專題10輕松解決空間幾何體的體積問題【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：割補法題型三：換底法題型四：祖暅原理【典型例題】題型一：直接法【解析】過P作底面垂線，垂直為O，則O為底面三角形的中心，連接AO并延長，交BC于N，A． B． C． D．【答案】C故選：CA． B．C． D．【答案】A故選：A．題型二：割補法例7．（2023·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【解析】截去的三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，高為2，則該正方體剩余幾何體的體積為故選：C【答案】10故答案為：10.題型三：換底法因為為中點，(1)該三棱錐的體積與表面積；(2)螞蟻爬行的最短路線長.（2）如下圖：連接，線段的長度即螞蟻爬行的最短路線長，題型四：祖暅原理例13．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）公元656年，唐代李淳風注《九章算術》時提到祖暅的開立圓術．祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．意思是兩個同高的幾何體，若在等高處的截面積相等，則體積相等．如圖是某廠家生產(chǎn)的游泳池浮漂實物圖及設計圖，則h的長度為____________cm；利用祖暅原理可求得該浮漂的體積為____________．【解析】由實物軸截面如下圖示：為球心，由題設知：若為球體體積，為圓柱體積，為圓柱一端的球冠體積，例14．（2023·全國·高三專題練習）祖暅是我國南北朝時期偉大的數(shù)學家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．例如可以用祖暅原理推導半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個半徑為R，高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面的平面去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用垂直于半徑的平面去截半徑為R的半球，且球心到平面的距離為，則平面所截得的較小部分（陰影所示稱之為“球冠）的幾何體的體積是（

）【答案】A故選：A.例15．（2023·河北邢臺·高一河北南宮中學?？茧A段練習）祖暅（gèng）（5世紀—6世紀），字景爍，祖沖之之子，范陽郡道縣（今河北省淶水縣）人，南北朝時期的偉大科學家.他在實踐的基礎上，于5世紀末提出了下面的體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異”.這就是“祖暅原理”.用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.例如可以用祖暅原理推導半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個半徑為R，高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面的平面去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等.若球心到平面的距離為，則平面截半球所得的較小部分的幾何體的體積等于___________.【解析】由題意知，所以該平面α截半球所得的較小部分的幾何體的體積為：【答案】【解析】設鐵球沉到容器底端時，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故答案為：【答案】故答案為：.【過關測試】（Ⅰ）求三棱柱的表面積；（Ⅰ）求的長；【解析】（1）連結，相交于點，連結（1）三棱柱的側面展開圖的對角線長；點運動到點的位置，連接交于，則是由頂點沿棱柱側面經(jīng)過棱到頂點的最短路線，到平面BEF的距離為到的距離，若為上的一點，則P到平面BEF的距離為，由（1）知到平面BEF的距離等于到平面BEF的距離為，9．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖所示，三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點.（1）求證:EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱錐FAEC的體積.∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱錐FAEC的高，又F為PC的中點，是中點,是中點,12．（2023·湖南長沙·高一雅禮中學校聯(lián)考期末）如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．（Ⅰ）求證A'D⊥EF；（Ⅱ）求三棱錐A'﹣EFD的體積．【解析】（Ⅰ）證明：取EF中點M,連接A′M,DM,顯然,DE＝DF,故DM⊥EF；顯然,A′E＝A′F,則A′M⊥EF,又A′M∩DM＝M,且都在平面A′DM內(nèi),∴EF⊥平面A′DM,∵A′D?平面A′DM,∴A′D⊥EF；∴DM2＝A′M2+A′D2,因為G為PB的中點．15．（2023·安徽滁州·高二階段練習）如圖，已知點P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，圓柱的側面積為16π，OA＝2，∠AOP＝120°，試求三棱錐A1－APB的體積.【解析】S圓柱側＝2π·OA·AA1＝4π·AA1＝16π，∴AA1＝4，∵∠AOP＝120°，OA＝OP＝2，∴AP＝2，BP＝AB＝OA＝2.又因為E為BC的中點,且四邊形ABCD為矩形,所以EC//AD,且EC=AD,所以EC//GH,且EC=GH,所以四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG//CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.試題解析：（1）設為邊的中點，連接，∵，分別為，的中點，【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利