北師大版（2024）第一章《勾股定理》1.1探索勾股定理2教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科數(shù)學(xué)年級八課型新授課單元一課題探索勾股定理2課標(biāo)要求1、深化理解與初步應(yīng)用：在第一課時(shí)（側(cè)重于定理的發(fā)現(xiàn)或初步驗(yàn)證）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對勾股定理的理解，并開始學(xué)習(xí)如何運(yùn)用它來解決具體問題。2、掌握基本計(jì)算方法：能夠根據(jù)直角三角形的已知兩邊，準(zhǔn)確計(jì)算出第三邊的長度。這包括已知兩條直角邊求斜邊，以及已知一條直角邊和斜邊求另一條直角邊。教材分析本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時(shí)，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內(nèi)容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題，體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題意識和能力，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).學(xué)情分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在上節(jié)課已經(jīng)通過測量和數(shù)格子的方法，對特殊的直角三角形進(jìn)行了探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進(jìn)行一般性的驗(yàn)證.學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生具有了一定的自主探究經(jīng)驗(yàn)和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；尤其在在七年級《圖案設(shè)計(jì)》的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).核心素養(yǎng)目標(biāo)1.了解勾股定理的歷史,感受數(shù)學(xué)文化;2.探究驗(yàn)證勾股定理的方法:等面積,兩算法;3.能初步應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.4.經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和合作精神.教學(xué)重點(diǎn)利用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)驗(yàn)證勾股定理的方法教學(xué)準(zhǔn)備準(zhǔn)備4個(gè)相同的直角三角形與相應(yīng)課件。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、溫故復(fù)習(xí)提問，溫故孕新1、上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？2．如何驗(yàn)證勾股定理呢？3.填空（1）一個(gè)直角三角形兩直角邊分別是3、4，斜邊是5。（2）一個(gè)直角三角形的斜邊是13，,其中一條直角邊分別是5，另一條直角邊是12。1、回顧知識，思考問題，2、完成填空題。喚醒記憶為新授做好準(zhǔn)備。二、探究合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟1、小組活動(dòng)：請你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形．看看有幾種拼法。2、作品展示3、小組合作驗(yàn)證勾股定理，利用圖一、圖二根據(jù)大正方形的面積等于中間正方形面積+4個(gè)直角三角形的面積。4、小組合作利用下圖驗(yàn)證勾股定理。5，追溯歷史①用圖2驗(yàn)證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖②2002年的數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM-2002）在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的弦圖，這既標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們！③勾股定理與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)約公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對角線的長度是不可公度的.按照畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個(gè)有理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，這一事實(shí)不但與畢氏學(xué)派的哲學(xué)信念大相徑庭，而且建立在任何線段都可公度基礎(chǔ)上的幾何學(xué)面臨被推翻的威脅，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由此爆發(fā)。據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、惱怒，為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海。不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為“無理的數(shù)”，無理數(shù)的英文“irrational”原義就是“不可比”。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一直持續(xù)到19世紀(jì)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決。我們將在下一章學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)數(shù)的知識。④勾股定理的總統(tǒng)證法在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形……于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。6.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你想得到自己的方法嗎？1、用4張完全一樣的直角三角形拼圖。2、用拼圖（等面積、兩算法）驗(yàn)證勾股定理。3、追溯歷史，閱讀教材第6-7頁《漫畫勾股世界》利用課前準(zhǔn)備的4張完全一樣的直角三角形拼成一個(gè)正方形，再根據(jù)等面積兩算法驗(yàn)證勾股定理，這樣設(shè)計(jì)隱藏了滿足勾股定理的使用條件。是學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)勾股定理的的具體含義，體現(xiàn)數(shù)型結(jié)合思想。通過閱讀漫畫勾股世界激發(fā)學(xué)生的熱愛祖國悠久歷史文化情感，激發(fā)學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)四、變式師生互動(dòng)，變式深化1、觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足結(jié)論：勾股定理使用的條件是直角三角形。2、自學(xué)例題：課本第5頁1、小組活動(dòng)課本第6頁，利用等面積兩算法探究滿足勾股定理的條件。2、自學(xué)例題（課本第5頁）通過探究課本第6頁觀察與思考，體會(huì)勾股定理的滿足條件。通過例題的學(xué)生讓學(xué)生體會(huì)勾股定理的價(jià)值。五、嘗試【知識技能類作業(yè)】必做題：1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，則c的長是(A)A．5B．10C．12D．142．如圖，在Rt△ABC中，下列結(jié)論中正確的是(B)A．AC2＝BC2＋AB2B．AB2＝BC2＋AC2C．BC2＝AB2＋AC2D．以上結(jié)論都不正確3．如果梯子的底端離建筑物5m，13m長的梯子可以達(dá)到該建筑物的高度是(A)A．12mB．13mC．14mD．15m4．等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則其底邊上的高為(B)A．13B．8C．5D．645．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，則正方形ABDE的面積為(C)A．18B．36C．65D．72【知識技能類作業(yè)】選做題：6.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面積為49cm2，則正方形A，B，C，D的面積的和是49cm2.【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積S1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，…，Sn(n為正整數(shù))．根據(jù)題意解答下列問題：(1)第5個(gè)正方形的面積S5＝16；第9個(gè)正方形的面積S9＝256；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值．解：由S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1，①.則2(S1＋S2＋S3＋…＋Sn)＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝2＋22＋23＋…＋2n，②②－①得：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝2n－1.學(xué)生完成必做題，教師指導(dǎo)完成選做題和綜合拓展作業(yè)。引導(dǎo)學(xué)生能夠在課堂練習(xí)的完成過程中對要點(diǎn)知識加深鞏固，有效應(yīng)用。六、提升適時(shí)小結(jié)，興趣延伸1.、驗(yàn)證勾股定理的方法:等面積，兩算法勾股定理的運(yùn)用找準(zhǔn)斜邊，根據(jù)斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。學(xué)生從知識內(nèi)容、研究方法以及運(yùn)用過程三個(gè)方面總結(jié)自己的收獲。讓學(xué)生全面把握本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，并啟發(fā)學(xué)生用類比或遷移的方法學(xué)習(xí)后續(xù)課程。板書設(shè)計(jì)勾股定理（）1.、驗(yàn)證勾股定理的方法:等面積，兩算法勾股定理的運(yùn)用找準(zhǔn)斜邊，根據(jù)斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。作業(yè)設(shè)計(jì)（課外練習(xí)）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一個(gè)直角三角形，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（A）A．斜邊長為5 B．三角形的周長為25C．斜邊長為25 D．三角形的面積為202．若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的值可能有(B)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)3．如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225、289，則字母A所代表的正方形的面積為（D）A．4B．8 C．16 D．64第3題第4題4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為(C)5．一個(gè)長方形的一條邊長為3cm，面積為12cm2，那么它的一條對角線長為6.56．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為4．第6題第7題7．如圖，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，則CE2+CF2=100cm2．能力提升：8.在直線上依次擺著7個(gè)正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝4．拓展遷移：9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．(1)