第一章

小)=

P(A+B)=P(A)+P(B).P(AB)P(X")NP(X=k)

k<v

特別地，當(dāng)A、B互斥時(shí)，

P(A+B)=P(A)+P(B)

條件概率公式

P(AB)

P⑷B)=

P(B)

概率的乘法公式

〃(A6)=P(6)P(A|6)=〃(A)P(%|A)

全概率公式：從原因計(jì)算結(jié)果

P(A)=支尸(線)P(A|a)

k=\

0<F(x,y)<l

Bayes公式：從結(jié)果找原因

P區(qū)⑷=,p(即P⑷即F^y)=P[X<xy<y}

.尸(線)尸(川線)

k=\

第一.草

二項(xiàng)分布(BernouHi分布)----X-B(n,p)

P(XM)=CV?！猵產(chǎn)(hOL,,〃)

泊松分布——x~p（入）

p(x=k)=-e~\a=O,L...)

k\

概率密度函數(shù)

rf(x)dx^\

J-8

P(a<X<b)

怎樣計(jì)算概率

P(a<X<Z?)=jf(x)dx

均勻分布X~U(a,b)

f(x)=—^—(a<x<h)

指數(shù)分布X~Exp(0)

f(x)=^e~x/0(x>0)

v

F(x)=f(x)

分布函數(shù)

對離散型隨機(jī)變量

對連續(xù)型隨機(jī)F(x)=P(XWx)=[jQ)力變量

分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：

F(x)=P(X<x)=^f(t)dt

二元隨機(jī)變量及其邊緣分布

分布規(guī)律的描述方法

聯(lián)合密度函數(shù)

聯(lián)合分布"乂內(nèi)函數(shù)

f(x,y)>0

J一□G

聯(lián)合密度與邊緣密度

八⑴二匚/。中"

離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

P{X=iyY=j}=P{X=i}P{Y=j}

連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

f(x,y)=fx(x)fY(y)

第二章

數(shù)學(xué)期望+00

E(X)=Z%"

k=f

離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義

連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義

?E(a)=a,其中a為常數(shù)

?E(a+bX)=a+bE(X),其中a、b為常數(shù)

?E(X+Y)=E(X)+E(Y),X、Y為任意隨機(jī)變量

E(g(X))=Zg(Z)P￡

隨機(jī)變量g(x)的數(shù)----------------學(xué)期望

常用公式

E(X)二Z〉Pij

iJ

召(X)=JJ，(國yYlxdy

E（x+r）=E（x）+E（r）

E(XK)=jjxyf^y)dxdy

當(dāng)X與啾立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)

方差

定義式

D(X)=j^(x-E(X))2./(x)dr

常用計(jì)算|D（X）=E（X2）[E（X）『|式

常用公式

￡＞（x+n=￡＞（%）4-。（丫）+23（X—E（x））（y一E（n））

當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí):

￡＞（x+r）=￡）（x）+D（y）

方差的性質(zhì)

D(a)=(),其中a為常數(shù)

D(a+bX)=b2D(X),其中a、b為常數(shù)

當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)，D(X+Y尸D(X)+D(Y)

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

E^X_￡(X)1丫-￡(y)]}=￡(XY)一￡(X)￡(V)

Co^X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Cov(X.Y)

PxY=I

JD(X)DW)

協(xié)方差的性質(zhì)

C(7V(X,X)=E(X2)-(E(X))2=D(X)

Cov(aX.bY)=abCov(X,Y)

Cov(X+y,Z)=C°u(X,Z)+Cov{YyZ)

獨(dú)立與相關(guān)

獨(dú)立必定不相關(guān)

相關(guān)必定不獨(dú)立

不相關(guān)不一定獨(dú)立

第四章

X~N",/)

正態(tài)分布

1

￡(%)=//,D(X)=cr2

①(a)=1-①(-〃)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式

P(Z<a)=P(Z<a)=①⑷

P(Z*)=P(Z〉a)=1—①⑷

p(〃wzvb)=a)s)-a)(〃)

P(-a<Z<a)=①(a)-①(一〃)=2①⑷一1

一般正態(tài)分布的概率計(jì)算

X?N(〃Q2)=Z=^^?NQ1)

(T

一般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式

P(X￡a)=P(X<a)=6("一勺

P(X>a)=P(X>a)=1-①(佇勺

a

P(a<X<b)=①("與-①(土上)

(JCT

第五章

〃卡方分布

若X~N(OJ),則?/⑺

;=|

若丫~2(〃,。2),則一化-4')~~/(〃)

bi=i

t分布

X

若X~N(O,I),則_.z(n)

若U?/(%),丫~/(〃2),則尸(勺,色)F分布

V/n2

正態(tài)總體條件下

樣本均值的分布：

X~N(〃，^―)---7=~N(O,I)

n(J!yjn

樣本方差的分布:

（n-\）S22/「、X—Ll

--------；--------Z（H-1）---^??〃一1)

bsIyjn

兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比

S2/S2

勺卷?網(wǎng)%T，巧T)

5/c2

第八草

點(diǎn)估計(jì)：參數(shù)的估計(jì)值為一個(gè)常數(shù)

矩估計(jì)

最大似然估計(jì)

似然函數(shù)

L=YlL=T1P(x「6)

；=i/=l

均值的區(qū)間估計(jì)——大樣本結(jié)果

文士Z32云）

產(chǎn)一樣本均值

卜一標(biāo)準(zhǔn)差（通常未知，可用樣本標(biāo)隹差S代替）

\n一樣本容量（大樣本要求/?>50）

J/2一正態(tài)分布的分位點(diǎn)

[fp-.7a/2仁)

n一樣本容量(大樣本要求＞50)

Zqn一正態(tài)分布的分位點(diǎn)

小樣本、正態(tài)總體、標(biāo)隹差。已知

小樣本、正態(tài)總體、標(biāo)隹差淋知

1±%2(〃一

ta/2(〃-1)—自由度為〃-1的，分布的分位點(diǎn)

(A7-1)S2(/?-l)S2樸2一樣本方差正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

[工一卡方分布的分位|

2，2

Zl-a/2

,Xall兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間

大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知

2備I,

兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間

'S：/S；S：/S；、

3/2（勺T,&-1）'&2（"T,%-＞

第七章

假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

①根據(jù)具體問題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1

②根據(jù)假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值

③看檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值是否落在拒絕域，若落在拒絕域則拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原

假設(shè)。

不可避免的兩類錯(cuò)誤

第1類（棄真）錯(cuò)誤：原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)

第2類（取偽）錯(cuò)誤：原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)

單個(gè)正態(tài)總體的顯著性檢驗(yàn)

?單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)

＞大樣本情形——Z檢驗(yàn)

＞正態(tài)總體小樣本、方差已知——Z檢驗(yàn)

＞正態(tài)總體小樣本、方差未知——t檢驗(yàn)

?單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)

＞正態(tài)總體、均值未知——卡方檢驗(yàn)

單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)假設(shè)的形式

（1）Ha°H\；R手小

雙邊檢驗(yàn)

（2）H、：從〈出

左邊檢驗(yàn)

（3）H。：從工4。M：N>小

右邊檢驗(yàn)

單正態(tài)總體均值的Z檢驗(yàn)

Z=X一個(gè)

b7n（大樣本情形b未知時(shí)用S代替）

拒絕域..71>y的代數(shù)表示

1424/2

雙邊檢驗(yàn)

左邊檢y驗(yàn)

右邊檢入乙驗(yàn)

比例——特殊的均值的z檢驗(yàn)

Z="一〃（）〃（）-----總體比例

J〃0（1-〃0）/