長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專(zhuān)題一、中考幾何壓軸題1．幾何探究：（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）（類(lèi)比探究）（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個(gè)等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．2．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為_(kāi)___________；類(lèi)比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．3．類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．（2）類(lèi)比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫(xiě)出解答過(guò)程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．4．綜合與實(shí)踐（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類(lèi)比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)就圖②說(shuō)明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CF為最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．5．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類(lèi)比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_(kāi)____________；推廣驗(yàn)證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點(diǎn)在上，，求五邊形的面積．6．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．①求證：DQ＝AE；②推斷：的值為；（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時(shí)，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長(zhǎng)．7．（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為_(kāi)_____；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷的形狀是否變化，并說(shuō)明理由；（提示：延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．8．如圖，在中，，，，為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．9．（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_(kāi)______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說(shuō)明．（3）（解決問(wèn)題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．10．（探究證明）（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明：如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，GH分別交AB、DC于點(diǎn)G、H，求證：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的長(zhǎng)；（拓展運(yùn)用）（3）如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，請(qǐng)求BP的長(zhǎng)．11．如圖l，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在AC上，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）線段與的數(shù)量關(guān)系是________，直線與所夾銳角的度數(shù)是___________；（拓展探究）（2）當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（解決問(wèn)題）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．12．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過(guò)許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開(kāi)，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問(wèn)題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開(kāi)，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為_(kāi)_；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．14．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問(wèn)題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的面積．15．（1）問(wèn)題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過(guò)作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）小明采用如下的做法：延長(zhǎng)到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．16．綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：在數(shù)學(xué)課上，以“等腰直角三角形為主體，以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)為基礎(chǔ)，探究線段間的變化關(guān)系”．如圖1，在中，，，點(diǎn)為的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)但不與點(diǎn)重合，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．探究實(shí)踐：（1）勤奮小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)寫(xiě)出證明；探究發(fā)現(xiàn)：（2）智慧小組在勤奮小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)線段，與存在數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出他們的發(fā)現(xiàn)并證明；探究拓展：（3）如圖2，奇異小組的同學(xué)在前兩個(gè)小組探究的基礎(chǔ)上，連接，得到三條線段，與存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出．17．如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，連接．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問(wèn)題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．18．探究：如圖①和②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如圖①，若∠B、∠ADC都是直角，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能得EF=BE+DF，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；（2）如圖②，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如圖③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長(zhǎng)．19．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示，連接CE，判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出△BPE，使得點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的最小值．20．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（問(wèn)題理解）(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；（升華運(yùn)用）(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長(zhǎng)．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）相等；（2）不成立，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例解析：（1）相等；（2）不成立，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；（3）分兩種情況求出BD的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）相等;提示：如圖4所示．∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，∴∴∴在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴．（2）不成立；理由如下：如圖5所示．在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∴∴∵∴△ABD∽△ACE∴∴故（1）中的結(jié)論不成立；（3）或．提示:分為兩種情況：①如圖6所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS）∴∴∴由題意可知：設(shè),則在Rt△BCE中,由勾股定理得：∴解之得:（舍去）∴；②如圖7所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS），設(shè)，則在Rt△BCE中，由勾股定理得：∴解之得：（舍去）∴.綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想考慮問(wèn)題．2．（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見(jiàn)解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．證明即可解決問(wèn)題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD解析：（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見(jiàn)解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．證明即可解決問(wèn)題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD于T．證明，推出，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．，是等邊三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為，故答案為1，．（2）如圖②中，設(shè)AC交于O，AE交于T．，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為．（3）①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．由題意，，，，，在中，②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問(wèn)體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過(guò)E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來(lái)表示，最解析：（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問(wèn)體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過(guò)E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來(lái)表示，最后求得比值；（2）本問(wèn)體現(xiàn)“一般”的情形，不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問(wèn)中的解題方法依然適用，如答圖2所示．（3）本問(wèn)體現(xiàn)“類(lèi)比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問(wèn)中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示．【詳解】解：（1）依題意，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖1所示．則有，∴，∴．∵，，∴，又∵為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．．故答案為：；；．（2）如圖2所示，作交于點(diǎn)，則．∴，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．故答案為：．（3）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有．∵，∴，∴，∴．又，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的設(shè)計(jì)獨(dú)特：由平行四邊形中的一個(gè)特殊的例子出發(fā)（第1問(wèn)），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問(wèn)），最后再通過(guò)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問(wèn)）．各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過(guò)構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來(lái)表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類(lèi)旁通、舉一反三．4．（1）相等，垂直；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)解析：（1）相等，垂直；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE，利用勾股定理求值即可.【詳解】（1）如圖①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案為：相等，垂直；（2）結(jié)論還成立．理由如下：如圖②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，∴∠EBA=∠FBC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)G，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AGN=∠BGC，∴∠ANG=∠GBC=90°，∴AE⊥CF，故結(jié)論成立；（3）如圖③，根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE，∵AB=2BF=4，∴AE=AB+BE=6，在直角三角形ADE中，DE==2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，直徑是圓中的最大的弦，垂直的定義，熟練掌握三角形全等，垂直的證明是解題的關(guān)鍵．