專題10空間角與空間距離的綜合知識點(diǎn)1線線角的定義與求解線線角主要是求異面直線所成角。1、線線角的定義：2、求異面直線所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．3、三種平移產(chǎn)生①平行四邊形平移法；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．知識點(diǎn)2線面角的定義與求解1、線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，取值范圍：[0°，90°]2、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=hl，其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，知識點(diǎn)3二面角1、二面角的概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：[0°，180°]知識點(diǎn)4確定二面角的平面角的方法：1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）最常用（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（2）具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）（1）方法：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（2）具體演示：過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。（1）方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對于無棱二面角的求解很簡便。（2）以多邊形為三角形為例證明，其它情形可自證?？键c(diǎn)1求直線與直線所成角【答案】異面直線與所成的角即是直線與所成的角故答案為：（1）求該圓錐的全面積和體積；（2）求異面直線AO與CD所成角的正切值；【答案】C【解析】如圖，取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G連接，，．取的中點(diǎn)，連接，，A．B．C．D．【答案】B【解析】如下圖，取中點(diǎn)，連接.即與所成角的大小為.故選：B.【答案】C取的中點(diǎn)，連接，，，故異面直線與所成角的余弦值是.故選：C考點(diǎn)2求直線與平面所成角A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A所以直線AC與底面BCD所成角的大小為，故選：.【答案】B【解析】如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，（1）求直線和平面ABCD所成角的大?。唬?）求直線和平面ABCD所成角的正切值．【答案】（1）；（2）∴直線在平面ABCD上的射影為直線AB，∴直線和平面ABCD所成角的大小為．∴直線在平面ABCD上的射影為直線，∴直線和平面ABCD所成角的的正切值為．【答案】45°由于、分別為、在內(nèi)的射影，（1）求圓錐的體積與側(cè)面積；考點(diǎn)3求平面與平面所成角【答案】故答案為：.【答案】【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【答案】（1）見解析；（2）連交于點(diǎn)，連，設(shè)AC與BM交于點(diǎn)O，考點(diǎn)4求點(diǎn)到直線的距離【答案】C所以到的距離為線段的長度，A．B．C．D．【答案】B即到直線的距離是，是中點(diǎn)，所以到的距離等于到直線的距離的一半，即為．故選：B．A．B．C．D．【答案】C易知為A到直線BD1距離.故A到直線BD1距離為.故選：C.A．B．C．D．【答案】B考點(diǎn)5求異面直線間的距離A．2B．1C．D．【答案】B設(shè)底面正方形邊長為，因?yàn)樵撍睦庵鶠殚L方體，【答案】D因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，因此直線到直線的距離等于點(diǎn)F到直線的距離，【答案】，因?yàn)榕c所成角大小為，因?yàn)榕c所成角大小為，所以線段是直線與的公垂線段，線段是與的公垂線線段，所以直線與的距離是，與的距離是．【答案】所以是異面直線和的公垂線段，∴異面直線和的距離為．【答案】C故為點(diǎn)到直線的距離，考點(diǎn)6求點(diǎn)到平面的距離A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，連接，交于，如下圖：【答案】A設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，A．B．C．2D．【答案】B【答案】（1）證明見解析；（2）（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，考點(diǎn)7求直線到平面的距離A．B．C．D．【答案】C在直角三角形ABD中，由等面積法可得：A．2B．C．D．1【答案】D所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距離等于到平面EAC的距離，設(shè)到平面EAC的距離為，【解析】（1）連接BD交AC于O，連接FO，∵F為AD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ACF的距離與點(diǎn)D到平面ACF的距離相等.設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為，考點(diǎn)8求平面到平面的距離【答案】B取的中點(diǎn)，連接，，【答案】2連接AC交BD于點(diǎn)G，連接HG.所以平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，設(shè)為h，即兩個(gè)截面間的距離為2.故答案為：2．（2）連接分別交、于點(diǎn)、，【答案】（1）見解析（2）【答案】C【解析】如圖，連接，因?yàn)椤?，則異面直線與所成的角的余弦值為.故選：C．2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=A1A=2,M?N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn),則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知找中點(diǎn)及靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)為，因?yàn)檎庵鵄BCA1B1C1,AB=A1A=2,故直線AM與CN所成角的余弦值等于.故選:D【答案】A【解析】連接交于F，如圖：A．1B．C．D．【答案】C根據(jù)勾股定理，【答案】BA．B．C．D．【答案】C【解析】過上一點(diǎn)分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點(diǎn)、，C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為【答案】BC【解析】連接，如圖，A．直線與所成的角為60°B．直線與所成的角為60°【答案】AD【分析】根據(jù)線面的平行和垂直關(guān)系，確定各個(gè)異面直線所成角以及線面角，進(jìn)行求解即可.由∥，所以直線與所成的角為直線與所成的角，9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把三角形ABC折起來，則（）A．在折起的過程中始終有AD⊥平面DB′CB．三棱錐A－DB′C的體積無最大值D．當(dāng)∠B′DC＝90°時(shí)，點(diǎn)C到平面ADB′的距離為【答案】ACD【解析】因?yàn)锳D⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正確；當(dāng)DB′⊥DC時(shí)，△DB′C的面積最大，此時(shí)三棱錐A－DB′C的體積也最大，當(dāng)∠B′DC＝60°時(shí)，△DB′C是等邊三角形，設(shè)B′C的中點(diǎn)為E，連接AE，DE，當(dāng)∠B′DC＝90°時(shí)，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，【答案】【解析】如圖所示，作PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD．因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC．又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4．故答案為：.【答案】/0.5所以是異面直線和的公垂線，的長即為異面直線和之間的距離．所以異面直線和之間的距離為．故答案為：．【答案】或故答案為：或【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明如下：取的中點(diǎn)N．連接NM，AN．（2）求直線DC與平面ABE的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）可知直線DC與平面ABE的距離等于點(diǎn)C到平面ABE的距離故直線DC與平面ABE的距離為20．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中點(diǎn)．（1）證明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC與PB所成的角的余弦值；【解析】（1）∵四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥DC，∴CD