2.5直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系第二章圓逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系切線(xiàn)的判定切線(xiàn)的性質(zhì)切線(xiàn)長(zhǎng)定理三角形的內(nèi)切圓知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系11.設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為d，圓的半徑為r，則：當(dāng)d<r

時(shí)，直線(xiàn)與圓恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，這時(shí)稱(chēng)直線(xiàn)與圓相交，這條直線(xiàn)叫作圓的割線(xiàn)；當(dāng)d=r時(shí)，直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)稱(chēng)直線(xiàn)與圓相切，這條直線(xiàn)叫作圓的切線(xiàn)，這個(gè)公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；當(dāng)d>r時(shí)，直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)稱(chēng)直線(xiàn)與圓相離.感悟新知知1－講直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0122.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系感悟新知知1－講公共點(diǎn)名稱(chēng)切點(diǎn)交點(diǎn)直線(xiàn)名稱(chēng)切線(xiàn)割線(xiàn)圓心O

到直線(xiàn)l的距離d

與半徑r

的關(guān)系d>r

d=r

d<r等價(jià)關(guān)系d>r

?直線(xiàn)l

與⊙O

相離d=r

?直線(xiàn)l

與⊙O

相切d<r

?直線(xiàn)l

與⊙O

相交3.根據(jù)切線(xiàn)的定義，可以知道切線(xiàn)具備的性質(zhì)有：(1)切線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.感悟新知知1－講感悟新知知1－講要點(diǎn)提醒如果一條直線(xiàn)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么第三個(gè)也成立：(1)過(guò)圓心；(2)過(guò)切點(diǎn)；(3)垂直于切線(xiàn).知1－練感悟新知

例1知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

答案：B知1－練感悟新知解法提醒判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法：1.根據(jù)直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定；2.將圓心到直線(xiàn)的距離d

與圓的半徑r

相比較，在沒(méi)有給出d

與r

的具體數(shù)值的情況下，可先利用圖形條件及性質(zhì)求出d

與r的值，再通過(guò)比較大小判定其位置關(guān)系.知1－練感悟新知

例2

知1－練感悟新知解法提醒要判斷OB=m

在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，直線(xiàn)BC

與⊙O

相離、相切、相交，就要求出圓心O

到直線(xiàn)BC的距離d，把d

與⊙O的半徑r

的大小進(jìn)行比較，并利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中相切、相離、相交時(shí)d

與r

之間的相等或不等關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為解方程或不等式的問(wèn)題，從而求出m

的取值范圍.知1－練感悟新知解題秘方：利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系建立方程(或不等式)求m

的取值范圍.解：如圖2.5－2，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D.∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°.∵OD⊥BC，∴∠DOB=30°.知1－練感悟新知

感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)切線(xiàn)的判定21.判定定理：

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).知2－講感悟新知特別提醒切線(xiàn)必須同時(shí)具備兩個(gè)條件：(1)直線(xiàn)過(guò)半徑的外端；(2)直線(xiàn)垂直于這條半徑.感悟新知知2－講2.判定方法?(1)定義法：與圓有唯一公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；(2)數(shù)量關(guān)系法：圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；(3)判定定理法：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).感悟新知知2－練[中考·郴州]如圖2.5-3，在△ABC

中，AB=AC．以AB

為直徑的⊙O

與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D

作DE⊥AC，垂足為E，ED

的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P．例3知2－練感悟新知解題秘方：(1)利用“有切點(diǎn)，連半徑，證垂直”判定圓的切線(xiàn)；(2)根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解．知3－練感悟新知(1)求證：直線(xiàn)PE

是⊙O

的切線(xiàn)；證明：如圖2.5-3，連接OD.∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵AB=AC，∴∠ABD=∠C．∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED=90°，∴PE⊥OD.又∵OD是⊙O的半徑，∴直線(xiàn)PE

是⊙O的切線(xiàn).知3－練感悟新知(2)若⊙O

的半徑為6，∠

P=30°，求

CE的長(zhǎng)．

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知技巧提醒作輔助線(xiàn)判定圓的切線(xiàn)的常用方法：1.有切點(diǎn)，連半徑，證垂直

.如果已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)，那么連接這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線(xiàn)垂直即可，簡(jiǎn)記為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直.知3－練感悟新知2.無(wú)切點(diǎn)，作垂線(xiàn)，證半徑.如果已知條件中不知道直線(xiàn)與圓是否有公共點(diǎn)，那么過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，再證明垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于半徑即可，簡(jiǎn)記為：無(wú)切點(diǎn)，作垂線(xiàn)，證半徑.感悟新知知2－練如圖2.5－4，在Rt△ABC

中，∠B=90°，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D

為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D.求證：AC

與⊙D

相切.例4

知2－練感悟新知證明：如圖2.5－4，過(guò)點(diǎn)D

作DF⊥AC于點(diǎn)F.∵∠B=90°，∴DB⊥AB.又∵AD

平分∠BAC，∴DF=DB.∴AC與⊙D相切.解題秘方：利用“無(wú)切點(diǎn)，作垂線(xiàn)，證半徑”判定圓的切線(xiàn).感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)切線(xiàn)的性質(zhì)31.性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.感悟新知知3－講2.切線(xiàn)的性質(zhì)?(1)切線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑.(3)圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.(4)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)(找切點(diǎn)用)

