《高等數(shù)學(xué)》（理工）I

訓(xùn)練習(xí)題冊

目錄

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)..........................................................3

習(xí)題1T..........................................................3

習(xí)題1一2..........................................................4

習(xí)題1-3..........................................................5

習(xí)題1~4..........................................................6

習(xí)題1-5..........................................................7

第一章綜合練習(xí)...............................................................9

第二章導(dǎo)數(shù)與微分................................................................11

習(xí)題27..........................................................II

習(xí)題2-2..........................................................13

習(xí)題2-3..........................................................14

習(xí)題2-4..........................................................16

習(xí)題2-5..........................................................17

第二章綜合練習(xí)題............................................................19

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用................................................22

習(xí)題3-1.........................................................22

習(xí)題3-2..........................................................24

習(xí)題3-3.........................................................25

習(xí)題3-4..........................................................26

習(xí)題3-5.........................................................28

習(xí)題3-6.........................................................29

第三章綜合練習(xí)題............................................................30

第四章不定積分.................................................................37

習(xí)題4-1..........................................................37

習(xí)題4-2..........................................................38

習(xí)題4一3..........................................................39

習(xí)題4-4.........................................................40

習(xí)題4一5.........................................................41

習(xí)題4-6.........................................................42

第四章綜合練習(xí)題............................................................43

第五章定積分..................................................................45

習(xí)題57.........................................................45

習(xí)題5-2.........................................................46

習(xí)題5-3.........................................................48

習(xí)題5-4..........................................................50

第五章綜合練習(xí)題............................................................51

第六章定積分的應(yīng)用.............................................................56

習(xí)題6-1..........................................................56

習(xí)題6-2..........................................................58

第六章綜合練習(xí)題............................................................60

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

習(xí)題1-1

I、指出下列復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.

例：j=sinex2是由基本初等函數(shù)y=sinw,w=e\v=x2復(fù)合而成的

(l)y=Invarcsinx(2)j=tanx2

(3)y=VtanVx(4)j=esin2

(5)y=arctanVcosx(6)y=ln[ln(lnx)]

2、收音機(jī)每臺售價為90元，成本為60元，廠商為鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購量

超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價就降低1元，但最低價為75元.

（1）將每臺的實際售價p表示成訂購量x的函數(shù)；

（2）將廠方所獲得的利澗L表示成訂購量x的函數(shù)：

（3）某一廠商訂購了1000臺，廠方可獲取利潤多少？

3、已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角為*=40,（見圖1-1）.當(dāng)過水?dāng)嗝鍭5CD的面積

為定值So時，求濕周L（+CD）與水深之間的函數(shù)關(guān)系，并指明其定義

域.

B

4、歸納總結(jié)基本初等函數(shù)的解析式、圖形和性質(zhì).

習(xí)題1-3

1、求下列極限

smx

(1)limxarctan—(2)hm-------

XTOxXT8x

72x4-1-3

(3)lim(VP+1-Vx2-1

(4)lim

14yJx-2-42

..(x+It)2-X2

(6)lim^----------1--------

Dh

(2X-1)6(3X-2)4

(8)lim

XT8(2"1廣

...(〃+l￥w+2)(〃+3)

(9)lim^-------~---------L

5n

x+1

2、若lim------------ax-b=0,求a,方的值.

XT8(*+1

習(xí)題1-4

1、求下列函數(shù)的極限:

sin?x

(1)hm-------(2)lim2"sin二

*T°Xe2n

..1-cos2xsinx-sin^

(3)lim------------(4)lim

xsinxXT。

..x-sin3x

(5)hm------------(6)lim(l—x)2^

J)x+sin5x

(7)lim(cos

XT812x+lJ

2、證明：（1）當(dāng)x-0時，J-2+1-1與1一cosx是等價無窮小.

十a(chǎn)..tanx-sinx

3、利用等價無窮小求lim---------------

1°xsinx

習(xí)題1-5

1、證明下列結(jié)論

(1)證明點x=0是函數(shù)f(x)=sinxsin^■的可去間斷點.

x

X-1

(2)證明點x=l是函數(shù)/(AOM]——1的跳躍間斷點.

X-1

(3)證明點x=。是函數(shù)/(x)=arctan——的跳躍間斷點.

x-a

x-1

2、設(shè)函數(shù)/(x)=--------，說明函數(shù)/*)在點x=l和x=2處是否連續(xù)？如果不連

x--3x+2

續(xù)，請說明它們是什么類型的間斷點.

3、設(shè)函數(shù)/(外=產(chǎn)1咚，*>°在區(qū)間(—8,48)內(nèi)連續(xù)，則4的值是多少？

a+x2,x40

4、寫出下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.

X4-1

⑴f(x)=(2)/(X)=

Jx2-2x-3x>l

5、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

6、證明方程％3-3x=l至少有一個介于1到2之間的根.

7.證明方程x?2*=1至少有一個小于1的正根.

第一章綜合練習(xí)

一、填空題

,.1

1、hrmxsin—=.

x->0v

2、limxsin—=

x->8r

（2X-3）2°（3X+2）30

3、

sinx+e2ax-1

4、設(shè)函數(shù)/（X）=1"在點X=0處連續(xù)，則。=1

a.x=0

已知極限lima”-+bx+2=二則。

5、b=.

XT+82x-l

6、函數(shù)/(x)的連續(xù)區(qū)間是[0,1],則函數(shù)〃加(x+1)]的連續(xù)區(qū)間為L

二、選擇題

7、當(dāng)Kf/時-，函數(shù))(外的右極限/(%+0)與左極限/*0-。)都存在且相等是極限

lim/(工)存在的條件.

A,必要非充分B,充分非必要C.既非必要也非充分D.充分必要

8、當(dāng)xf0時，，x的等價無窮小量是

A.5/1+x-Vl-xB.1-cosxC.sin3xD.xsinx

x

9、設(shè)函數(shù)/(x)=±ej-—1則x=0是/(x)的

e1+1

A.可去間斷點B,跳躍間斷點C.第二類間斷點D.連續(xù)點

[

—sinx,x<0

10、設(shè)函數(shù)/(*)=?Q,x=0在點x=0連續(xù)，則。力的值分別為

xsin—+〃,x>0

A.a=b=\B.a—1,/?=0C.a=0yb=]D.a=b=0

三、計算題

..tan2x

II、lim-----=——.12、limx[ln(x+1)-Inx]

*T°V1+x-Vl-xXT8

X-l

3+1產(chǎn)

13、6+xJ

四、證明題

15、證明方程x=asinx+b,其中。＞0力＞0,至少有一個正根，且它超不過a+〃.

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

習(xí)題2-1

1.設(shè)/（工）在處可導(dǎo)，按照導(dǎo)數(shù)的定義，求下列極限.

/(x4-Ax)-/(x)/(X-AA-)-/(X)

(1)lim00(2)lim00

—-AxA.r->0Ax

/（7）-/（丫0-6）/("AY)T(q-Ax)

(3)lim(4)lim

hAxf)Ar

（5）若/（O）=OJ'（O）存在，求lim盤?

x->0x

2.用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)/（外二。-1）。一2）。-3）*-4）在克=2處的導(dǎo)數(shù).

3.討論下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)型與可導(dǎo)性.

X,x>0,

⑴/⑴小在x=0處.

x<0,

Inx,x<1,

(2)在X=1處.

rw=x-LA>1,

八、xsin—,x>0,八.

(3)/(x)=x在x=0處.

0,x<0

習(xí)題2-2

1.求曲線/(x)=x—L與橫軸交點處的切線方程.

X

2.曲線)，二F十七一2哪一點與直線y=4.V-1平行?

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=2sinj：cosx(2)y=xexInx

(3)y==+In53x~+lnx

(4)y=---------

xX

sinxxcscx

(5)(6)y=

3-cosxl+x2

4.求下列函數(shù)在給定點處內(nèi)導(dǎo)數(shù).

(1)y=^tan^+—sec^,求y,乃

2'0=-

(2))，=/-+!，求八0)，八2).

5-x5

習(xí)題2-3

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=(lx2+x-\)2(2)y=cos(4-3x)

(3)y=sinJ3x+1(4)y=arclane""

-sin—、/%

(5)y=ex(z6)y=(arctan—)

,/x-sinx

(7)小E7

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=e~x(x2-2x+3)(2)y=sin2x-sin(x2)

\nxe—e-x

(3)y=-----(4)y=-------

ex+e

(5)y=xarcsin—+y14-x2(6)y=xarcsin(lnjt)

2

3.設(shè)/(x)可導(dǎo)，求函數(shù)y=/(屋)⑺的導(dǎo)數(shù).

