江蘇新高考“在考查基礎(chǔ)知識的同時，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應(yīng)用能力的考查又是近二十年來的能力考查重點.江蘇卷一直在堅持以建模為主.所以如何由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程的探索應(yīng)是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵.應(yīng)用題的載體很多，前幾年主要考函數(shù)建模，以三角、導(dǎo)數(shù)、不等式知識解決問題.2013年應(yīng)用考題3是解不等式模型，2014年應(yīng)用考題2可以理解為一次函數(shù)模型，也可以理解為條件不等式模型，這樣在建模上增添新意，還是有趣的，2015、2016年應(yīng)用考題2都先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解.2016、2017年應(yīng)用考題是立體幾何模型，2017年應(yīng)用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識求解.[?？碱}型突破]函數(shù)模型的構(gòu)建及求解[例1](2016·江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當(dāng)PO1為多少時，倉庫的容積最大？[解](1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因為A1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)設(shè)A1B1＝am，PO1＝hm，則0＜h＜6，O1O＝4h.連結(jié)O1B1.因為在Rt△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h(huán)2)．于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2·h＝eq\f(13,3)a2h＝eq\f(26,3)(36h－h(huán)3)，0＜h＜6，從而V′＝eq\f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)．令V′＝0，得h＝2eq\r(3)或h＝－2eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0＜h＜2eq\r(3)時，V′＞0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2eq\r(3)＜h＜6時，V′＜0，V是單調(diào)減函數(shù)．故當(dāng)h＝2eq\r(3)時，V取得極大值，也是最大值．因此，當(dāng)PO1＝2eq\r(3)m時，倉庫的容積最大．[方法歸納]解函數(shù)應(yīng)用題的四步驟[變式訓(xùn)練]1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：w＝4－eq\f(3,x＋1)，且投入的肥料費用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元．已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)．(1)求利潤函數(shù)L(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當(dāng)投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)L(x)＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,x＋1)))－x－2x＝64－eq\f(48,x＋1)－3x(0≤x≤5)．(2)法一：L(x)＝64－eq\f(48,x＋1)－3x＝67－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(48,x＋1)＋3x＋1))≤67－2eq\r(\f(48,x＋1)·3x＋1)＝43.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(48,x＋1)＝3(x＋1)時，即x＝3時取等號．故L(x)max＝43.答：當(dāng)投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的最大利潤是4300元.法二：L′(x)＝eq\f(48,x＋12)－3，由L′(x)＝0，得x＝3.故當(dāng)x∈(0,3)時，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(3,5)時，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝3時，L(x)取得極大值，也是最大值，故L(x)max＝L(3)＝43.答：當(dāng)投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的最大利潤是4300元．2．(2017·南通三模)如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA的長為1百米．為了保護(hù)景點，基地管理部門從道路l上選取一點C，修建參觀線路C－D－E－F，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形．設(shè)DE＝t百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，0<t≤\f(1,3)，,8－\f(1,t)，\f(1,3)<t<2.))(1)用t表示線段EF的長；(2)求修建該參觀線路的最低費用．解：(1)法一：設(shè)DE與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l，DQ＝QE，以O(shè)F所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.由題意得，點E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，1))，設(shè)直線EF的方程為y－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2)))(k<0)，即kx－y＋1－eq\f(1,2)tk＝0.因為直線EF與半圓相切，所以圓心O到直線EF的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)tk)),\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4t,t2－4).代入y－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2)))可得，點F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,4)＋\f(1,t)，0)).所以EF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,4)＋\f(1,t)－\f(t,2)))2＋1)＝eq\f(t,4)＋eq\f(1,t)，即EF＝eq\f(t,4)＋eq\f(1,t)(0<t<2)．法二：設(shè)EF切圓O于點G，連結(jié)OG，過點E作EH⊥AB，垂足為H.因為EH＝OG，∠OFG＝∠EFH，∠GOF＝∠HEF，所以Rt△EHF≌Rt△OGF，所以HF＝FG＝EF－eq\f(1,2)t.由EF2＝1＋HF2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(EF－\f(1,2)t))2,所以EF＝eq\f(t,4)＋eq\f(1,t)(0<t<2)．答：EF的長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,4)＋\f(1,t)))百米．(2)設(shè)修建該參觀線路的費用為y萬元．①當(dāng)0<t≤eq\f(1,3)時，y＝5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,4)＋\f(1,t)))＋t))＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t＋\f(2,t)))，由y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(2,t2)))<0，得y在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上單調(diào)遞減．