5．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）分別寫(xiě)出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）分別寫(xiě)出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問(wèn)的思路下，先證明三個(gè)三角形相似，得出三個(gè)三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計(jì)算出相應(yīng)的邊，計(jì)算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問(wèn)題、相似三角形．是中考的常考知識(shí)．6．（1）①見(jiàn)解析；②1；（2）＝k，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠解析：（1）①見(jiàn)解析；②1；（2）＝k，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：＝k．如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題．（3）如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：結(jié)論：＝1．理由：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴．（3）解：如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝，∴可以假設(shè)BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，F(xiàn)G＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍棄），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．7．（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后解析：（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，再利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差即可得．【詳解】解：（1）在矩形中，，，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，同理可得：，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）的形狀不變，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，其中相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，同理可得：，，即，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得：，，是等邊三角形；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，在中，，，在中，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可得：，，，，綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．8．（1）=；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可得，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）【解決問(wèn)題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問(wèn)題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題．10．（1）見(jiàn)解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形解析：（1）見(jiàn)解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；(2)連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng).（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長(zhǎng)，由結(jié)論（1）可得出DG的長(zhǎng)，再由勾股定理得出AG的長(zhǎng)，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形，進(jìn)而得出FH的長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長(zhǎng)度就可以得出BP的長(zhǎng)度.【詳解】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴,∴.（2）如圖②中，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝,∵D，B關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，∴BD⊥EF，∴,∴,∴EF＝.（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴=,∴DG＝，∴AG＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，設(shè)ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四邊形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠JPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴，∴，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．11．（1），；（2）結(jié)論仍然成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可得和均為等腰直角三角形，因此，易證，由相似三角形的性質(zhì)即可得到，由三角形的解析：（1），；（2）結(jié)論仍然成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可得和均為等腰直角三角形，因此，易證，由相似三角形的性質(zhì)即可得到，由三角形的內(nèi)角和即可得到；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知和均為等腰直角三角形，因此，易證，同（1）易證結(jié)論仍成立；（3）由點(diǎn)E到直線AD的距離為2，，可知點(diǎn)F在直線AD或AB上，分兩種情況討論：（i）當(dāng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線或BA延長(zhǎng)線上時(shí)，由勾股定理可得的長(zhǎng)，（ii）當(dāng)點(diǎn)F在AD或AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作的高，由勾股定理可得的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴，∵是直角三角形，∴和均為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，∴；又∵，，，∴故答案為：，（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵是正方形的對(duì)角線，且是由原題中圖1的位置旋轉(zhuǎn)得來(lái)，∴，即和均為等腰直角三角形．∴．又∵，，∴．∴．∴，．∴．又∵，，，∴．∴結(jié)論成立．（3）的長(zhǎng)為或．理由如下：∵點(diǎn)E到直線AD的距離為2，，∴點(diǎn)F在直線AD或AB上分兩種情況討論：（i）如圖③，當(dāng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,∵,∴,∴，在中，由勾股定理得；如圖④，當(dāng)點(diǎn)F在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，在等腰中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H,∵AH=EK=2=AF，∴BF=AB+AF=12，∴；（ii）如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，∵AF=4，AD=8，∴，在中，由勾股定理得；如圖⑥，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD交AD于點(diǎn)M，在等腰中，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AF于點(diǎn)N，∵AN=EM=2=AF，∴，∴，綜上所述，CF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，屬于綜合題，需要分類(lèi)討論，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）證明見(jiàn)解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見(jiàn)解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長(zhǎng)度，即可求出BE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，解析：（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長(zhǎng)度，即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，∴PQ為△BOC的中位線，∵四邊形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案為：，；（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．∴，∴．∴為等腰直角三角形．∴，．∴也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，且．∴的形狀是等腰直角三角形．（3）延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接，．∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴．由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，∴，．∴為等腰直角三角形．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴為等腰直角三角形．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過(guò)作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．16．（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）連接CF，證明，即可解決問(wèn)題；（2）連接EF，利用（1）中兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及圖形中互補(bǔ)的角推導(dǎo)論證∠EGF=90°，再利用勾解析：（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）連接CF，證明，即可解決問(wèn)題；（2）連接EF，利用（1）中兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及圖形中互補(bǔ)的角推導(dǎo)論證∠EGF=90°，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（3）證明RT△CNE≌RT△CMF，RT△GCN≌RT△GCM，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵平分，，∴．∵，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，．∴．在和中，∴．∴．（2）解：結(jié)論：．理由如下：連接，．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，．∵，∴．（3）如下圖，結(jié)論．理由如下：連接CG，CF，作CM⊥BF于點(diǎn)F，CN⊥AG于點(diǎn)N，∵，∴CN=CM，∵∠CNE=∠CMF=90°，CE=CF，∴RT△CNE≌RT△CMF．∴EN=FM，∵∠CNG=∠CMG=90°，CG=CG，∴RT△GCN≌RT△GCM，∴GN=GM，∠CGN=∠CGM=45°，∴CG=GN，∴GE+GF=GN－EN+GM+MF=2GN=CG．故GE+GF=CG．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．17．（1）；（2）的大小無(wú)變化，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，可根據(jù)題意分別求出，的長(zhǎng)，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計(jì)算的值，再計(jì)算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解析：（1）；（2）的大小無(wú)變化，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，可根據(jù)題意分別求出，的長(zhǎng)，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計(jì)算的值，再計(jì)算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解題即可；（3）采用分類(lèi)討論法解題，一種是點(diǎn)在線段上，另一種是點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，據(jù)此分別求解即可.【詳解】（1）解：延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，則，，故答案為：（2）的大小無(wú)變化.證明：如圖（1），連接，由題意可知：，∴，即，在矩形中，，∴，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）或如圖（2），圖（3）：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上，由（2）知，，，在中，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）知，，，在中，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，其中涉及分類(lèi)討論思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，熟練并靈活運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.18．（1）見(jiàn)解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和A解析：（1）見(jiàn)解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，根據(jù)（1），要使EF=BE+DF，需證明△EAF≌△GAF，因此需證明F、D、G在一條直線上，即，即；（3）先作輔助線，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，根據(jù)已知條件證明△FAD≌△EAD，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即DE的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如圖，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴F、D、G在一條直線上，和（1）類(lèi)似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案為：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2