【答案】垂直的定義；CE〃口尸；同位角相等，兩宜線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；90；

等式的性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)垂直的定義，平角的定義，等式的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定填空即可.

【詳解】證明：VAFrCE（已知）

AZAOE=90°（垂直的定義）

又???N1=N8（已知）

：.CE//BF（同位角相等，兩直線平行）

AZAFB=ZAOE（兩直線平行，同位角相等）

/.Z4FB=90°（等量代換）

又：ZAFC+ZAFB+Z2180。（平角的定義）

/.ZAFC+Z2=(90)°

XVZA+Z2=90°(已知)

AZA=ZAFC（等式的性質(zhì)）

：.AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

故答案為：垂直的定義；CE//BF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；90；

等式的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，平角的定義，等式的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與

判定定理是解題的關(guān)鍵.

19.己知AM〃CN,點(diǎn)8在直線AM、CN之間，ZABC=88C.

圖2圖3

（1）如圖I,請(qǐng)直接寫出/A和NC之間的數(shù)量關(guān)系:

⑵如圖2,2A和NC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3,AE平分4W42,CH平分ZNCB,AE與CH交于點(diǎn)G,則N4GH的度數(shù)為

【答案】（1）N4+NC=88。

(2)ZC-ZA=92°,見解析

(3)46°

【分析】（1）過點(diǎn)8作8石〃A/W,利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論;

（2）過點(diǎn)8作既〃A",利用工行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論:

（3）利用（2）的結(jié)論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得結(jié)論.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作8E〃/W，如圖,

AM

二7

CN

圖1

，ZA=ZABE.

VBE//AM,AM//CN,

???BE//AM//CN.

???/C=NCBE.

*/ZABC=88°.

，ZA+ZC=ZABE+ZCBE=ZABC=88。.

故答案為：Z4+ZC=88°；

(2)解：/A和/C滿足：ZC-ZA=92°.理由:

過點(diǎn)8作的〃4W,如圖，

AZA=ZABE.

'：BE//AM>AM//CN,

：.BE//AM//CN.

???ZC+ZCBE=180°.

???/CBE=180。-/C.

???ZABC=88。.

ZABE+ZCBE=88°.

:.ZA+180o-ZC=88°.

???ZC-ZA=92°：

（3）解：設(shè)。，與A8交于點(diǎn)片如圖,

H

M

A9

-c

圖3

???AE平分ZMAI3,CH平分ZNCB.

?\乙GAF=-AMAB,ABCF=-4BCN,

22

*/ZABC=88°,

J乙BFC=8$—4BCF.

'：ZAFG=/BFC,

，ZA產(chǎn)G=880-N8b.

,/ZAGII-Z.GAF+ZAFG,

???ZAGH=g（NBCN-NMAB）.

由（2）知：ZBCN-ZM4B=92°,

工ZAGH=-x92°=46°.

2

故答案為：46°.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

20.綜合與實(shí)踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示了一個(gè)問題：如圖1,直線4〃4,直線4與4，A分別交于點(diǎn)c。，點(diǎn)A在直線

4上，且在點(diǎn)C的左側(cè)，點(diǎn)B在直線4上，且在點(diǎn)。的左側(cè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)C,

。重合）.當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C,。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想NP4C,NAPB,2P3O之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

獨(dú)立思考：

(1)請(qǐng)解答老師提出的問題.實(shí)踐探究：

勤學(xué)小組對(duì)此問題進(jìn)行了更深一步的思考：當(dāng)點(diǎn)尸在C,。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，NPAC,NAPB,NPBD之

間的數(shù)最關(guān)系又是如何？

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C上方時(shí)，試猜想NE4C,NAPB、2正比＞之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出NPAC,NAPB,NT8O之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(I)ZAP3=N/V1C+NP5D

(2)/APB=ZPBD-ZPAC,理由見解析

(3仆PB=/PAC—NPBD

【分析】(1)過點(diǎn)尸作PE〃/1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAPE=NR4C,再由平行線的推論得出

ZBPE=/PBD,利用等最代換即可得出結(jié)果；

(2)過點(diǎn)尸作根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/A"=/Q4C，再由平行線的推論得出4尸尸=NP3D,

利用等量代換即可得出結(jié)果；

(3)過點(diǎn)。作戶“〃/1,方法與(1)(2)類似，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：ZAPB=/PAC+NPBD.

