河北省保定市定州市2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)考題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共30分）1.在下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$0.1010010001...$D.$\sqrt{-1}$2.若$a+b=0$，則$ab$的值為（）A.0B.1C.-1D.無(wú)法確定3.在下列各數(shù)中，絕對(duì)值最小的是（）A.-2B.-3C.-4D.-54.若$a>0$，$b<0$，則$-a$與$b$的大小關(guān)系是（）A.$-a>b$B.$-a<b$C.$-a=a$D.無(wú)法確定5.若$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，則$a+b$的值為（）A.3B.5C.7D.96.若$a>0$，$b<0$，則下列不等式中正確的是（）A.$ab>0$B.$ab<0$C.$a^2b^2>0$D.$a^2b^2<0$7.若$|a|=3$，$|b|=5$，則$|a-b|$的最大值為（）A.2B.3C.5D.88.若$a^2+b^2=1$，$a+b=0$，則$ab$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.0D.無(wú)法確定9.若$a+b=3$，$ab=2$，則$a^2+b^2$的值為（）A.5B.6C.7D.810.若$|a|=2$，$|b|=3$，則$|a-b|$的最小值為（）A.1B.2C.3D.5二、填空題（每題3分，共30分）11.若$a=5$，$b=-3$，則$a^2-b^2$的值為______。12.若$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，則$a^2+2ab+b^2$的值為______。13.若$a>0$，$b<0$，則$-a-b$的值為______。14.若$a^2+b^2=1$，$a+b=0$，則$|a|$與$|b|$的大小關(guān)系是______。15.若$a>0$，$b<0$，則$ab^2$的值為______。16.若$a^2+b^2=1$，$a+b=0$，則$ab$的值為______。17.若$a+b=3$，$ab=2$，則$a^2+2ab+b^2$的值為______。18.若$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，則$a^2+2ab+b^2$的值為______。19.若$|a|=2$，$|b|=3$，則$|a-b|$的最大值為______。20.若$|a|=2$，$|b|=3$，則$|a-b|$的最小值為______。三、解答題（每題10分，共20分）21.已知$a>0$，$b<0$，求證：$a^2+b^2>ab$。22.已知$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，求$a^2+2ab+b^2$的值。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）23.計(jì)算下列各式的值：（1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$（3）$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^3$24.已知$a=3$，$b=-4$，計(jì)算下列各式的值：（1）$a^2+2ab+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+ab+b^2$25.已知$a^2+b^2=50$，$a-b=6$，計(jì)算下列各式的值：（1）$a^2+2ab+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+ab+b^2$五、應(yīng)用題（每題10分，共30分）26.小明從家出發(fā)，向東走了3公里到達(dá)學(xué)校，然后又向北走了4公里到達(dá)圖書館。若小明的家、學(xué)校和圖書館構(gòu)成一個(gè)直角三角形，求小明家到圖書館的距離。27.一輛汽車從甲地出發(fā)，以每小時(shí)60公里的速度行駛，2小時(shí)后到達(dá)乙地。然后汽車以每小時(shí)80公里的速度返回甲地，求汽車返回甲地時(shí)的速度。28.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是5厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。六、證明題（每題10分，共30分）29.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$和$b$，都有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。30.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$和$b$，若$a^2+b^2=1$，則$|a|$和$|b|$的乘積小于等于1。31.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$和$b$，若$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，則$a+b$的值為7。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.C。有理數(shù)是可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。$\sqrt{2}$和$\pi$是無(wú)理數(shù)，$\sqrt{-1}$是虛數(shù)，不是有理數(shù)。2.A。因?yàn)?a+b=0$，所以$a=-b$，兩邊同時(shí)平方得到$a^2=b^2$，由于$a$和$b$符號(hào)相反，$a^2$和$b^2$相等。3.A。絕對(duì)值表示一個(gè)數(shù)與0的距離，所以最小的絕對(duì)值是0。4.B。$-a$是正數(shù)，$b$是負(fù)數(shù)，所以$-a$大于$b$。5.D。由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$a^2+b^2=(a-b)(a+b)$，代入已知條件得到$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，解得$a+b=9$。6.B。$a$和$b$符號(hào)相反，所以$ab$是負(fù)數(shù)。7.C。$|a-b|$的最大值發(fā)生在$a$和$b$符號(hào)相反時(shí)，此時(shí)$|a-b|=|a|+|b|$。8.A。由平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$a^2+b^2=1$，$a+b=0$，解得$ab=\frac{1}{2}$。9.A。由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$a^2+b^2=3$，$ab=2$，解得$a^2+2ab+b^2=5$。10.B。$|a-b|$的最小值發(fā)生在$a$和$b$相等時(shí)，此時(shí)$|a-b|=0$。二、填空題答案及解析：11.25。$a^2-b^2=(5)^2-(-3)^2=25-9=16$。12.49。$a^2+2ab+b^2=(5)^2+2(5)(-3)+(-3)^2=25-30+9=4$。13.$-7$。$-a-b=(-5)-(-3)=-5+3=-2$。14.$|a|=|b|$。因?yàn)?a^2+b^2=1$，$a+b=0$，所以$a=-b$，兩邊同時(shí)平方得到$a^2=b^2$，由于$a$和$b$符號(hào)相反，$|a|=|b|$。15.$-6$。$ab^2=(5)(-3)^2=5(9)=-45$。16.$-\frac{1}{2}$。$ab=(5)(-3)=-15$。17.7。$a^2+2ab+b^2=(3)^2+2(3)(2)+2^2=9+12+4=25$。18.49。$a^2+2ab+b^2=(5)^2+2(5)(-3)+(-3)^2=25-30+9=4$。19.8。$|a-b|$的最大值發(fā)生在$a$和$b$符號(hào)相反時(shí)，此時(shí)$|a-b|=|a|+|b|=2+3=5$。20.1。$|a-b|$的最小值發(fā)生在$a$和$b$相等時(shí)，此時(shí)$|a-b|=0$。三、解答題答案及解析：21.解析：由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$a^2+b^2>ab$。22.解析：由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$a^2+b^2=25$，$a-b=4$，解得$a+b=9$。23.解析：（1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$。（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}$。（3）$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^3=(\frac{1}{2})^3+3(\frac{1}{2})^2(\frac{\sqrt{3}}{2})+3(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^3=\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{8}+\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{9\sqrt{3}+1}{8}$。24.解析：（1）$a^2+2ab+b^2=(3)^2+2(3)(-4)+(-4)^2=9-24+16=1$。（2）$a^2-b^2=(3)^2-(-4)^2=9-16=-7$。（3）$a^2+ab+b^2=(3)^2+2(3)(-4)+(-4)^2=9-24+16=1$。25.解析：（1）$a^2+2ab+b^2=(5)^2+2(5)(6)+6^2=25+60+36=121$。（2）$a^2-b^2=(5)^2-6^2=25-36=-11$。（3）$a^2+ab+b^2=(5)^2+2(5)(6)+6^2=25+60+36=121$。四、計(jì)算題答案及解析：23.解析：（1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$。（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}$。（3）$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^3=(\frac{1}{2})^3+3(\frac{1}{2})^2(\frac{\sqrt{3}}{2})+3(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^3=\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{8}+\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{9\sqrt{3}+1}{8}$。24.解析：（1）$a^2+2ab+b^2=(3)^2+2(3)(-4)+(-4)^2=9-24+16=1$。（2）$a^2-b^2=(3)^2-(-4)^2=9-16=-7$。（3）$a^2+ab+b^2=(3)^2+2(3)(2)+2^2=9+12+4=25$。25.解析：（1）$a^2+2ab+b^2=(5)^2+2(5)(6)+6^2=25+60+36=121$。（2）$a^2-b^2=(5)^2-6^2=25-36=-11$。（3）$a^2+ab+b^2=(5)^2+2(5)(6)+6^2=25+60+36=121$。五、應(yīng)用題答案及解析：26.解析：小明家到學(xué)校和圖書館的距離可以看作直角三角形的兩條直角邊，根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。27.解析：汽車從甲地到乙地行駛的距離為$60\times2=120$公里，返回甲地的距離為$120$公里，總行駛時(shí)間為$2+2=4$小時(shí)，所以返回甲地的速度為$\frac{120}{4}=30$公里/小時(shí)。28.解析：根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為$\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{64+25}=\sqrt{89}$。六、證