4?設(shè)“勸可導(dǎo)，"方＞。，"…，嚕

"2\,

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一

dx~

(1)y=xyl\-x2-arcCOST(2)y=ln(e'+71+e2')

習(xí)題2-4

1.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y.

（1）封="+'(2)Jt3+y3-2xy=0

2.求曲線-2x+y=2在x=0對應(yīng)點的切線方程.

3.求曲線/+x），+V=4在點（2,-2）處的法線方程.

4.利用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=x'

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)◎和兇?

dxdx~

x=arctanrx=\+e'

(1)<(2)

y=ln(l+r2)y=t+e~,

x=r+sint

6.求曲線《在f=0對應(yīng)點的切線方程.

\y=tcost

習(xí)題2-5

1.求下列函數(shù)的微分dy.

、,—QCOS/

(1)y-e(2)

24

(3)y=tan2(3l+2x2)(4)y=ln(cosx+Vl+cosx)

1+x

(5)y=cos(3-x)(6)y=arctan----

l-x

2.求由方程/+)'+町，=e所確定的函數(shù)y=)，(x)在/=0處的微分c/y.

3.在括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立

(1)^/()=—^=dx(2)d()=e-2xdx

(3)d()=sec23xdx(4)d()=----dx

1+x

(5)d(e2x)=()dx:(6)d()=5xd.x

第二章綜合練習(xí)題

一、選擇題

1.設(shè)/*)在x=〃處可導(dǎo)，則/(。)=()

f(a+h)-f(a-h)

A、limB、

hfO~h~腳----i----------

f(a+2h)-f(a)/(4+2力)一/(4+力

c、lim-----------7------------------D、lim

ft->0〃ft->0~h~

2.下列結(jié)論錯誤的是()

A、若/(<)在X=%)處連續(xù),則/(X)在X=X()處可導(dǎo).

B、若/(?在x=x0處不連續(xù)，則/(幻在x=x0處不可導(dǎo).

C、若/。)在x=x0處可導(dǎo)，則/*)在x=x0處連續(xù).

D、若/(x)在x=x()處不可導(dǎo)，則/(x)在工=/處也可能連續(xù).

x2,x<0

3.設(shè)/*)={1,則/(幻在點工=0處()

x3,x>0

A、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在.B、左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在.

C、左、右導(dǎo)數(shù)都存在.D、左、右導(dǎo)數(shù)都不存在.

4.函數(shù)/(x)=|x-l|()

A、在點X=0處連續(xù)可導(dǎo).B、在點X=0處不連續(xù).

C、在點X=1處連續(xù)可導(dǎo).D、在點X=1處不連續(xù).

…0、xsin—,上工0

5.設(shè)/(幻二彳x,則/(x)在點x=0處()

0,A=0

A、極限不存在.B、極限存在，但不連續(xù).

C、連續(xù)但不可導(dǎo).D、可導(dǎo).

6設(shè)f(x)=M兇c°s?則/(x)在點工=0處(

)

0,x=0

A、極限不存在.B、極限存在，但不連續(xù).

C、連續(xù)但不可導(dǎo).D、可導(dǎo).

二、填空題

7.函數(shù)/*)=卜而可在點x=0處連續(xù)，可導(dǎo).(填“是”或“不”)

7T7T

8.設(shè)f(x)=cosx,則Hm-------------------=____________________

Av->0Z

9.設(shè)/*)=/sinx,則Hm—2~~——=_______________.

5h

丫2]y<[

1().設(shè)f(x)=~'在x=l處可導(dǎo)，則。=_______，b=________

ax+b,x>1

11.設(shè)f(x)=x(x+1)。+2)(x+3),則/(0)=.

12.曲線》=/+2工一3上切線斜率為6的點是.

13.曲線y=lnx在與直線x=e的交點處的切線方程為.

14.曲線爐二1）,在點（］,］）處的切線方程為

x=sin3^cos^在。二巳處的切線方程為____________________

15.曲線，

y=sin36sin。3

三、計算題

16.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)電和微分力.

ax

⑴

y=W^(2)y=3x^x2?arcsinx

x

x(l-x)2

(3)y'=xv(4)y=

(1+4

(5)函數(shù)y=y(x)由方程y=lan(x+y)所確定.

(6)函數(shù)y=)，(x)由方程arcsiny=e"''所確定.

17.求下列函數(shù)的微分和二階導(dǎo)數(shù).

(1)y=\n(x+\l\+x2)(2)y=2xarctanx-ln(l+x2)

⑶.

18.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

x=3cos39d2yx=ln(l+產(chǎn))，求d2y

(1),，求一z-(2)

y=3sin30dx~y=f-arctanzdx2

o=4-

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

習(xí)題3-1

I.若函數(shù)/*）在（出力）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/（%）=/（々）=/53），其中。<玉〈々〈芻

<b,證明：在（內(nèi)，9）內(nèi)至少有一點使得了"0=0.

2.設(shè)。>/?>(),證明：nbn-'(a-b)<an-bn<na1'-1(a-b).

、-a-b.aa-b

3.設(shè)證明：----<In-<-----

abb

,^nnb-a,b-a

4.設(shè)0V〃V/7,證明：----rvarctanb-arctana<----T

\+b21+/

5.設(shè)x>0,證明：ln(l+x)-lnx>——

1+x

24

6.設(shè)eVaVbVet證明：-(b-a)<In2/?-In2a<-(b-a).

習(xí)題3-2

計算下列函數(shù)的極限.

Insinxe—e

1.lim-------------2.lim------------

」（1一XTOsinx

..x-sinx..tanx-x

3.1im-------------4.lim----------

?s°tanxxsinx

5.limx\nx6.lim-----------------

Xilinxx-\

,2x2.

..e—1

7.lim-------------

x-?°1-cosx

習(xí)題3-3

1.列表求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(1)y——3x~—12工+1(2)y=2x2-Inx

2.證明:當(dāng)x>1時、恒有ex>ex成立.

3.證明:當(dāng)x>OH寸，ln(l+x)>X--

2

4.證明:當(dāng)x>e時，ex>xc.

,,.、arctanx

5.證明:當(dāng)x>0時，Iml+A：)>-------

\+x

6證明:方程d-3x+l=0在(0,1)內(nèi)有且僅有唯一實根.

習(xí)題3-4

1.將邊長為。的正方形四角截去四個相等的正方形后折成一個無蓋的盒，問小正方形邊長為

多少時，能夠使盒的容積最大.

2.要造一圓柱形油罐，體積為V,問底半徑，?和高力各等于多少時?，才能使表面積最??？此

時底直徑和高的比是多少？

3.要做一個容積為36m%底面邊長為I：3的長方體集裝箱，問當(dāng)集裝箱的長、寬、高為多

少時，才能使其用料最?。?/p>

4.某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)自存磚只夠砌20m長的墻壁.問成圍成怎樣的長方

形才能使這間小屋的面積最大？

5.某窗框的形狀由半圓置于矩形上面所形成，若窗框的周長L一定時，試問半圓的半徑和矩

形的高成何比例時，窗戶的采光最充足？

6.一截面形如上方為半圓形、下方為矩形所構(gòu)成的長為￡、截面面積為4的防空洞，在防空

洞的側(cè)面和頂部涂一層均勻的防水涂料，間底邊寬為多少時，防空洞所用的防水涂料最少？

7.把一根長為24m的鐵絲剪成兩段，分別做成圓和正方形，問怎樣的剪法才能使圓和正方形

的面積之和最?。?/p>

習(xí)題3-5

1.列表求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

（1）y—2『—3x~-12工+1(2)y=xe~x

(3)y=3x2-x3(4)y=(X+1)2(X-2)

2.試確定曲線y=+bx2+cx+d中a/,c,d使得x=—2處曲線有水平切線，（1,一10）為

拐點且（-2,44）在曲線上

習(xí)題3-6

1.求曲線y=Inseex在點(x,y)處的曲率和曲率半徑.

2.求曲線工=〃cos),y=〃sin”在/=/()相應(yīng)的點處的曲率.

7F

3.求擺線x=f—sinf,y=1—cosf在/=§相應(yīng)的點處的曲率.

4.求拋物線y=9—4x+3在其頂點處的曲率和曲率半徑.

5.對數(shù)曲線y=In%上哪一點的曲率半徑最小？并求該點處的曲率半徑.

第三章綜合練習(xí)題

一、選擇題

1.設(shè)/（X）的連續(xù)區(qū)間為［0,1］,則川n（x+l）］的連續(xù)區(qū)間為（）

A、［0,1］：B、［0,^—1］：C、［l,e］；D、［e1,f］.

Z.f（x）在/處左極限/（$）和右極限/（劉）存在且相等是f（x）在與處有極限的（）

A、必要非充分條件；B、充分非必要條件;

C、充分必要條件；D、非充要條件.

3.1imx“存在是數(shù)列*“｝有界的（）

ZJ—>00

A、必要非充分條件；B、充分非必要條件；

C、充分必要條件；D、非充要條件.

4.以下說法正確的是（）

A、兩個無窮小的商一定是無窮?。築、兩個無窮大的和一定是無窮大：

C、兩個非無窮小的積一定不是無窮?。籇、兩個非無窮小的積可能是無窮小.

5.當(dāng)xf0時，l-cosx是xsinx的（

A、等價無窮?。籅、高階無窮?。籆、低階無窮??；D、同階無窮小.

6.當(dāng)X—>0時，yj\+X—J1—X是A1的（

A、等價無窮??；B、高階無窮小;C、低階無窮小；D、同階無窮小.

7.當(dāng)X70時，e"-1是sin3x的（）

A、等價無窮??；B、高階無窮小;C、低階無窮小；D、同階無窮小.

8.當(dāng)X―>0時，tan2x是J1+戈—y/\—x的()

A、等價無窮小；B、高階無窮小;C、低階無窮??；D、同階無窮小.

9設(shè)外幻Jcos2x,則當(dāng)X-0時，有（）

sinx

A、f（x）與x是等價無窮小;B、/（x）與x同階但非等價無窮小;

C>f（x）是比x高階的無窮小;D、f（x）是比%低階的無窮小.

10.x=0是/(x)=sinxsin」的(

)

x

A、可去間斷點；B、跳躍間斷點;C、第二類間斷點；D、連續(xù)點.

11.x=a是/(x)=arctan---的()

x-a

A、可去間斷點；B、跳躍間斷點；C、第二類間斷點；D、連續(xù)點.

1—cosv

12.設(shè)函數(shù)/。)二,二，則x=0是該函數(shù)的()

X+X

A、可去間斷點；B、跳躍間斷點；C、第二類間斷點；D、連續(xù)點.

x2-9

-------x*-3

13.設(shè)函數(shù)x+3，則工=一3是該函數(shù)的()

6x=-3

A、可去間斷點；B、跳躍間斷點；C、第二類間斷點；D、連續(xù)點.

14.設(shè)f(x)在X=。處可導(dǎo)，則/'(〃)=()

FT⑷B、人/（"2

A、lim/?〃）-〃叱

h->0xh

D、W一〃）.

/ioh3h

15.函數(shù)/（x）=3|x|—l在x=0處（）

A、無定義；B、不連續(xù):C、連續(xù)但不可導(dǎo)；D、可導(dǎo).

fJl+x-l、n

------F=——x>0

16.設(shè)/(幻=1G則/(x)在x=0處()

xW0

A、極限不存在；B、極限存在但不連續(xù);

C、連續(xù)但不可導(dǎo)；D、可導(dǎo).

17.下列關(guān)于極值命題中正確的是()

A、若/(%)=0,則/必是/(X)的極值點:

B、若f"(x0)=0,則與必是/(幻的極值點；

C、極大值一定大于極小值；

D、若/'(%)存在且小是極值點，則必有/(%)=().

二、填空題

18.函數(shù))，=In!——的連續(xù)區(qū)間是________.

x-5x+6

19.函數(shù)y=I，一2的連續(xù)區(qū)間是_______,

VX2-5X+6

..43-x-Jl+x20.1imxsin-4^-

19.1im-----；-------=

Ix"-\Xf8Jr+1

21.設(shè)廣⑶*則㈣"-祟/⑶

22.設(shè)f(.V)=arccosx,〃€(—1,1),則lim~

/r-?0卜

23.設(shè)/(方是可導(dǎo)函數(shù)，且出3。)"1")=/,則,(2)=______

/?->oh

24.設(shè)f(x)可導(dǎo)，則[sin2/(x)J=.

25.設(shè)/(幻可導(dǎo)，貝n/2([nx)]'=.

26.設(shè)/(幻可導(dǎo)，貝h/[ln/(f)]=.

27.曲線y=1+xev在點(0,1)處的切線方程為.

x=ln(l+r)

28.參數(shù)方程《t所確定的函數(shù)在Z=0對應(yīng)點的切線方程為_______.

y=e

示我方iJx=lnJ1+J「后.中的話照的一心目豹d2)'

29.參數(shù)方程《所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)萬萬二________.

y=arctan/dx~

_1z/2

30.參數(shù)方程-二萬所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)R=_____.

,dx~

y=1-t

31.函數(shù)/(x)=2x3-6X2-18X+1的單減區(qū)間為,極小值為.

32.函數(shù)/(x)=d-3x-]的單增區(qū)間為，極小值為.

33.曲線)，=1-3一的凸區(qū)間為,拐點為,

34.曲線y=X3-3X2+1的拐點為.

35.拋物線.y=4x-x2在其頂點處的曲率半徑p=.

36.雙曲線》=4在點(2,2)處的曲率半徑p=.

三、計算題

/O久、/IQ

37.計算lim----二38.計算lim---------

XTT1X+IX+\]l-x

X1

39.計算limcotx——40.計算lim

Ex)kx-lInx；

x+-

’31

41.計算lim----------------42.計算lim

2。1111(1+幻A)XT8<3x+l

x

43.計算lim44.計算lim

~UxXT00<2x+l>

(2YA

45.計算lim1----------46.計算lim

3x4-4J〃一>8

47.求函數(shù)y=(1+co$x)'的導(dǎo)數(shù)蟲.

dx

48.求參數(shù)方程,"=此。+'2）所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)二?

y=t-arctantdx^

工=]+廣

49.求參數(shù)方程《一所確定函數(shù)），=），（?在，=0對應(yīng)點的二階導(dǎo)數(shù).

y=cost

50.求函數(shù)y=xarccos戈一-V+2'""的微分小，.

51.求函數(shù)y=2'arctanx+InJl+x，的微分dy.

52.求函數(shù)y=xarcsin—+A/4-X2-2'的dy及勺-

2dx~

53.設(shè)函數(shù)y=x\l\-x2-arccosx,求力及《上

dx~

54.設(shè)函數(shù)y=ln（x+J1+無2）,求外及幺?

dx-

y/V21，

55.設(shè)函數(shù)y=J,求山，及Z

Vl-x2dx-

56.求方程/'+孫=e所確定的函數(shù)），=y（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù).

57.求曲線-2x=2-y在x=0對應(yīng)點的法線方程.

58.求曲線y=\-xey在x=0對應(yīng)點的切線方程.

四、應(yīng)用題

59.用長為6m的鋁合金材料加工一個日字形窗框，問窗框的長和寬各為多少時，才能使窗戶

的面積最大？最大的面積是多少？

60.設(shè)有底為等邊三角形的直柱體，休積為V,要使其總面積為最小，問底面的邊長應(yīng)為多

少？

五、證明題

61.當(dāng)天＞0時，證明ln(l+x)Vx.

X

62.證明不等式：^Vln(l+x)Vx,其中x>0.

1+x

63.證明：方程f+x=l在［0,+8)內(nèi)有且僅有唯一實根.

第四章不定積分

習(xí)題4-1

1.計算下列不定積分

(2)sin2；

2

dx(4)jtan2xdx\

1-cos2x

3d+3/+l

(6)j

⑸J7f----；------dx

(7)Fsecx(secx—tanxybc；(8)f一」——dx\

Jcos-xsirrx

rcos2x,

(9)Jcos2xsin2x^：(10)卜

2.一曲線通過點（片,3）,且在任一點處切線的斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程.

3.設(shè)/(cos?x)=sin?%,且/⑼=0,求/(x).

習(xí)題4-2

1.計算下列不定積分

X

(I)(2)Jxedx

(4)

(5)j—(l+lnx)(Z￥

f1()22

(7)ftan'°xsec2xclx(8)/dx

J

arctanVx

(9)dx；(10)jx(l-x)dx

Vx(l+x)

習(xí)題4-3

1.計算下列不定積分

⑵Jj；

rcosx,

/dx；(4)fcos3xdx;

JV2+cos2x

(5)jcos2xsin4.vt/r；(6)Jtan4xdx.

5

(7)jsecxtanx^v;(8)sin5xsin7AzZr；

sinxcos'x,rsinxcosx

-------；-dx；(10)------：-dx.

2+cos'xJl+sin“x

習(xí)題4-4

1.計算下列不定積分

dx|,1—Vx

(1)(2)J1+Vxdx

1++2

dx

(4)

I+71-X2

(8)fdx