理由：如解圖1,過點(diǎn)P作PE〃乙，則NAPE=NQ4C.

???4〃4，

：.PE//l2.

:?ZBPE=4PBD.

/.ZAPB=ZAPE+/BPE=/PAC+/PBD.

理由：如解圖2,過點(diǎn)尸作尸尸〃：，則NAPF=NP4C.

:.PF//l2.

???"PF=4BD.

/.ZAPB=NBPF-ZAPF=/PBD-Z.PAC.

(3)ZAPB=/PAC-/PBD.

如解圖3,過點(diǎn)P作尸M〃乙，則乙4PM=NA4C.

VI八,

/.PM//l2.

工4PM=4PBD.

，/APB=ZAPM-/BPM=4PAC-/PBD.

【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及推論是解題關(guān)鍵.

提升篇

1.將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論:

(1)/2=/3：(2)/3=/4；(3)N2+/4=90°；(4)Z5-Z2=90°,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答即可.

【詳解】解：???A8〃CQ,

:./3=/4,

???ZGEF=90°,

:.Z2+Z4=180°-90°=90°,

/.Z2+Z3=90°,故（1）錯(cuò)誤，（2）（3）正確；

VAB//CD^

，Z5=Z.CEG，

*/ZCEG-Z2=NFEG=90°,

AZ5-Z2=90°,故（4）正確；

綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個(gè)，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的

關(guān)鍵.

2.如圖，AE//CF,ZAb的平分線C8交AE于點(diǎn)8,G是。尸上一點(diǎn)，NG8E的平分線交C尸于點(diǎn)O,

且BD上BC,下列結(jié)論：①BC平分ZABG；②AC〃8G：③與/￡>8E互余的角有2個(gè)；④若乙4=。，則

N8O尸=180?！?：其中正確的有（）.

A.①②B.①?③C.①?④D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA和NAC8的關(guān)系，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)找出圖中相等的角，由等角

的余角相等即可得出結(jié)論.

【詳解】解：??。8。=90。，

:.ZABC+ZEBD=90°,/CBG+NDBG=90。,

又<NDBG=NEBD,

:.NABC=/CBG,

.?.3C平分NABG,故①正確；

AE//CF,

:./ABC=/BCG，

8c平分/Ab,

，ACB=NBCG.

.NABC=NCBG,

:.NCBG=NACB、

:.AC//BG,故②正確，

AE//CF,

:./DBE=/BDG,

N'ABC=NCBG=N'ACB=NBCG，N'DBE=/DBG=/BDG

???與石互余的角有/A8C,NGBC,ZACB,/GCB，有4個(gè)，

故③錯(cuò)誤，

??,NBDF=180°-NBDG,NBDG=90°-NBCG=90°-NACB,

又???/ACB=\x(1800-a)=90°-y,

/./BDF=180。-[90。-(90°一多)]=180。一?，故⑷正確，

綜上，正確的有①②④.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是要牢記平行線的三個(gè)性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相

等，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

3.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)。在"）的延長線上，ABCF,/尸=NACB=90。，ZE=30°.ZA=45°,

則/C8D為（）

A.10°B.25°C.15°D.30°

【答案】C

【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)結(jié)合根據(jù)平行線的性質(zhì)，計(jì)算程4BC=45。，ZEDF=60°,利用鄰補(bǔ)角互

補(bǔ)可求得N8Z）C=120。.在△BCD中可得到NC4O=15。

【詳解】??,44=45。，

:.ZABC=45°,

?/ABCF,

???ZBCD=45°,

VZE=30°,

AZEDF=60°,

???^BDC=180°-ZEDF=120°

在△BCD中，ZBCD=45°,ZBDC=120°,

:./-BCD=180°-Z1BDC-Z1BCD=15°,

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度及直角三角板的特點(diǎn)，熟練掌

握平行線的性質(zhì)和利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度是解決問題的關(guān)鍵

