13.2與三角形有關(guān)的線段xixix

快速定位題型題型目錄按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接TOC\o"13"\h\z\u【題型1】三角形三邊關(guān)系及應(yīng)用 5【題型2】三角形的穩(wěn)定性 7【題型3】與三角形的中線、高、角平分線有關(guān)的計(jì)算 9【題型4】三角形的周長問題 14【題型5】與三角形的面積問題 16xixix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理1．三角形的三邊關(guān)系：（1）定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊．（2）推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊．（3）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短．2．三角形的穩(wěn)定性（1）三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中應(yīng)用廣泛．例如房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，堅(jiān)固而穩(wěn)定；大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．【注意】四邊形沒有穩(wěn)定性．3．三角形的中線（2）三角形的重心：一個(gè)三角形有三條中線，這三條中線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心．4．三角形的角平分線（2）三角形的角平分線的位置：三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)（三角形的內(nèi)心）．5．三角形的高注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°（或AD⊥BC于D）；（2）三角形的高的畫法：一靠：使三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上．二移：移動(dòng)三角尺使另一條直角邊通過這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)．三畫：畫垂線段．（3）三角形的高的位置：三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形圖示三條高的位置銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部直角三角形有兩條高恰好是它的兩條直角邊鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，兩個(gè)垂足落在邊的延長線上三條高的交點(diǎn)三條高交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)三條高沒有交點(diǎn)，但三條高所在的直線交于三角形外一點(diǎn)xixix

提升方法技能思維進(jìn)階1．三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變．2．關(guān)于三角形的中線的理解（1）三角形的中線是線段；（2）三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；（3）中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形．3．關(guān)于三角形的角平分線的理解（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線．4．關(guān)于三角形的高的理解（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心．5．判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．xixix

