北師大版（2024）第一章《勾股定理》教學(xué)設(shè)計學(xué)科數(shù)學(xué)年級八課型新授課單元一課題探索勾股定理課時1課標(biāo)要求經(jīng)歷探究勾股定理的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理意識和主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。理解直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的說理能力和推理能力。運用勾股定理解決實際問題，并通過勾股定理實例了解勾股定理的歷史和運用，體會它的文化價值。教材分析本章內(nèi)容主要研究勾股定理及其逆定理，包括發(fā)現(xiàn)、證明、運用三個環(huán)節(jié)，首先讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理。然后運用勾股定理解決問題，在此基礎(chǔ)上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索過程中，要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察、歸納和總結(jié)，并將結(jié)論運用到問題解決中，注意體會數(shù)型結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。本章節(jié)勾股定理的背景資料非常豐富，使學(xué)生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，感受勾股定理豐富的文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過介紹我國在勾股定理研究方面取得的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形、等腰三角形、全等三角形及簡單的多邊形對學(xué)習(xí)勾股定理有很大的幫助，但本章內(nèi)容思維量大，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)、歸納推理能力要求較高，學(xué)生學(xué)起來有一點的難度。核心素養(yǎng)目標(biāo)1、掌握勾股定理,會用拼圖法驗證勾股定理.2、掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件。3、能應(yīng)用勾股定理解決實際問題.體驗成功的快樂。4、在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)重點利用數(shù)型結(jié)合的思想驗證勾股定理，利用勾股定理解決問題。教學(xué)難點在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)準(zhǔn)備課件及章節(jié)思維導(dǎo)圖教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一、溫故1、知識框架知識梳理勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.應(yīng)用條件：直角三角形勾股定理逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形.勾股數(shù)滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別于聯(lián)系區(qū)別：勾股定理以“一個三角形是直角三角形”為條件，得出三角形三邊有關(guān)系式成立.。勾股定理逆定理：一個三角形的三邊a、b、c滿足為條件,得出這個三角形是直角三角形的結(jié)論.聯(lián)系：都與三角形三邊有關(guān)，都與直角三角形有關(guān)。勾股定理的驗證小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識框圖。相互交流完善知識框圖.梳理知識。利用面積關(guān)系驗證勾股定理利用思維導(dǎo)圖，構(gòu)建知識網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖。梳理本章知識是學(xué)生的知識點形成一個完整的體系。設(shè)計三個圖形利用求面積的方法驗證勾股定理，加深學(xué)生對勾股定理的理解和掌握。也達到數(shù)形的完美結(jié)合。五、中考鏈接題型一直角三角形中已知兩邊，求第三邊。1、已知一個直角三角形的兩直角邊長分別是3cm和4cm,第三邊長的平方為25。2、已知一個直角三角形的兩邊長分別是3cm和4cm,第三邊長的平方為7或25。題型二勾股定理的逆應(yīng)用1、下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫叺娜切尾皇侵苯侨切蔚氖?A)A．1.5，2，3B.8，15，17C．6，8，10D.3，4，5如圖，在四邊形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求證：AD⊥BD證明：∴AD⊥BD.題型三最短路線問題如圖，有一個長方體的長、寬、高分別是6、4、4，在底面A處有一只螞蟻，它想吃到長方體上面與A相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是題型四主要數(shù)學(xué)思想-------方程思想如圖，已知長方形ABC中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.解：由折疊可知AD=AF=10cm在Rt△ABF中∴BF=6,FC=4設(shè)CE為Xcm，DE=EF=8-x在Rt△EFC中求出X=3答：CE長3cm.題型五勾股定理與面積直線l上有三個正方形a、b、c，若a和c的面積分別為5和11，則b的面積為?解：由于△ABC≌△CDF(利用一線三直角學(xué)生自己證明為何全等）∴AB=CDb=CF=CD+DF=5+11=16∴b的面積是16.學(xué)生對五種不同題型題目嘗試解答。對有困難的學(xué)生教師適當(dāng)點撥。解答過程注意；一線三直角的兩個三角形全等的證明。長方體中螞蟻爬行的線路最短問題，需要分三種情況分別計算，然后找出最短路徑。設(shè)計不同題型，都是圍繞勾股定理展開的，在實際生活中,勾股定理有著廣泛的應(yīng)用.在運用的過程中,要注意是運用勾股定理還是運用勾股定理的逆定理.在解決問題的過程中,尋找和構(gòu)造垂直關(guān)系就成為解題的關(guān)鍵所在。。