13全等三角形角平分線模型一、單選題

【答案】C故選：C．

A． B． C．2 D．1【答案】D故選：D．

【答案】D【詳解】解：如圖，延長交于E，

故選：D．A． B． C． D．4【答案】B故選：B．

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D

，

故選：D．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：如下圖，綜上所述，結(jié)論正確的有4個．故選：D．二、填空題

【答案】6

故答案為：6．

【答案】4故答案為：49．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是．【答案】510．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．【答案】54°【詳解】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD∠BPC=（x36°），∴∠BAC=∠ACD∠ABC=2x（x36°）（x36°）=72°，∴∠CAF=108°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案為：54°．

【答案】110°70°∴∠BAC+∠BCA=140°，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°70°=110°；②如圖1，在BC上取CD=AC，連接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI與△DCI中，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【答案】①②③故①正確；故②正確；故③正確；∴正確的序號為①②③；故答案為①②③．【答案】①②③④故答案為：①②③④．三、解答題16．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點D在線段AC的垂直平分線上．證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴點D在線段AC的垂直平分線上．

∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴GD=GE.20．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o證明：延長AD過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF?DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE?DF，∴BE＝DF，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180o．21．如圖，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點D，AE⊥BD于E，求證：BD=2AE.解：延長BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE和△FBE中∴△ABE≌△FBE，∴AE=EF，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，∴∠2=∠OAF，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD和△OAF中∴△OBD≌△OAF，∴BD=AF，∵AE=EF，∴BD=2AE．

23．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，使DE＝AD，求證：∠ECA＝40°．證明：在BC上截取BF＝AB，連DF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△ＦBD中，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE和△DCF中，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．25．如圖：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°時，則∠CAD的度數(shù)為．（2）如圖②，在第（1）問的條件下，過D作DE⊥AB于點E，已知AB＝6，求△DBE的周長．（3）如圖③，當(dāng)∠C≠90°，證明：AC＋CD＝AB．解：（1）∵∠C＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝45°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAC＝22.5°，故答案為：22.5°；（2）由（1）知，∠B＝∠BAC，∴AC＝BC，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠C，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAE＝∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，DE＝CD，∴△DBE的周長=BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝6；（3）如圖③，在AB上取一點F，使AF＝AC，∵∠DAB＝∠DAC，AD=AD，∴△DAF≌△DAC（SAS），∴DF＝CD，∠AFD＝∠C，∵∠C＝2∠B，∴∠AFD＝2∠B，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，∴∠BDF＝∠B，∴BF＝DF，∴BF＝CD，∴AC+CD＝AF+BF＝AB．26．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+CD．證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE，如下圖所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB=∠BAD=108°，∴∠DEC=180°108°=72°，又AB=AC，∴∠C=∠ABC=(180°108°)÷2=36°，∴∠CDE=180°∠C∠DEC=180°36°72°=72°，∴∠DEC=∠CDE，∴CD=CE，∴BC=BE+CE=AB+CD．（2）如解（2）圖，在BC上取一點G使BG=BD，（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，28．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD