高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)重點(diǎn)復(fù)習(xí)資料三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)部有著廣泛的應(yīng)用，在物理、工程等其他學(xué)科中也扮演著重要角色。本資料旨在梳理三角函數(shù)的知識(shí)體系，突出重點(diǎn)，解析難點(diǎn)，幫助同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解決問題的能力。一、三角函數(shù)的基本概念與定義1.1任意角的概念我們把一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。正角、負(fù)角與零角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角。象限角：在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角。終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何象限。終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}(或用弧度制表示為S={β|β=α+2kπ，k∈Z})。1.2弧度制弧度的定義：長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示。角度與弧度的換算：180°=πrad，因此，1°=π/180rad，1rad=(180/π)°≈57.30°?；￠L公式與扇形面積公式：若扇形的半徑為r，圓心角為α（弧度制），則弧長l=αr，扇形面積S=(1/2)lr=(1/2)αr2。1.3任意角的三角函數(shù)定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r(r=√(x2+y2)>0)，則：正弦函數(shù)：sinα=y/r余弦函數(shù)：cosα=x/r正切函數(shù)：tanα=y/x(x≠0)余切函數(shù)：cotα=x/y(y≠0)（部分教材已弱化）正割函數(shù)：secα=r/x(x≠0)（部分教材已弱化）余割函數(shù)：cscα=r/y(y≠0)（部分教材已弱化）1.4三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)特征，可確定各三角函數(shù)值在不同象限的符號(hào)：sinα(y/r)：在第一、二象限為正，在第三、四象限為負(fù)。cosα(x/r)：在第一、四象限為正，在第二、三象限為負(fù)。tanα(y/x)：在第一、三象限為正，在第二、四象限為負(fù)?？珊営洖椤耙蝗?，二正弦，三正切，四余弦”。1.5特殊角的三角函數(shù)值對(duì)于0°、30°、45°、60°、90°及其終邊在坐標(biāo)軸上的角，其三角函數(shù)值是解決問題的基礎(chǔ)，需要熟練記憶。1.6三角函數(shù)線三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，利用單位圓中的有向線段（正弦線、余弦線、正切線）可以直觀地表示三角函數(shù)值的大小和符號(hào)，有助于理解三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性等性質(zhì)。二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行三角恒等變換的重要依據(jù)。2.1平方關(guān)系sin2α+cos2α=1這一關(guān)系表明，對(duì)于任意角α，其正弦的平方與余弦的平方之和恒為1。2.2商數(shù)關(guān)系tanα=sinα/cosα(cosα≠0)此關(guān)系表明，角α的正切值等于其正弦值與余弦值的商。應(yīng)用：已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余三角函數(shù)值（注意根據(jù)角所在象限確定符號(hào)）?；喨呛瘮?shù)式。證明三角恒等式。在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常涉及開平方運(yùn)算，務(wù)必注意符號(hào)的選擇；在應(yīng)用商數(shù)關(guān)系時(shí)，要注意分母不為零的條件。三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其核心思想是“把角變形，函數(shù)名不變（或改變），符號(hào)看象限”。3.1公式的記憶與理解誘導(dǎo)公式可概括為以下幾種類型（k∈Z）：1.終邊相同的角：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα。2.α與-α：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。3.α與π±α：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。4.α與π/2±α：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα。sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα。記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。“奇變偶不變”：指的是誘導(dǎo)公式中，當(dāng)角為π/2的奇數(shù)倍加上或減去α?xí)r，三角函數(shù)的名稱要改變（正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切）；當(dāng)角為π/2的偶數(shù)倍加上或減去α?xí)r，三角函數(shù)的名稱不變?！胺?hào)看象限”：指的是將α視為銳角時(shí)，原角所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)，即為變形后三角函數(shù)值的符號(hào)。應(yīng)用：利用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，從而求值、化簡或證明。四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)的圖像是理解其性質(zhì)的直觀工具，掌握?qǐng)D像特征是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵。4.1正弦函數(shù)y=sinx定義域：R值域：[-1,1]，當(dāng)x=π/2+2kπ(k∈Z)時(shí)，y取得最大值1；當(dāng)x=-π/2+2kπ(k∈Z)時(shí)，y取得最小值-1。周期性：周期函數(shù)，最小正周期T=2π。奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即sin(-x)=-sinx。單調(diào)性：在區(qū)間[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在區(qū)間[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。對(duì)稱性：對(duì)稱軸為x=π/2+kπ(k∈Z)；對(duì)稱中心為(kπ,0)(k∈Z)。4.2余弦函數(shù)y=cosx定義域：R值域：[-1,1]，當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí)，y取得最大值1；當(dāng)x=π+2kπ(k∈Z)時(shí)，y取得最小值-1。周期性：周期函數(shù)，最小正周期T=2π。奇偶性：偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，即cos(-x)=cosx。單調(diào)性：在區(qū)間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在區(qū)間[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。對(duì)稱性：對(duì)稱軸為x=kπ(k∈Z)；對(duì)稱中心為(π/2+kπ,0)(k∈Z)。4.3正切函數(shù)y=tanx定義域：{x|x∈R,x≠π/2+kπ,k∈Z}值域：R周期性：周期函數(shù)，最小正周期T=π。奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即tan(-x)=-tanx。單調(diào)性：在區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增。對(duì)稱性：對(duì)稱中心為(kπ/2,0)(k∈Z)，其圖像是中心對(duì)稱圖形，沒有對(duì)稱軸。漸近線：直線x=π/2+kπ(k∈Z)。圖像繪制：對(duì)于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，通常采用“五點(diǎn)法”繪制其在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖，即找出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（通常是最值點(diǎn)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），然后描點(diǎn)連線。五、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的圖像與性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B為常數(shù)，且A≠0,ω>0)是正弦函數(shù)的一般形式，它的圖像可以由y=sinx的圖像經(jīng)過平移、伸縮變換得到。5.1參數(shù)的物理意義與幾何意義（以正弦函數(shù)為例）A：振幅，表示函數(shù)圖像偏離平衡位置的最大距離，|A|決定了函數(shù)的值域范圍[B-|A|,B+|A|]。ω：角頻率，與函數(shù)的周期T有關(guān)，T=2π/ω。ω越大，周期越小，圖像振動(dòng)越頻繁。φ：初相，決定了函數(shù)圖像在x軸上的起始位置。ωx+φ：相位。B：縱坐標(biāo)平移量，決定了函數(shù)圖像的上下平移，B>0向上平移，B<0向下平移。5.2圖像變換由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的圖像，通常有以下兩種變換途徑：途徑一：先平移，后伸縮。y=sinx→y=sin(x+φ)（向左平移|φ|個(gè)單位，若φ<0則向右平移）→y=sin(ωx+φ)（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/ω倍，縱坐標(biāo)不變）→y=Asin(ωx+φ)（縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標(biāo)不變）→y=Asin(ωx+φ)+B（向上平移|B|個(gè)單位，若B<0則向下平移）。途徑二：先伸縮，后平移。y=sinx→y=sin(ωx)（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/ω倍，縱坐標(biāo)不變）→y=sin(ω(x+φ/ω))=sin(ωx+φ)（向左平移|φ/ω|個(gè)單位，若φ/ω<0則向右平移）→y=Asin(ωx+φ)（縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標(biāo)不變）→y=Asin(ωx+φ)+B（向上平移|B|個(gè)單位，若B<0則向下平移）。注意：在進(jìn)行平移變換時(shí)，若先進(jìn)行了橫坐標(biāo)的伸縮，平移的單位不再是|φ|，而是|φ/ω|，這是容易出錯(cuò)的地方。5.3性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的性質(zhì)可由其標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)合基本正弦函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)得出：定義域：R值域：[B-A,B+A](A>0)周期性：T=2π/ω奇偶性：當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ=kπ+π/2(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；否則非奇非偶（還需結(jié)合B是否為0等情況綜合判斷）。單調(diào)性：令t=ωx+φ，根據(jù)y=Asint+B的單調(diào)性，結(jié)合t=ωx+φ的增減性（ω>0時(shí)同增同減），求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。對(duì)稱性：對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可通過求解方程ωx+φ=π/2+kπ(k∈Z)和ωx+φ=kπ(k∈Z)得到。對(duì)于函數(shù)y=Acos(ωx+φ)+B和y=Atan(ωx+φ)+B，可類似分析其圖像與性質(zhì)。六、兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)公式是三角恒等變換的核心，它們將復(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單角的三角函數(shù)。6.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式，此為基礎(chǔ)公式)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦和角公式，可由差角公式令β為-β得到)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(正弦和角公式)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(正弦差角公式)tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)(正切和角公式，α,β,α+β均不等于π/2+kπ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)(正切差角公式，α,β,α-β均不等于π/2+kπ)公式的推導(dǎo)：余弦差角公式的推導(dǎo)是難點(diǎn)，通常利用單位圓和向量的數(shù)量積進(jìn)行證明。其他公式可由余弦差角公式及誘導(dǎo)公式逐步推導(dǎo)得出。應(yīng)用：這些公式主要用于計(jì)算非特殊角的三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式以及解決與角的和差相關(guān)的實(shí)際問題。七、二倍角公式與半角公式二倍角公式是兩角和公式的特殊情形（令α=β），半角公式則可由二倍角公式推導(dǎo)得出。7.1二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(余弦二倍角公式有三種形式，需靈活選用)tan2α=2tanα/(1-tan2α)(α,2α均不等于π/2+kπ)7.2降冪公式（由余弦二倍角公式變形得到）sin2α=(1-cos2α)/2cos2α=(1+cos2α)/2降冪公式在化簡、求值、積分等方面有重要應(yīng)用，能有效降低三角函數(shù)的次數(shù)。7.3半角公式（了解內(nèi)容，部分教材要求）sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα半角公式中根號(hào)前的符號(hào)由α/2所在的象限決定。應(yīng)用：二倍角公式主要用于計(jì)算二倍角的三角函數(shù)值、進(jìn)行恒等變換、化簡三角函數(shù)式等。降冪公式則常用于高次三角函