.(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心(找圓心用)

.以上(3)(4)(5)可歸納為，如果直線(xiàn)滿(mǎn)足過(guò)圓心、過(guò)切點(diǎn)、垂直于切線(xiàn)這三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么第三個(gè)也成立.知3－講感悟新知特別提醒切線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別：切線(xiàn)的判定定理是在未知相切而要證明相切的情況下使用；切線(xiàn)的性質(zhì)定理是在已知相切而要推得其他的結(jié)論時(shí)使用.它們是一個(gè)互逆的過(guò)程，不要混淆.知3－練感悟新知

[中考·海南]如圖2.5-5，射線(xiàn)AB

與⊙O相切于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)圓心O的射線(xiàn)AC

與⊙O

相交于點(diǎn)D，C，連接BC，若∠A=40°，則∠ACB=_______°．例5知3－練感悟新知解題秘方：利用“圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)求解.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知答案：25知3－練感悟新知解法提醒已知圓的切線(xiàn)時(shí)，常連接圓心和切點(diǎn)，得到半徑垂直于切線(xiàn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題，即“見(jiàn)切線(xiàn)，連半徑，得垂線(xiàn)”；而等半徑，可得等腰三角形，從而可得兩底角相等.在同圓中有關(guān)切線(xiàn)的問(wèn)題常通過(guò)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決.知3－練感悟新知

例6

知3－練感悟新知解題通法已知切點(diǎn)或切線(xiàn)求角度或線(xiàn)段的長(zhǎng)的方法：通常連接切點(diǎn)和圓心,構(gòu)造直角三角形[以所得半徑，圓心與切線(xiàn)上一點(diǎn)(除切點(diǎn)外)所連的線(xiàn)段以及切線(xiàn)上這一點(diǎn)(除切點(diǎn)外)與切點(diǎn)所連線(xiàn)段為三條邊],然后通過(guò)三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.知3－練感悟新知解題秘方：連接圓心和切點(diǎn)，過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，構(gòu)造矩形，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

答案：B感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)切線(xiàn)長(zhǎng)定理41.切線(xiàn)長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng).特別提醒切線(xiàn)是直線(xiàn)，不可度量；切線(xiàn)長(zhǎng)是切線(xiàn)上切點(diǎn)與切點(diǎn)外另一點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，可以度量.感悟新知知4－講2.切線(xiàn)長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所作的圓的兩條切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角.感悟新知知4－講3.?示例

如圖2.5－7是切線(xiàn)長(zhǎng)定理的一個(gè)基本圖形，可以直接得到結(jié)論：(1)

PO⊥AB；

(2)

AO⊥AP，BO⊥BP；(3)

AP=BP；

(4)

∠1=∠2=∠3=∠4；(5)

AD=BD；

(6)

AC=BC等.⌒⌒感悟新知知4－練如圖2.5－8，PA，PB，DE分別切⊙O于點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D在PA上，點(diǎn)E

在PB

上.例7解題秘方：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的定義，判斷出PA，PB，DA，DC，EC，EB

的長(zhǎng)都是切線(xiàn)長(zhǎng)，再利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理找到相等關(guān)系.知4－練感悟新知圖解如圖2.5-9，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，可將求△PDE

的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求PA

與PB

的和.感悟新知知4－練(1)若PA=10，求△PDE的周長(zhǎng)；解：∵PA，PB，DE分別切⊙O

于點(diǎn)A，B，C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB.∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.∴△PDE的周長(zhǎng)為20.感悟新知知4－練(2)若∠P=50°，求∠DOE

的度數(shù).

知4－練感悟新知詳解由于點(diǎn)D到OA，OC

的距離相等，點(diǎn)E到OB，OC

的距離相等，根據(jù)在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，可知點(diǎn)D，E分別在∠AOC，∠BOC

的平分線(xiàn)上.感悟新知知4－練如圖2.5－10，PA，PB是⊙O

的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，BC

為⊙O

的直徑，連接AB，AC，OP.

例8

解題秘方：活用切線(xiàn)長(zhǎng)定理中角的關(guān)系結(jié)合相關(guān)性質(zhì)證明.知4－練感悟新知

求證：(1)∠APB=2∠ABC；知4－練感悟新知證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.(2)AC∥OP.知4－練感悟新知特別提醒切線(xiàn)長(zhǎng)定理揭示了兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是切線(xiàn)長(zhǎng)相等，揭示線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系；二是圓外一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角，揭示了角之間的數(shù)量關(guān)系.這兩個(gè)方面的內(nèi)容為證明線(xiàn)段之間的關(guān)系或者角之間的關(guān)系提供了大量的條件.感悟新知知5－講知識(shí)點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓51.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫作圓的外切三角形.感悟新知知5－講2.?三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是這個(gè)三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn).三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑.感悟新知知5－講

知5－講感悟新知要點(diǎn)解讀1.“內(nèi)切”“外切”是針對(duì)位置而言的，“內(nèi)”是相對(duì)于三角形而言，“外”是相對(duì)于圓而言