所以當(dāng)t＝eq\f(1,3)時，y取最小值為32.5.②當(dāng)eq\f(1,3)<t<2時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(1,t)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,4)＋\f(1,t)))＋t))＝12t＋eq\f(16,t)－eq\f(3,2)－eq\f(2,t2)，所以y′＝12－eq\f(16,t2)＋eq\f(4,t3)＝eq\f(4t－13t2＋3t－1,t3)，因為eq\f(1,3)<t<2，所以3t2＋3t－1>0，所以當(dāng)t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時，y′<0；當(dāng)t∈(1,2)時，y′>0，所以y在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))上單調(diào)遞減；在(1,2)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)t＝1時，y取最小值為24.5.由①②知，y取最小值為24.5.答：修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元.基本不等式的實際應(yīng)用[例2](2017·南京考前模擬)某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計銷售Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝eq\f(4x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4.5萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，且能全部銷售完．若每件銷售價定為：“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的25%”之和.(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？[解](1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q＋4.5)萬元，每件銷售價為eq\f(32Q＋4.5,Q)×150%＋eq\f(x,Q)×25%.∴年銷售收入為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32Q＋4.5,Q)×150%＋\f(x,Q)×25%))·Q＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32Q＋\f(9,2)))＋eq\f(1,4)x.∴年利潤W＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32Q＋\f(9,2)))＋eq\f(1,4)x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32Q＋\f(9,2)))－x＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32Q＋\f(9,2)))－eq\f(3,4)x＝16Q＋eq\f(9,4)－eq\f(3,4)x＝16·eq\f(4x＋1,x＋1)＋eq\f(9,4)－eq\f(3,4)x(x≥0)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，則W＝16·eq\f(4t－3,t)＋eq\f(9,4)－eq\f(3,4)(t－1)＝64－eq\f(48,t)＋3－eq\f(3,4)t＝67－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,t)＋\f(t,4))).∵t≥1，∴eq\f(16,t)＋eq\f(t,4)≥2eq\r(\f(16,t)·\f(t,4))＝4，即W≤55，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,t)＝eq\f(t,4)，即t＝8時，W有最大值55，此時x＝7.即當(dāng)年廣告費為7萬元時，企業(yè)年利潤最大，最大值為55萬元．[方法歸納]利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的注意點(1)此類型的題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．[變式訓(xùn)練](2017·蘇州期末)某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(如圖1)將河兩岸的路連接起來，剖面設(shè)計圖紙(圖2)如下，其中，點A，E為x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為y＝eq\f(8,4＋x2)(x∈[－2，2])，曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設(shè)計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B，D)的切線的斜率相等．(1)求曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定義域；(2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：M＝(該點P與橋頂間的水平距離)×(設(shè)計圖紙上該點P處的切線的斜率)其中MP的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內(nèi)燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？解：(1)由題意A為拋物線的頂點，設(shè)A(a,0)(a＜－2)，則可設(shè)方程為y＝λ(x－a)2(a≤x≤－2，λ＞0)，y′＝2λ(x－a)．∵曲線段BCD在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為y＝eq\f(8,4＋x2)(x∈[－2,2])，∴y′＝eq\f(－16x,4＋x22)，且B(－2,1)，則曲線在B處的切線斜率為eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－2－a2＝1，,2λ－2－a＝\f(1,2)，))∴a＝－6，λ＝eq\f(1,16)，∴曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,16)(x＋6)2(－6≤x≤－2)．(2)設(shè)P為曲線段AC上任意一點．①P在曲線段AB上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)1＝(－x)·eq\f(1,8)(x＋6)＝－eq\f(1,8)[(x＋3)2－9]，在[－6，－3]上為增函數(shù)，[－3，－2]上是減函數(shù)，所以爬坡能力最大為eq\f(9,8)米；②P在曲線段BC上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)2＝(－x)·eq\f(－16x,4＋x22)＝eq\f(16x2,4＋x22)(x∈[－2,0])，設(shè)t＝x2，t∈[0,4]，(MP)2＝y(tǒng)＝eq\f(16t,4＋t2).當(dāng)t＝0時，y＝0；當(dāng)0＜t≤4時，y＝eq\f(16,\f(16,t)＋t＋8)≤1(t＝4取等號)，此時最大為1米．由上可得，最大爬坡能力為eq\f(9,8)米．∵0.8＜eq\f(9,8)＜1.5＜2，∴游客踏乘不能順利通過該橋，蓄電池動力和內(nèi)燃機動力能順利通過該橋.三角函數(shù)的實際應(yīng)用[例3](2017·江蘇高考)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10eq\r(7)cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)(1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．[解](1)由正棱柱的定義知，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.