2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項微專題核心考點突破專題12解三角形“解三角形”考點既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)和平面向量知識考查的重要載體，同時也是解決三角形中的計算問題以及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，具有廣泛的應(yīng)用價值.從考試大綱來看，各地區(qū)的考試大綱中對此內(nèi)容都做了明確的要求，屬于高考必考內(nèi)容.1基礎(chǔ)知識問題1這些年，我們一起學(xué)過幾類三角形?各自有哪些性質(zhì)?問題2三角形面積公式知多少?三角形作為重要的平面幾何研究對象，讓學(xué)生回顧三角形的研究思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維.從定性(相等、不等、對稱性等)到定量(面積、勾股定理、相似、解三角形等)地展開研究.對于問題1，引導(dǎo)學(xué)生從邊的關(guān)系(三角形三邊的不等式關(guān)系)、角的定理、射影定理)三個方面認識三角形中蘊含的基本方程或不等式；對于問題2，中學(xué)階段熟知的兩種計算公式，一是底乘以高除以2，二是兩邊及其夾角(S=12基本方法高考對解三角形的考查重點是考生對基本公式的理解和應(yīng)用以及運算求解能力.題組一(邊角互化)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.1－1已知cosAa+1－2已知b+c=2acosB，證明:A1－3已知btanA=(2c－1－4已知a=2，且2+bsinA-sin正弦定理、余弦定理實現(xiàn)了三角形邊角幾何關(guān)系的代數(shù)化，開啟了用代數(shù)方法研究三角形的新思路，同時也是三角形邊角轉(zhuǎn)化的有力工具.遇到邊角關(guān)系式，基本處理策略就是“化邊為角或化角為邊”，到底是統(tǒng)一成邊(代數(shù)恒等變形)，還是統(tǒng)一成角(三角恒等變換)，一般來說都是可以實現(xiàn)的，學(xué)生可以根據(jù)題目的設(shè)問進行適當(dāng)選擇，實現(xiàn)優(yōu)化解題.思路探求:1－1化邊為角，cosAsinA1－2化邊為角，sinB+sinC=2sinAcosB，此時再利用sinC=1－3遇正切就要“化切為弦”，再結(jié)合正弦定理，得sinB?sinAcosA=(2sin即sin(A+B)=2sinC所以cosA=12，又0<A<π1－4將(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC中的2用a替換，再化角為邊，即可得(a+b)(a－b)=(c－b)c，整理得b2題組二(公式的綜合運用)2－1若a=3,A=π3，△ABC的面積為23，2－2已知A=2B，若△ABC的面積S=a242－3已知△ABC的面積為a23sinA，若cos2－4已知c=3,C=π3,sin公式、定理的變化多，學(xué)生對公式、定理做不到靈活使用，具體來說就是學(xué)生在公式的逆用、變形等方面能力不足.一道題如果需要用到兩個(或三個)定理(或公式)，學(xué)生就會感到難度較大，不知道該選擇哪個公式解題，導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)思維短路.思路探求:2－1S△ABC=12bc進而b2+c2=17故a+b+c=3+332－2從面積公式入手，S=a24化邊為角得sinA=2sinBsinC，又A=2B進而可知C=π2-B或C=π2+B，結(jié)合A=2B與A+B+C=2－3首先要選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e公式，S=12bc結(jié)合題設(shè)條件cosBcosC=所以cosA=12所以面積S=a232－4此題容易錯誤地將sinA+sinB=2事實上，由正弦定理可知，a2R+b又2R=csinC然后再利用余弦定理可知c2=a2+b2解得ab=3，所以a+b=2ab=32，故△ABC的周長為題組三(經(jīng)典例題的變式教學(xué))問題:在△ABC中，已知b=233－1求△ABC周長的取值范圍.3－2求△ABC面積的取值范圍.3－3求a2+c2的取值范圍3－4求a+2c的最大值.3－5若改為“銳角三角形”，以上結(jié)果又如何?給定三角形的一邊及其對角，可以變式出很多問題，利用這個經(jīng)典例題激活知識、串講方法、提升素養(yǎng).解決此類問題的思路一般有以下三種.思路1(邊):用余弦定理建立三邊的關(guān)系，用邊表示所求的量，然后借助不等式的知識求最值.思路2(角):用正弦定理表示邊角關(guān)系，通過消元、和差角公式、二倍角公式等建立所求量關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系式，然后問題就轉(zhuǎn)化為已知自變量角的范圍，求三角函數(shù)的值域問題.思路3(形):從運動變化的觀點考慮三角形的某一頂點的軌跡，借助軌跡圖形的性質(zhì)求最值.巧解三角形，妙用外接圓，恰恰是其本質(zhì)回歸.思路探求:3－1利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即12=a2+c2－ac，通過a2+c2，a+c，ac三個量之間的不等關(guān)系，代數(shù)式變形為12=a2+c2－ac=(a+c)2－3ac，利用基本不等式ac≤a+c23－2.12=a2+c2-ac?2ac-ac=ac，所以0<ac3－3由12=a2+c2－ac可知a2+c2=12+ac，又由3－2可知0<ac≤12，進而得到a2+c2的取值范圍是(12，24].以上三個問題的解答均是從邊的角度出發(fā)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識得以輕松解決.對于問題3－4可以化邊為角，然后構(gòu)建出關(guān)于角A的三角關(guān)系式，進而求出三角函數(shù)的最大值為47；若將△ABC改為銳角三角形，從邊的角度思考就難以控制了，此時若化成角A的三角關(guān)系式，只要給定角A的取值范圍π3思維提升提高邏輯推理和演繹證明能力，關(guān)鍵在于加強條件發(fā)散意識、目標(biāo)導(dǎo)向意識和化歸整合意識，即要注意根據(jù)已知條件系統(tǒng)提供的有用信息和求解目標(biāo)系統(tǒng)所需要的信息，加強發(fā)散和聯(lián)想，努力使思維意識清晰，思維目標(biāo)明確，思維程序合理，思維依據(jù)充分.題組四(非基本元素的考查)4－1在△ABC中，B=π4,BC邊上的高等于13BC，則4－2在△ABC中，已知AC=2,A=π3,M為BC的中點，AM=74－3在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.若AD=1，DC=22，求AC我們將三角形中的三個內(nèi)角和三條邊這六個元素稱為基本元素，三角形的高、中線、角平分線等稱為非基本元素，設(shè)計該組例題的目的就是提高學(xué)生解決此類問題的能力.