4.如圖，ABCD,OE平分NBOC,OF平分NBOD,OP_LC￡>,/48。=50。，則下列結(jié)論:①/反如=70。；

?OFLOEx③/POE=/BOF；④4/POB=2/DOF,其中正確結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到430=400=50。，根據(jù)角平分線的定義得到N8OE=gxl30o=65。；

所以①錯(cuò)誤；由角平分線的定義得到N8OE=：N8OC,NB0F=-B0D,根據(jù)垂直的定義得到OEJLOF，

所以②正確：根據(jù)垂直的定義得到4?。0=90°,求得NEOF=NPOD=90°,根據(jù)角的和差得到

/POE=/DOF,等量代換得到NP0E=N80F：所以③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到0P1AB,

NB0D=ZAB0=50。,求得/8/6=90。，根據(jù)角平分線的定義得到N。。/7=1/3。。=25。，求得

4ZPOBW2/DOF,所以④錯(cuò)誤.

【詳解】解：???ABCD,

???480=407)=50°,

Z?X'=18(r-50o=130o,

,/0E平分4OC,

?,.Z5OE=-xl30°=65°；

2

所以①錯(cuò)誤：

TOE平分NBOC,OF平分NBOD,

???/BOE=-ZBOC,ZBOF=-4B0D,

22

,/ABOC+4BOD=180°.

AEOF=NBOE+ZLBOF=g(/BOC+ZB0D)=90°,

：.OE1OF,

所以②正確；

?；OP上CD,

/.ZCOP=90°,

???/EOF=NPQ0=9O。，

；?APOE=90°-4POF,/DOF=90。-4POF,

：?/POE=/DOF,

’:乙BOF=4DOF,

:.4P0E=/B0F；

所以③正確；

VABCD,OPLCD,

???OPJ-AB,NBOD=ZABO=50°，

???NBP()=90。,

，APOB=90°-NPBO=40°,

,；OF平分NBOD,

/DOF=-NBOD=25°,

2

???4/POB=160。，2ZZX7F=50°,

???4/POB*2/DOF,

所以④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握兩直線平行?，內(nèi)錯(cuò)角相等是

解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AB//EF,ZBCD=90°,探索圖中角a,by之間的關(guān)系式正確的是()

A------------------------,.B

少

----------F

A.a+/?+/=36O°B.?+/7=/+90°C.a+y=pD.a+0+尸180。

【答案】B

【分析】首先過點(diǎn)C作。W〃AB,過點(diǎn)。作￡W〃A8,由4?〃EF,即可得A8〃CM〃O,V〃斯，然

后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，艮J可求得答案.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CM〃A8,過點(diǎn)。作￡W〃AB,

AB

a

..........M

N.……4D

-----F

,:XB〃EF,

???AB//CM//DN//EF,

:.￡BCM=a,乙DCM=NCDN,乙EDN=y,

???尸=NCDN+4EDN=NCDN+;<D,/BCD=a+NCON=90。②，

由①@得：a+/?-/=90°.

即白+力=7+9()。

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是

解題的關(guān)鍵.

6.已知人8〃CZ),點(diǎn)E在3D連線的右側(cè)，/4/?￡與/。。石的角平分線相交于點(diǎn)凡則下列說法正確的是

():

①Z4BE+/CDE+ZE=360°；

②若NE=80°,則N3PD=I4O。；

③如圖(2)中，若尸，NCDM=；KDF,則6NAM/)+NE=360。；

④如圖(2)中，若NE=m。,4BM=，NC。尸，則

n12M

圖⑴圖(2)

A.①②④B.②?④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】分別過E、尸作GE〃AB,FH//CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答.

【詳解】解：分別過七、尸作GE〃A8,FH//CD,

VAB//CD,

，AB//GE//FH//CD,

，ZABE+NBEG=180。，NCDE+4DEG=180°,

，ZABE+/BEG+NCDE+/DEG=360°,

即ZABE+NB￡Z)+NCQE=360。，①正確;

,//BED=80°,ZABE+ZBED+ZCDE=36()°,

，ZABE+ZCDE=280°,

VAB//CD,

工"BF=2BFH,乙CDF—UDFH,

：.￡BFD=NBFH+4DFH=/ABF+乙CDF=1(/ABE+ZCDE)=140°,②正確,

與上同理，ZBMD=AABM+ZCDM=1(ZABF+^CDF),

6/BMD=2QBF+NCDF)=4ABE+NCDE,

???6N3A/O+N￡=360。，③正確,

由題意，④不一定正確，

???①②③正確，

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

7.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖

②是其示意圖，其中A8,C力都與地面/平行，ZBCD=60°,ZBAC=54°.當(dāng)/加4。為（）度時(shí)，AM

與C6平行.

D.114

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可.

【詳解】解：???AB，C。都與地面/平行，

???AB//CD,

，ZB/\C+ZACD=I8O°,

/84C+NAC4+N48=180。，

VZBCD=60°,ZBAC=54°,

???ZAC8=66。，

???當(dāng)NM4C=NAC8=66。時(shí)，AM//CB.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.閱讀下列解答過程：

如圖，ABCD,點(diǎn)、E在AB,CD兩平行線之間，連接AE,DE.若NA=20。，Z4￡D=80°.求/。的度數(shù)

是多少？

解：過點(diǎn)E作比〃AB,?.?NA=20。

???/(O)=4=20。，

.?.4FED=(#)

?：EF//AB,48CD

?EF|CD(*)

ZZ)+ZFED=180°(s)

ZD=120°

①。代表人"；②#代表NATO-ZA砂=60。；③*代表平行于同一條直線的兩條直線平行；④S代表同旁內(nèi)

角互補(bǔ)，兩直線平行，上述補(bǔ)充的解答過程和依據(jù)中，正確的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C3個(gè)

D.4個(gè)

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAEE=NA=20。，則NFED=ZAED-NA￡F=60。，再根據(jù)平行于同一

條直線的兩條直線平行可得斯CD,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：過點(diǎn)E作砂〃AB，;幺二？。。，

AZAEF=ZA=20°,

???土FED=ZAED-ZAEF=60°，

?:EF//AB、ABCD,

:?EF\CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），

???/。+/人⑷=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

AZD=120°.

由此可知，O代表A￡7L則①正魂；

#代表ZAED-ZAEF=60°,則②正確；

*代表平行于同一條直線的兩條直線平行，則③正確；

S代表兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則④錯(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.如圖，N8=60。，ZC=120°,AO是否與8c平行，若不平行，需添加（只填出一種即可）

【答案】/刖。=120。或NE4O=60°或NO=60。.

【分析】根據(jù)兩直線平行的判定定理判斷.

【詳解】VZBAD=120°,

/.ZBAD+ZB=180°,

工AD//BC.

,??EAD?B60?,

???AD//BC.

VZD=60°,

???ZC+ZD=180°,

???AD//BC,

故答案為：NB4D=120?；騈E4O=60?；騈D=60。.

【點(diǎn)睛】此題考查了直線的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟悉兩直線平行的判定定理.

10.如圖，直線Zl=28°,Z2=50°,則N3=_度，Z3+N4+N5=—度.

【分析】過/3的頂點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)：？3?1?2,

Z3+Z4+Z5=360°

【詳解】解：如圖，過N3的頂點(diǎn)作?！?/p>

/.abc,

AZ1=Z6,Z7=Z2,

XZ3=Z6+Z7,

/.z3=Zl+Z2=78°；

又N4+N6=Z7+N5=I8O。,

.?.z3+N4+Z5=360°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，注意此類題中常見的輔助線：構(gòu)造已知直線的平行線.根據(jù)平行線的

性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明：？3?1?2；Z3+Z4+Z5=360°.

11.沈陽市政府?dāng)M定在中央公園建設(shè)大型燈光秀，在某平行湖道兩岸所在直線AB、C。安裝探照燈，若燈

P發(fā)HI的光束自Q4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至“8便立即回轉(zhuǎn)，燈。發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至QC便立即回轉(zhuǎn)，每

天晚間兩燈同時(shí)開啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈。光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/

秒，在兩燈同時(shí)開啟后的35秒內(nèi)，開啟秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直.