如圖，記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處．因為AC＝10eq\r(7)，AM＝40，所以MC＝eq\r(402－10\r(7)2)＝30，從而sin∠MAC＝eq\f(3,4).記AM與水面的交點為P1，過P1作P1Q1⊥AC，Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，從而AP1＝eq\f(P1Q1,sin∠MAC)＝16.答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)由正棱臺的定義知，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處．過G作GK⊥E1G1，K為垂足，則GK＝OO1＝32.因為EG＝14，E1G1＝62，所以KG1＝eq\f(62－14,2)＝24，從而GG1＝eq\r(KG\o\al(2,1)＋GK2)＝eq\r(242＋322)＝40.設(shè)∠EGG1＝α，∠ENG＝β，則sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠KGG1))＝cos∠KGG1＝eq\f(4,5).因為eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\f(3,5).在△ENG中，由正弦定理可得eq\f(40,sinα)＝eq\f(14,sinβ)，解得sinβ＝eq\f(7,25).因為0<β<eq\f(π,2)，所以cosβ＝eq\f(24,25).于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(24,25)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(7,25)＝eq\f(3,5).記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2＝12，從而EP2＝eq\f(P2Q2,sin∠NEG)＝20.答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)[方法歸納]解三角形應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后求解.解三角形應(yīng)用題常見的兩種情況：1實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程組，解方程組得出所要求的解.[變式訓(xùn)練]如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．記∠AMN＝θ.(1)將AN，AM用含θ的關(guān)系式表示出來；(2)如何設(shè)計(即AN，AM為多長)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AN,sinθ)＝eq\f(AM,sin120°－θ)，所以AN＝eq\f(4\r(3),3)sinθ，AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)＝eq\f(4\r(3),3)sin(θ＋60°)．(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)＋4－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝eq\f(8,3)[1－cos(2θ＋120°)]－eq\f(8\r(3),3)sin(2θ＋120°)＋4＝－eq\f(8,3)[eq\r(3)sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋eq\f(20,3)＝eq\f(20,3)－eq\f(16,3)sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時AN＝AM＝2.[課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練]1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)，設(shè)計要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))，彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l.(1)請將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)；(2)當(dāng)α為何值時l最??？并求l的最小值．解：(1)過D作DH⊥BC于點H(圖略)，則∠DCB＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))，DH＝h,設(shè)AD＝x，則DC＝eq\f(h,sinα)，CH＝eq\f(h,tanα)，BC＝x＋eq\f(2h,tanα)，因為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋x＋\f(2h,tanα)))·h，則x＝eq\f(S,h)－eq\f(h,tanα).所以l＝f(α)＝2DC＋AD＝eq\f(S,h)＋heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sinα)－\f(1,tanα)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2))).答：l表示成關(guān)于α的函數(shù)為l＝f(α)＝eq\f(S,h)＋heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sinα)－\f(1,tanα)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2))).(2)f′(α)＝h·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2cosα,sin2α)－\f(－1,sin2α)))＝h·eq\f(1－2cosα,sin2α)，令f′(α)＝h·eq\f(1－2cosα,sin2α)＝0，得α＝eq\f(π,3).列表如下：αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))f′(α)－0＋f(α)極小值所以lmin＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(3)h＋eq\f(S,h).答：當(dāng)α＝eq\f(π,3)時，l有最小值為eq\r(3)h＋eq\f(S,h).2.如圖是某設(shè)計師設(shè)計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.現(xiàn)設(shè)計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在△AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4eq\r(3)k.設(shè)OA＝x，OB＝y(tǒng).(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出OA的取值范圍；(2)求N－M的最大值及相應(yīng)的x的值．解：(1)因為OA＝x，OB＝y(tǒng)，AB＝y(tǒng)＋1，由余弦定理得，x2＋y2－2xycos120°＝(y＋1)2，解得y＝eq\f(x2－1,2－x).由x＞0，y＞0得，1＜x＜2，又x＞y，得x＞eq\f(x2－1,2－x)，得1＜x＜eq\f(1＋\r(3),2)，所以O(shè)A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1＋\r(3),2))).(2)設(shè)M＝kOB＝ky，N＝4eq\r(3)k·S△AOC＝3kx，則N－M＝k(3x－y)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(x2－1,2－x))).設(shè)2－x＝t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)，1))，則N－M＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32－t－\f(2－t2－1,t)))＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4t＋\f(3,t)))))≤keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－2\r(4t·\f(3,t))))＝(10－4eq\r(3))k.