專(zhuān)題06圓中的重要模型之輔助線八大模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專(zhuān)題通過(guò)分析探索歸納八類(lèi)圓中常見(jiàn)的輔助線的作法。TOC\o"14"\h\z\uTOC\o"14"\h\z\u 1模型來(lái)源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運(yùn)用 5模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形） 5模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題） 7模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角） 9模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形） 11模型5、遇90°的圓周角連直徑 13模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直） 15模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角） 18模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)） 21 23圓中的輔助線模型源于圓的定義、圓的有關(guān)性質(zhì)（如：垂徑定理、圓周角與圓心角定理等）、直線與圓的位置關(guān)系（如：切線的性質(zhì)與判定定理）等。圓中的輔助線模型是對(duì)圓相關(guān)性質(zhì)定理的升華，可以有助于學(xué)生更全面的認(rèn)識(shí)這些性質(zhì)定理。

A． B． C． D．A． B． C． D．1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦、且平分弦所對(duì)的兩條弧。證明：連AO、BO∵CD⊥AB∴∠AEC=∠CEB=90°又∵OE=OE，OA=OB∴△OAE≌△OBE（HL）∴AE=EB，∴AD=BDAC=CB2）圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，即：∠A=∠BOC。推論1：同弧或等弧所對(duì)圓周角相等，即：∠A=∠D；推論2：半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是90°，即：∠C=90°。3）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。4）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．5）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。如上圖，若PA、PB是O的切線，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，則：=1\*GB3①PA=PB；=2\*GB3②∠APO=∠BPO；=3\*GB3③PO是AB的垂直平分線6）切線長(zhǎng)定理：1）與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。7）內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）已知AB是⊙O的一條弦，連接OA、OB，則∠A＝∠B。在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通常可以連接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題。A． B．π C．2π D．4π模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。A． B． C． D．A．94° B． C．162° D．172°模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。A． B． C． D．模型5、遇90°的圓周角連直徑如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為．

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。A．6 B．4 C． D．

模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無(wú)點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。A．8