觸類方能旁通舉一反三【題型1】三角形三邊關(guān)系及應(yīng)用典例典例（2024秋?商丘期末）如用三根木棒首尾相接圍成△ABC，其中AC＝7cm，BC＝9cm，則木棒AB的長可能是（）A．1cm B．2cm C．15cm D．16cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解．【解答】解：∵三根木棒首尾相接圍成△ABC，AC＝7cm，BC＝9cm，∴9cm﹣7cm＜AB＜9cm+7cm，∴2cm＜AB＜16cm，故選：C．方法點(diǎn)撥若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．【變式1】（2024秋?老河口市期末）用下列長度的三根木棒首尾順次聯(lián)結(jié)，能做成三角形框架的是（）A．1dm、2dm、3dm B．2dm、2dm、4dm C．3dm、2dm、3dm D．2dm、6dm、3dm【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條線段能否構(gòu)成三角形，本題得以解決．【解答】解：∵1+2＝3，故選項(xiàng)A中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；∵2+2＝4，故選項(xiàng)B中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；∵3+2＞3，故選項(xiàng)C中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，符合題意；∵2+3＜6，故選項(xiàng)D中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式2】（2025春?欒城區(qū)期末）若一個(gè)三角形的三邊長分別為2，x，7，化簡|x﹣5|﹣2|x﹣12|的結(jié)果是（）A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定x的取值范圍，再去絕對(duì)值計(jì)算即可解答．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊長分別為2，x，7，∴5＜x＜9，∴|x﹣5|﹣2|x﹣12|＝x﹣5+2x﹣24＝3x﹣29，綜上所述，只有選項(xiàng)B正確，符合題意，故選：B．【變式3】（2025春?泉州期末）某市文旅局為打造生態(tài)旅游線路，計(jì)劃在某公園的人工湖兩岸A、B之間搭建一座景觀橋．施工人員在湖邊選取觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得CA＝8米，CB＝7米．根據(jù)三角形三邊關(guān)系，A、B之間的距離不可能是（）A．5米 B．7米 C．12米 D．16米【答案】D【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊即可求解．【解答】解：∵CA＝8米，CB＝7米，∴8﹣7＜AB＜8+7，即1＜AB＜15．故選：D．【題型2】三角形的穩(wěn)定性典例典例（2025春?碑林區(qū)校級(jí)期末）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故選：D．方法點(diǎn)撥三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變．四邊形沒有穩(wěn)定性．【變式1】（2025春?于洪區(qū)期末）如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)“拉桿”，這樣做的道理是（）A．垂線段最短 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．平行于同一條直線的兩條直線平行【答案】B【分析】三角形具有穩(wěn)定性，由此即可得到答案．【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)“拉桿”，這樣做的道理是三角形具有穩(wěn)定性．故選：B．【變式2】（2025春?南陽期末）下列圖形不具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì)判定即可．【解答】解：A圖形是三角形，具有穩(wěn)定性，不符合題意；B圖形是三角形，具有穩(wěn)定性，不符合題意；C圖形是三角形，不具有穩(wěn)定性，不符合題意；D圖形是四邊形，不具有穩(wěn)定性，符合題意；故選：D．【變式3】（2025?常州校級(jí)一模）如圖，窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，其所運(yùn)用的幾何原理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．垂線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B、O組成一個(gè)三角形，利用三角形的穩(wěn)定性解答．【解答】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤將其固定，正好形成三角形的形狀，所以，主要運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．故選：D．【題型3】與三角形的中線、高、角平分線有關(guān)的計(jì)算典例典例（2025?碑林區(qū)一模）如圖，在周長為20cm的△ABC中，AD是邊BC上的中線，已知CD＝4cm，AC＝7cm，則AB的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】B【分析】由AD是邊BC上的中線，得到BC＝2CD＝8（cm），根據(jù)AB+AC+BC＝20（cm），求得AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）．【解答】解：∵AD是邊BC上的垂線，∴BC＝2CD＝8（cm），∵△ABC的周長＝20cm，∴AB+AC+BC＝20（cm），∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm），故選：B．方法點(diǎn)撥1．關(guān)于三角形的中線的理解（1）三角形的中線是線段；（2）三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；（3）中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形．2．“角平分線+平行”模型如圖，以下三個(gè)條件：①∠1=∠2；②DE∥AB；③∠1=∠3．已知其中兩個(gè)，可以推出第三個(gè)一定成立．該結(jié)論常被應(yīng)用于證明角相等或線平行．3．高的有關(guān)計(jì)算（1）已知底和面積求高：這是最直接的方法，適用于已知三角形底邊長度和面積的情況．（2）已知邊長和角度求高：適用于已知三角形兩邊及夾角或三邊長度的情況．【變式1】（2025春?衡陽縣期末）如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，則BC＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到AF＝FC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，∴∠ECB=12∠∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；（2）∵F是AC中點(diǎn)，∴AF＝FC，∵△BCF與△BAF的周長差為3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝10，故答案為：10．【變式2】（2025春?秦都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CE是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在AC邊上（不與點(diǎn)A、C重合），連接BD交CE于點(diǎn)F．（1）若BD是△ABC的中線，AB＝10，BC＝9，求△ABD與△BCD的周長之差；（2）若BD是△ABC的高，∠ACB＝68°，求∠BFC的度數(shù)．【答案】（1）1；（2）124°．【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義得到AD＝CD，利用三角形的周長公式表示出△ABD與△BCD的周長，兩者相減即可得出答案；（2）根據(jù)三角形的高的定義得到∠BDC＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCF=1【解答】解：（1）∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD．∵AB＝10，BC＝9，∴△ABD的周長＝AD+BD+10，△BCD的周長＝CD+BD+9．∴△ABD與△BCD的周長之和為AD+BD+10﹣（CD+BD+9）＝AD+BD+10﹣CD﹣BD﹣9＝10﹣9＝1，即△ABD與△BCD的周長之差為1；（2）∵BD是△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠DCF=1∴∠BFC＝∠BDC+∠DCF＝90°+34°＝124°，即∠BFC的度數(shù)為124°．【變式3】（2025春?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點(diǎn)D在邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合），CD與BE交于點(diǎn)O．（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，則△BCD與△ACD的周長差為；（2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度數(shù)．【答案】（1）1；（2）121°．【分析】（1）首先由CD是中線得BD＝AD，再分別求出△BCD和△ACD的周長，然后再求出它們的差即可；（2）先根據(jù)CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE＝31°，然后根據(jù)三角形的外角定理可得∠BOC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵CD是中線，∴BD＝AD，∵BC＝3，AC＝2，∴△BCD的周長＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周長＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，∴△BCD的周長+△ACD的周長＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1．故答案為：1．（2）CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE=12∠ABC∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°．【題型4】三角形的周長問題典例典例（2025春?沈北新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長是8cm，△ABD的周長是10cm，AB比AC長多少厘米？【答案】2厘米．【分析】由三角形的中線定義得到BD＝CD，于是得到△ABD與△ACD周長的差＝AB﹣AC＝2厘未．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長﹣△ACD的周長＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣8＝2（厘米），∴AB比AC長2厘米．方法點(diǎn)撥三角形的周長問題先將周長用線段的和表示，再分析題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系，列式求解．【變式1】（2024秋?西安期末）如圖，在△ABC中，CD是中線，已知BC﹣AC＝5cm，△DBC的周長為25cm，求△ADC的周長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝BD，然后根據(jù)三角形的周長的定義求出△DBC的周長﹣△ADC的周長＝BC﹣AC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵CD是垂線，∴AD＝BD，∴△DBC的周長﹣△ADC的周長＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC，∵BC﹣AC＝5cm，△DBC的周長為25cm，∴25﹣△ADC的周長＝5，解得，△ADC的周長＝20cm．【變式2】（2024秋?閻良區(qū)期末）已知△ABC，AD是BC邊上的中線，且AC＝4，若△ABD的周長比△ACD的周長大5，求AB的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算得到答案．【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，由題意得，（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝5，則AB﹣AC＝5，又AC＝4，解得AB＝9．【變式3】（2024秋?吉首市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．【答案】AC＝48，AB＝28．【分析】由題意可得AC+CD＝60，AB+BD＝40，由中線的性質(zhì)得AC＝2BC＝4CD＝4BD，故可求得AC＝48，即可求得AB＝28．【解答】解：由題意知AC+CD+BD+AB＝100，AC+CD＝60，AB+BD＝40，∵AC＝2BC，D為BC中點(diǎn)，∴AC＝2BC＝4CD＝4BD，∴AC+CD=AC+1即AC=60×4則BC＝24，CD＝BD＝12，則AB＝40﹣BD＝40﹣12＝28．且48＞28符合題意．【題型5】與三角形的面積問題典例典例（2024秋?肥城市期末）如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF交于點(diǎn)G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，則圖中陰影部分的面積和為．【答案】6．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)推得S△ABD=S△ACD=【解答】解：由題意可得：S△ABD∵AG：GD＝2：1，∴S△ABG=2∵BE、CF是△ABC的垂足，∴E、F是AB、AC的中點(diǎn)，∴S△BFG=1∴S陰影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6．故答案為：6．方法點(diǎn)撥1．三角形的面積只與底和高有關(guān)，而三角形的中線把三角形分成兩個(gè)底邊相等的三角形，由等底同高的三角形的面積相等可知，這兩個(gè)小三角形的面積相等．【變式1】（2025春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖是一塊面積為10的三角形紙板，點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為．【答案】見試題解答內(nèi)容