當(dāng)且僅當(dāng)4t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\f(\r(3),2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)，1))時取等號，此時x＝2－eq\f(\r(3),2)，所以當(dāng)x＝2－eq\f(\r(3),2)時，N－M的最大值是(10－4eq\r(3))k.3．(2017·南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)當(dāng)a＝90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．解：(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3600，故當(dāng)a＝90時，b＝40，從而包裝盒子的側(cè)面積S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20)．因為S＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25)2＋2112.5，故當(dāng)x＝16.25時，紙盒側(cè)面積最大，最大值為2112.5平方厘米．(2)包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，b≤60.V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4eq\r(ab)x＋4x2)＝x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時等號成立．設(shè)f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30)．則f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是當(dāng)0＜x＜10時，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增；當(dāng)10＜x＜30時，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上單調(diào)遞減．因此當(dāng)x＝10時，f(x)有最大值f(10)＝16000，此時a＝b＝60，x＝10.答：當(dāng)a＝b＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．4.(2017·南通、泰州一調(diào))如圖，某機械廠要將長6m，寬2m的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P)，再沿直線PE裁剪．(1)當(dāng)∠EFP＝eq\f(π,4)時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．解：(1)當(dāng)∠EFP＝eq\f(π,4)時，由條件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝eq\f(π,4)，所以∠FPE＝eq\f(π,2)，即FN⊥BC，所以四邊形MNPE為矩形，且四邊形MNPE的面積S＝PN·MN＝2(m2).(2)法一：設(shè)∠EFD＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，由條件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.所以PF＝eq\f(2,sinπ－2θ)＝eq\f(2,sin2θ)，NP＝NF－PF＝3－eq\f(2,sin2θ)，ME＝3－eq\f(2,tanθ).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)>0，,3－\f(2,tanθ)>0，,0<θ<\f(π,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ>\f(2,3)，,tanθ>\f(2,3)，*,0<θ<\f(π,2).))所以四邊形MNPE面積為S＝eq\f(1,2)(NP＋ME)MN＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,tanθ)))))×2＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2,sin2θ)＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2sin2θ＋cos2θ,2sinθcosθ)＝6－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＋\f(3,tanθ)))≤6－2eq\r(tanθ·\f(3,tanθ))＝6－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)tanθ＝eq\f(3,tanθ)，即tanθ＝eq\r(3)，θ＝eq\f(π,3)時取“＝”．此時，(*)成立．答：當(dāng)∠EFD＝eq\f(π,3)時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－2\r(3)))m2.法二：設(shè)BE＝tm,3<t<6，則ME＝6－t.因為∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE＝PF，即eq\r(3－BP2＋22)＝t－BP.所以BP＝eq\f(13－t2,23－t)，NP＝3－PF＝3－PE＝3－(t－BP)＝3－t＋eq\f(13－t2,23－t).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3<t<6，,\f(13－t2,23－t)>0，,3－t＋\f(13－t2,23－t)>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3<t<6，,t>\r(13)，*,t2－12t＋31<0.))所以四邊形MNPE面積為S＝eq\f(1,2)(NP＋ME)MN＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－t＋\f(13－t2,23－t)＋6－t))×2＝eq\f(3t2－30t＋67,23－t)＝6－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t－3＋\f(2,t－3)))≤6－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,2)(t－3)＝eq\f(2,t－3)，即t＝3＋eq\r(\f(4,3))＝3＋eq\f(2\r(3),3)時取“＝”.此時，(*)成立．答：當(dāng)點E距B點3＋eq\f(2\r(3),3)m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6－2eq\r(3))m2.5.(2017·南京三模)在一水域上建一個演藝廣場．演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構(gòu)成(如圖)．看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面積為400eq\r(3)平方米．設(shè)∠BAC＝θ.(1)求BC的長(用含θ的式子表示)；(2)若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價．解：(1)因為看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，所以AB＝eq\r(3)AC.在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinθ＝400eq\r(3)，所以AC2＝eq\f(800,sinθ).由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝4AC2－2eq\r(3)AC2cosθ＝(4－2eq\r(3)cosθ)eq\f(800,sinθ)，即BC＝eq\r(4－2\r(3)cosθ·\f(800,sinθ))＝40eq\r(\f(2－\r(3)cosθ,sinθ)).所以BC＝40eq\r(\f(2－\r