CQD

【答案】15或號(hào)135或2早25

【分析】設(shè)開啟，秒后，兩燈的光束互相垂直，分0YW18,18</<35時(shí)，燈光也返回，第?次與QE垂

直和18<f<35時(shí)，燈光所返回，第二次與QE垂直，三種情況討論求解即可.

【詳解】解：燈夕照射一次，需要180+10=18秒，燈Q照射一次，需要180+4=45秒，設(shè)開啟，秒后，兩燈

的光束互相垂直；

①當(dāng)0W/W18時(shí)，兩燈光垂直于點(diǎn)E,過E作砂〃如圖，

VABCD,

：.EFCD,

AZP￡F=180°-/10°,Z0EF=r-4°,

:.180o-z-10°+r-4o=90°,

解得：z=15；

②當(dāng)18<f<35時(shí)，燈光PE返回，第一次與QE垂直，過E作砂〃A8,如圖,

ABCD,

.??EFCD,

/.ZPEF=Z.10o-180°,ZQEF=/4°,

.,./-10°-180o+r-4o=90o,

解得：，=與；

③當(dāng)18</<35時(shí)，燈光所返回第二次與QE垂直，過E作如圖,

VABCD,

EFCD,

AZP￡F=360°-Z10°,/。律=180。一八4。，

:.3600-r-10o+180o-/-4o=90°,

解得：廣一；

綜上：開啟15秒或手135秒或2等25秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用.通過添加輔助線，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行

求解，是解題的關(guān)鍵.注意分類討論.

12.如圖，己知AA〃CDNPAQ=2/朋Q,NPCD=3NQCD,ZP=75°,則4QC=.

【答案】95°

【分析】如圖，過〃作過。作Q尸〃人民證明A8〃QF〃PE〃CQ,可得/胡P+/?。。=285。,再

證明NBAQ+NQCD=95°,ZBAQ=/AQF/CQF=NQCD,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，過P作PE〃AB,過。作QF〃A4,

AB

VAB//CD,

???AB//QF//PE//CD,

???/BAP+ZAPE=180°,ZCPE+/PCD=180°,

???工BAP+ZAPE+Z.CPE+NPCD=NBAP+ZAPC+Z.PCD=360°,

而NAPC=75。,

4BAP+/PCD=360°-75°=285。，

;^PAQ=2ZI3AQ,ZPCD=3NQCO,

???

???3N8AQ+3NQC。=285°,

.?.NBAQ+NQCD=95。,

VAB//QF//CD,

NBAQ=ZAQF,4CQF=NQCD,

???ZAQC=ZAQF+4CQF=NBAQ+Z.QCD=95°.

故答案為：95。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖（1）紙片ABC。（4O〃EC）,將CO按如圖（2）所示沿著OE折疊至。。，DC與線段BC交于F,

N8FQ=〃7,點(diǎn)E在線段BC上,若將人/）按如圖（3）所示沿著。。折疊至。/匕且/V在線段0c的延長線上,

點(diǎn)。在線段8c上，則N0Q斤.（用含機(jī)的式子表示）

【答案】90。一5〃

【分析】設(shè)NC7）E=x,ZDCE=y,由圖（1）折疊性質(zhì)可得：NCDE=NCDE=x,由平行線性質(zhì)可得

ZZDF=l80°-w,則NAOC=l800-/z+2v,由圖（2）折置性質(zhì)可得：ZADO=ZCDO=-ZADC=90°--m+x,

22

最后可得NO。七的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)NCOE=x,ZDCE=y,

由圖（1）折疊性質(zhì)可得：ZCDE=ZCDE=x,

V￡BFD=m,AD//BC,

：.N8"/）+NA/）/*=18（r,

:.Z.ADF=\^-m,

:.Z/\DC=180°-/n+2v,

由圖⑵折疊性質(zhì)可得：加。二皿。十?二吟上=9。。--+',

???ZODE=ZCDO-ZCDE=90°m+x-x=90°--m

2

故答案為：90。-，〃.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).

