1.2：空間向量基本定理【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)01:空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．知識(shí)點(diǎn)02:空間向量的正交分解單位正交基底空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三個(gè)向量，a＝xi＋yj＋zk，像這樣叫做把空間向量進(jìn)行正交分解。知識(shí)點(diǎn)03：空間向量基本定理1、證明平行、共線、共面問題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.2、求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|). (2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3、求距離(長(zhǎng)度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【例題詳解】題型一、空間的基底【例1】（2425高二上·廣東深圳·期末）已知a,b,【跟蹤訓(xùn)練1】（2425高二上·北京·期末）已知a,b,A．a(chǎn)+b、b?c、a+c 【跟蹤訓(xùn)練2】（2425高二上·福建泉州·期中）已知a,b,A．2a+b，a+2b，b+cC．2a+3b，c，4a+6b+3題型二：用空間基底表示向量【例2】（2425高二下·甘肅甘南·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，點(diǎn)N為

A．?23aC．12a+A．12a+12b?12題型三、空間向量基本定理A．32 B．1 C．14

A．32 B．1 C．14 【跟蹤訓(xùn)練2】（2324高二上·山東青島·期末）已知四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，NA．3 B．2 C．12 D．題型四、求夾角、長(zhǎng)度問題【例4】（2425高二上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為

求：(1)AC(2)直線BD'與(1)用a,b,c為基底表示向量(1)用a,b,(2)求對(duì)角線AC(3)求cosAB題型五、空間向量證明平行、共面、垂直問題

(1)試用a，b，c表示向量(2)求AC【跟蹤訓(xùn)練1】（2425高二上·浙江·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'(1)求證：BD⊥(2)求AC【跟蹤訓(xùn)練2】（2425高二上·北京豐臺(tái)·期中）如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=(1)用a,b,(2)求AM；(3)求證：AM⊥【高分演練】一、單選題1．（2526高二上·全國(guó)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）C．3a，a?b，a+2b D．2．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題中，為真命題的是（

）①若，OB與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，OB共線；②若非零向量，OB，OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O,A,B,C四點(diǎn)共面；A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=2A．12a?C．?23a44．（2425高二上·河北唐山·期中）在四棱錐C?OADB中，底面OADB為平行四邊形，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，OA=a,OB=

5．（2425高二上·河南三門峽·期末）在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，A．12 B．85 C．61 D．70A．?53 C．23 D．A．AM=12C．AM=11 二、多選題8．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)a,b,A．a(chǎn),b,B．有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ，使得cC．對(duì)空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pD．12a，13A．BD1B．異面直線AC與BD1C．AA．AB．BC．AC,D．AA．OP=16C．OP?OA=2 D．向量OP在A．DMB．CMC．CD．CM三、填空題

四、解答題19．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）四棱柱ABCD?A'B'C'D'的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角線A'(2)求證：M、N、D'20．（2425高二上·上海金山·期末）如圖，在空間四邊形OABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE=13(1)試用向量a,b,(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°，求

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