1.1.1空間向量及其線性運算（精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.如圖，在空間四邊形以3。中，PA+AB-CB=<）

A.PCB.PAC.ABD.AC

【答案】A

根據(jù)向量的加法、減法法則得PA+AB-CB=PB-CB=PB+BC=PC.

故選：A.

2.已知空間四邊形ABC。中，=OB=b，OC=c，點N在BC上,且CN=2NB,M為04中點,

則MN等于（）

【答案】B

MN=ON—OM=OB+BN--OA=OB+-BC--OA

232

=0B+-(0C-0B)--0A=--0A+-0B+-0C=--a+-b+-c.

32233233

3.婦圖，平行六面體—中，AU與8a交于點M,設(shè)A8=a，AD=h，44,=。，則人M等

于（）

B.-ci+-h+c

22

【答案】B

由已知可得

AM=AA,+A.M=AA+-(4,K,+A,/),)=1(4H+4/)j+4A,

22

故選：B.

4.在平行六面體ABCO-AgGA中，設(shè)AA=〃，AB=b，AD=c，M，分別是4A，GR的中點，則

MP=<)

C.-a+—b+cD.—a+—b+—c

22222

【答案】C

由題意，M.P分別是AA，G。的中點，所以

MP=M/\+4P=g+(4。|+。［尸)=(44+(八￡)+；/18)=ga+；b+c

故選：C

5.已知點。ARC為空間不共面的四點，II.向量a=O八+O8+OC，向量〃=04+08-0。，則與不能

構(gòu)成空間基底的向量是（）

A.OAB.OBC.OCD.OA^OB

【答案】C

()C=-(a-b)=-(()A+()li+()C)--(()A+()li-()C),

222

OCl-ja>。不能構(gòu)成空間基底：

故選：C.

6.已知平面A8c。外任意一點。滿足04=；08+；lOC+(l—g/j。。，則2取值是()

2I1

A.—B.—C.—D.—

2536

【答案】A

由向量共面定理可知：；++=解得：2=1.

故選：A

7.平行六面體A4C。-A4GA中，若AG=xA8+2)出C—3zCC；,貝ijx+y+z=()

752

A.1B.-C.-D.-

663

【答案】B

因為AC；=A8+4C+CG,又因為AC；=xA8+2.y8C—3zCG且等式右邊的三個向量不共面，

故可得％=l,2y=l.-3z=l,解得x=l,y=g,z=—；,

故可得X+>'+2=1+---=-.

236

故選：B.

.在四面體OABC中，空間的一點。必滿足0M=工。4+J03+O。，若MA,MB，MC共面，則(

844=)

26

A.-B.-C.—D.—

231212

【答案】B

t!I^MA=OA-OM=-OA--OB-AOC,MB=OB-OM=--OA^--OB-AOC,

2626

MC=OC-OM=-^OA-^OB+(}-A)OC,

「MA，MB，共而，

在在實數(shù)唯一實數(shù)對(，〃,〃)，使得“人=mMB+〃MC,

—OA--OB—AOC=/〃/—。/1H—OB-XOC)+〃—OA—OB+(1—A,)OC,

26126JL26J

D.若P,M,A,4四點共面，貝IJMP=X/VM+），/WB

【答案】BD

對于選項A：由平面向量基本定理得0與a，/＞共面，A是其命題：

對于選項B：若“，〃共線，p不一定能用〃表示出來，B是假命題：

對于選項C：若=貝！MRM4.M8三個向量在同一個平面內(nèi)，P,M,A,4四點共面，C

是真命題；

對于選項D：若M,A,B共線，點P不在此直線上，則MP=xM4+），MB不成立，D是假命題；

故答案為：BD

三、填空題

11.如圖四棱錐O—A8CD中，四邊形ABC。為菱形，OD=xOA+yOB+zOC,則x+y+z=.

O

D

【答案】1

解：因為四棱錐O—A3CO中，四邊形為菱形，

刖以AO=BC，所以O(shè)O—OA=0（7—08，所以00=04-08+0。?

所以x=l,）'=T,z=l,故％十y十2=1.

故答案為：1

13

12.在四面體A48中，已知E為線段4C上的點，。為線段。。上的點，且BE=gBC,DO=3DE,若

AO=xAB+yAC+zAD,則冷？的值為.

4

【答案】商

由題意可知，

AO=AO+OO=+=AO+沙8+阻=人0+義一+!^

3f111212

=4D+-AB-AD+-AC--AB\=-AB+-AC+-AD,

5（33J555

2124

所以x=W，y=^,z=w，所以不2=玩.

JJJ1

4

故答案為：^

四、解答題

13.如圖，在四面體PABC中，點M、N分別為勿、尸B的中點,問：MN與BC、AC是否共面？

AR=AC+CR=AC-RC,且M、M分別為P4、依的中點，

所以，MN=PN-PM=-PB--PA=-(PB-PA]=-AB=-AC--BC.

222、)222

因此，MN與8C、AC共面.

14.如圖所示，在平行六面體A8CO-A4GR中，。為AC的中點.

(1)化簡：A.O--AB--AD；

22

(2)設(shè)E是棱上的點，且=,若￡O=XA4+F4O+ZAA,試求實數(shù)x,)Lz的值.

一112

【答案】(1)AA；(2)4=5、y=--xz="-.

乙乙D

(1)AiO-^(AB+AD)=A]O-AO=-OAi+OA=AyA

(2)EO=AO-AE=^(AB+AD)-AD-^AA.

I一I----9----

=^AB--AD--AA],

112

."=丁'=-5、z=--

B能力提升

1.已知向量a，b，且A5=a+2b，AC=-5a+6/?,CD=7a—2b，則一定共線的三點是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

因為A8=a+2b，BC=—5a+6b，CD=1a-2b，

選項A,AB=a+2b，BD=BC+CD=(-5a+6/?)+(7a-2b)=2a+4h,若4,B,。三點共線，則=

即。+28=〃2a+4〃)，解得2=；,故該選項正確；

選項B,A8=a+2h，BC=-5a+6b，若A，B,C三點共線，則=28。，即a+2》=〃一54+6切，解得

%不存在，故該選項錯誤；

選項C,BC=-5a+6b，CD=7a-2b，若&C,D三點共線，則8C=28O,即一5a+6b=以7。-2。)，解

得義不存在，故該選項錯誤：

選項D,AC=AB+BC=(a+2b)+(~5a+6b)=-4a+8Z>,CD=7a-2b，若A,C,。三點共線，則AC=4C0，

即-d+8〃=/t(7"-2〃)，解得4不存在，故該選項錯誤;

故選：A.

2.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是()

A.若,八。｝可以構(gòu)成空間的一組基，向量d與c共線，d工()，則｛凡〃/｝也可以構(gòu)成空間的一組基

B.已知向量?！?，則a，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基

C.已知A,B,M,N是空間中的四點，若8A，BM，BN不能構(gòu)成空間的一組基，則A,13,M,N

四點共面

D.已知,也C；｝是空間的一組基，若〃=a+￡,則，也〃“不是空間的一組基

【答案】ABC

對B：根據(jù)基向量的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一組基，故B是真命題.

對C,由胡，BM，BN不能構(gòu)成空間的一組基，知A4，BM，BN共面，又BA，BM，BN有公共點8，

所以A,3,M，N四點共面，故C是真命題.

對A,假設(shè)向量d與a，。共面，則存在實數(shù)4,〃，使得d=2a+/z/九又向量d與c共線，cwO，.?.存在

實數(shù)出，使得）=kc?J*0?-1-AwD,從而c=4a+gc與a，b共面，與條件矛盾，二向量d與a?

kK

力不共面，即A是真命題.

對D,假設(shè)｛。也可是空間的一組基，則不存在X），滿足“=入”+w，所以不存在%），滿足a+c=xa+j，。，

???｛。自。｝是空間的一組基，，不存在看），滿足“+。=皿+）仇，假設(shè)成立，，D是假命題.

故選：ABC.

3.邊長為4的正方體A8CO-A8G僅內(nèi)（包含表面和棱上）有一點尸，M,N分別為A4，。口中點，

RAP=AAM+e/?）.^D,P=/Diq（r€R）,WOt=:若A『=&ACUe/?）,則三棱錐。一ABC

體積為.

【答案】；I##0.2520

如圖，

空1：D}P=D1A+AP=-(AD+DD^-^AAM+^AN

=-AD-AR+7(AA+Am)+〃(AD+DN)

=—AD—AA^+A/^+—AB)+/J(AD+—AAf)

=?八8+(“-1)40+(/1+；〃-1)明=/〃G=tAB,

2,

所以“7=0,所以r=；

14

2+-//-l=0

2

i

空2：A}/=A,Di+DiP=AD+^AAB-(u-\)AD+(A+^u-\)AAi

1-1

=52AB+〃A￡)+(/i+]〃-1)7Vli,

AiC=A,A+AB-￥BC=AB+AD-AA.,

因為

ii---

所以j/MB+vAD+Q+^DAA,=k(AB+AD-AA,)f

2

所以人=5,

所以也Bc=；xgx2x2x^x2=|^

I20

故答案為：(1〉—:(2)—.

421

inio2Ru，

4.如圖，四面體4BCQ中，M、N分別是線段5C、AQ的中點，已知AG=jAM,

(1)NM==(NB+NC)；

2

(2)NM=DB+、AC；

2

1--

(3)NG=-(NA+NB+NC)；

3

(4)存在實數(shù)x,V,使得NG=xOB+.yOC.

則其中正確的結(jié)論是.(把你認為是正確的所有結(jié)論的序號都填上).

【答案】(1)(3)

【詳解】

解：(1)?.M是線段8c的中點，.?.MW=g(N3+Nd),正確：

(2)取C。的中點E,連接EN,EM.則NM=NE+EM=gAC+gD8,因此不正確:

22

（3）NG=NM+MG=MW+；MA=NM+；（附-NM）=|xg（N3+NC）+；/V4=；（N8+NC+A乂），因此

正確；

uiun211111r

（4）?.n、N分別是線段BC、人。的中點，AG=-AM,

二NG與平面DBC不平行，

；?不存在實數(shù)％，,'，使得NG=xO8+），QC.

練上可得：只有（1）（3）正確.

故答案為：（1）（3）.

C綜合素養(yǎng)

1.如圖，在三棱錐P—A8C中，點G為的重心，點M在尸G匕且PA/=3MG,過點M任意作一個

平而分別交線段叢，PB，PC于點、D,E?F?若防=〃?尸立，PE=nPB1PF=tPC,求證：+

為定值，并求出該定值.