六、課堂練習(xí)基礎(chǔ)達標(biāo)：1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（D）A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，172．一個直角三角形兩條直角邊的長分別為6，8，則其斜邊上的高為（C）A．B．13 C．D．253．如圖，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有a，b，c，d四條線段，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個數(shù)為（B）A．1個B．2個 C．3個D．4個第3題第4題4．國慶假期中，小華與同學(xué)去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們從門口A處出發(fā)先往東走8Km，又往北走2Km，遇到障礙后又往西走3Km，再向北走到6Km處往東拐，僅走了1Km，就找到了寶藏，則門口A到藏寶點B的直線距離是（D）A．20kmB．14kmC．11kmD．10km5．如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛10m．第5題第6題6．如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點，那么∠ECD+∠EDC=90°．7．一艘帆船由于風(fēng)向的原因先向正東方向航行了16km，然后向正北方向航行了12km，這時它離出發(fā)點有20km.能力提升：8.如圖，在一棵大樹AB的10m高的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的點C處有一根香蕉，一只猴子從點D處上爬到樹頂點A處，利用拉在點A處的滑繩AC，滑到點C處，另一只猴子從點D處滑到地面點B處，再由點B跑到點C，已知兩只猴子所經(jīng)過的路程都是15m，那么這棵樹有多高？解：設(shè)樹高AB為xm.由題意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+52=(25-x)2，解得x=12.答：這棵樹有12m高．拓展遷移：9.如圖所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的點,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求證ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面積.證明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD+BD=81+144=225.∵BC=15,∴BC=225.∴CD+BD=BC.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).解:(2)設(shè)AD=x,則AC=x+9,∵AB=AC,∴AB=x+9,∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,∴AB=AD+BD,即(x+9)=x+12,解得x=3.5ΔABC的面積=(3.5+9)×12÷2=75學(xué)生獨立求完成課堂練習(xí)。引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容、研究方法以及運用過程三個方面總結(jié)自己的收獲，讓學(xué)生全面把握本節(jié)課的重點和難點，并啟發(fā)學(xué)生用類比或遷移的方法學(xué)習(xí)后續(xù)課程。板書設(shè)計利用簡潔的文字、符號、圖表等呈現(xiàn)本節(jié)課的新知，可以幫助學(xué)生理解掌握知識，形成完整的知識體系。作業(yè)設(shè)計（課外練習(xí)）基礎(chǔ)達標(biāo)：1、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是(A)A.8,15,17B.4,5,6C.5,8,7D.8,39,402、如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面3m處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量AB=4m，這棵大樹在折斷前的高度為（C）A.7mB.10mC.8mD.12m3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延長BC至E，使得CE＝BC，將△ABC沿AC翻折，使點B落點D處，連接DE，則DE的長為（D）A．B． C．D．第2題第3題第5題第6題4．直角三角形三邊的長分別為3、4、x，則x可能取的值為（C）A．5B．6或C．5或 D．5．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積分別是為1、13，則直角三角形兩直角邊的和a+b=5．6．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為2cm．7.如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據(jù)所學(xué)的知識（1）求△ABC的面積.（2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由.解：（1）△ABC的面積=8×4-（2×3+1×8+6×4）=32-19=13是直角三角形。AB=2+3=13BC=6+4=52AC=1+8=65.AB+BC=AC∴△ABC是直角三角形能力提升：8.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點（點D不與點A，B重合），連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE交BC于點F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)AD=BF時，求∠BEF的度數(shù)；（3）求證：．解：（1）證明：∵把CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，∴，．又∵，∴．又∵，∴≌（SAS）．（2）∵，，∴．∵≌，∴，．又∵，∴．∴．（3）證明：∵，∴．∴．又∵，∴．拓展遷移：9.如圖(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜邊BC的中點,E,F分別是AB,AC邊上的點,且