14.①如圖1,AB//CD,則NA+NE+NC=180。；②如圖2,AB//CD,則N￡=N4+NC；③如圖3,若

AB//EF,則④如圖4,AB//CD,則NA=NC+NP.以上結(jié)論正確的是

【答案】②③④

【分析】①過點(diǎn)￡作￡/〃A4,由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

②過點(diǎn)點(diǎn)E作EF//AB,由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

③如圖3,過點(diǎn)C作。Q〃A8,延長A8到G,由平行線的性質(zhì)可得出180°-NABH+/HCF-/EFC=/BHC；

④過點(diǎn)尸作PF//AB,由平行線的性質(zhì)可得出/A=/。尸產(chǎn)+/從打>/。+/>42。.

【詳解】解：①如圖1,過點(diǎn)E作E/ZMB,

?JAB//CD,

：.AB//EF//CD,

/.ZA+ZAEF=180°,NC+NCE戶=180°,

:.ZA+ZAEC+ZC=ZA+ZAEF+ZC+ZCEF=\80°+180°=360°,則①錯(cuò)誤;

圖1

②如圖2,過點(diǎn)E作E尸〃/W,

'：AB//CD,

：.AB//EF//CD,

AZA=ZAEF,ZC=ZCEF,

/.ZA+ZC=ZCEF+ZAEF=ZAEC,則②正確;

圖2

③如圖3,過點(diǎn)C作?！?gt;〃A從延長A3到G,

*：AB//EF,

：.AB//EF//CD,

:.ZDCF=ZEFC,

由②的結(jié)論可知/GBH+ZHCD=ZBHC,

又/GBH=180°-/ABH,ZHCD=ZHCF-ZDCF

J180°-ZABH+ZHCF-ZDCF=ZBHC,

：?1800-NABH+NHCF-NEFC=NBHC,

.?.180°-Za+Z^-Zy=Zx,故③正確；

④如圖4,過點(diǎn)P作Pb〃/W,

\*AB//CD,

：.AB//PF//CD,

，NA=NAP尸，ZC=ZCPF,

???NA二NCPRNAPC=NC+N40C,則④正確;

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵?

15.如圖，點(diǎn)E、/分別在A3、CD上，A尸JLCE于點(diǎn)O,N1=NB,ZA+Z2=90°,求證：AB//CD.請(qǐng)

填空.

證明：VAF±CE(已知)，

AZA0E=9()0().

又???N1=N8(己知),

:,CE〃BF(),

AZAFB=ZAOE(),

AZAFB=90°().

又：ZAFC+ZAm+N2=180。(),

/.ZAFC+Z2=()

又???NA+N2=90。(已知)，

/.ZA=ZAFC(),

/.AB//CD().

【答案】垂直的定義：同位角相等，兩直線平行：兩直線平行，同位角相等：等量代換；平角的定義；90；

同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【分析】先證CE〃所得ZAOE=ZA所，由Ab_LCE得乙4O￡=NA必=90",利用平角定義得出

乙4FC+N2=90\結(jié)合ZA+N2=90°可以得出ZAFC=ZA，從而得證.

【詳解】證明：VAF1CE（已知），

AZAOE=90°（垂直的定義）.

又7Z1=ZB（已知），

:,CE〃BF（同位角相等，兩直線平行），

AZAFB=ZAOE（兩直線平行，同位角相等），

AZAra=90°（等量代換）.

又7ZA尸C+Z4用+/2=180。（平角的定義），

:.NAPC+N2=90°.

XVZA+Z2=90°（已知），

???/A-ZA/C（同知的余角相等），

AAB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；平角的定義；

90；同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，并靈活運(yùn)用.

16.如圖，AD〃BC,/班。的平分線交CO于點(diǎn)尸，交8c的延長線于點(diǎn)E,NB+N8CD=18O。,求證:

/CFE=/E.

請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整：

證明：ADBC（已知），

.?.N2=ZE,（?）

???4E平分NBA。，

，②.（角平分線的定義）

/.zl=ZE.（③）

vZB+ZBCD=180°（已知）,

???④.（⑤）

.?.N1=NCF￡.（兩直線平行，同位角相等）

.?./。叫=/￡.（等量代換）

【答案】①兩更線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；@Z1