思路探求:4－1先使用三角形的面積公式得到a與c的關(guān)系c=23a.在△ABC中，由余弦定理得b=53a，再由余弦定理可得cosA.由面積關(guān)系可得12a?134－2由題意可知，2AM=AB+AC，兩邊平方得4AM2=AB24－3S△ABD=12AB?ADsin∠BAD,S△ADC=12AC?ADsin∠CAD.因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC積累解決此類問題的一般策略，靈活選擇公式，方程思想、化歸思想等是實施求解的關(guān)鍵思想，基本知識、基本技能的貯存積累至關(guān)重要，否則將“思而無物，空手而歸”.題組五(復(fù)雜圖形的考查)5－1四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2，求四邊形ABCD的面積.5－2在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點若sin∠BAM=13，則sin∠BAC5－3如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P為△(I)若PB=12，求(Ⅱ)若∠APB=150°，求tan∠PBA這里所說的復(fù)雜圖形是相對于單個三角形而言的，涉及的圖形中包含多個三角形，在問題解決中，選擇哪個三角形，使用哪個定理，需要學(xué)生綜合分析問題，制訂解決問題的策略.思路探求:5－1聯(lián)結(jié)BD，在△ABD以及△CBD中，由余弦定理可得，BD2=AD2+AB2-2AB?AD?cosA,BD2=CD25－2如圖所示，設(shè)BC=2，AC=x，∠BAM=α，則AM=x2在△BAM中，由正弦定理得BMsin∠BAM=AMsinB，即113=x2+1sin5－3(I)以B為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由于BC=1,PB=12，∠BPC=90°，則∠PBC=60°，∠PBA=30°，進而可得(Ⅱ)設(shè)∠ABP=θ，則PC=cosθ，在△PAC中，AC=2，∠APC=120°，∠PAC=θ，由正弦定理，得ACsin∠APC=PC題組六(三角形中的動態(tài)問題)6－1在△ABD中，C在AD上，AD=3AC，且BC⊥BD，求角A的最大值.6－2在等邊△ABC中，M是△ABC內(nèi)一動點，∠BMC=120°，求MAMC思路探求:6－1由題意可知，點B在以CD為直徑的圓上，所以當(dāng)AB與此圓O相切時，角A最大.此時，在Rt△AOB中，AO=2OB，所以A=π6－2如圖，將△BMC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ADC，此時∠MCD=60°，又MC=CD，可知△MDC是等邊三角形.進而∠ADM=∠ADC-∠MDC=60°，MC=MD，所以在△ADM中，縱觀近幾年高考試題，運動型”三角形問題精彩紛呈，表現(xiàn)方式豐富多彩，令人賞心悅目.它們集知識的交匯性和綜合性、方法的靈活性、能力的遷移性一體，既極富挑戰(zhàn)性，又頗具趣味性.這類問題因“運動”而精彩，因解題方法的靈活多樣而彰顯數(shù)學(xué)思維之美妙.題組七(實際應(yīng)用題)7－1如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，則山高MN= m.7－2在距離塔底分別為80m，160m，240m的同一水平面上的A，B，C處，依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α,β,γ.若α+β+γ=π2，則塔高為 思路探求:7－1在Rt△ABC中，BC=100m，則AC=1002m；在△MAC中，∠AMC=45°，100222=MA332，所以7－2設(shè)塔高為h，依題意得，tanα=h80,tanβ=h160,tanγ=h240.因為該組試題考查學(xué)生的應(yīng)用意識，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決相關(guān)生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(解三角形問題)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并加以解決.【答案】A【解析】故選:A.

2．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）．④等差數(shù)列的前項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】所以原命題成立，所以該命題正確；綜上：只有一個正確.【答案】A【解析】【答案】D【解析】A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對【答案】A【解析】即C為銳角，A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】【答案】C【解析】【答案】D【解析】∴AC⊥BC，以C為原點，以CB，CA為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：當(dāng)D與線段AB的端點重合時，B，B'，C'在同一條直線上，不符合題意，∵CC′∥BB′，故選D．A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形【答案】D【解析】【答案】D【解析】故選:D【解析】【答案】（6-2，【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30o=BEsin75o，解得BE=6+2，平移AD，當(dāng)D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，【答案】9【解析】【答案】【解析】以為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，【答案】.【解析】以線段所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：故答案為：

16．如圖,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米到達B后,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cosθ=.【答案】1【解析】在△ABC中,BC===50().在△BCD中,sin∠BDC===1.【答案】36【解析】可得P，A，B，C四點共圓．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，則∠AOB＝2∠APB，以O(shè)為圓心，以O(shè)A，OB為坐標(biāo)軸建立平面坐標(biāo)系如圖所示：＝16+12sinα﹣16cosα＝16+20?（sinαcosα）＝16+20sin（α﹣φ），其中sinφ，cosφ．∴當(dāng)α＝φ時，取得最大值36．答案：36．【解析】【答案】【解析】【解析】（1）求；【解析】（1）求的值；【解析】（