課時檢測（三十五）雙曲線簡單幾何性質的應用1.如圖,某綠色蔬菜種植基地在A處,要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路AA1或AA2運送到形狀為四邊形區(qū)域A1A2A3A4的農貿市場中去,現(xiàn)要求在農貿市場中確定一條界線,使位于界線一側的點沿道路AA1運送蔬菜較近,而另一側的點沿道路AA2運送蔬菜較近,則該界線所在曲線為()A.直線B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線2.希臘數(shù)學家帕普斯指出,到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫作圓錐曲線.當0<e<1時,軌跡為橢圓;當e=1時,軌跡為拋物線;當e>1時,軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程m(x2+y22x+2y+2)=(x+y3)2(m>0)表示的曲線是雙曲線,則m的取值范圍為()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,2)D.(2,+∞)3.如圖為陜西歷史博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右支與直線x=0,y=4,y=2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體.若該金杯主體部分的上口外直徑為1033,下底外直徑為2A.=y29x231B.=x29y231C.=y4.3D打印是快速成型的一種技術,它是一種以數(shù)字模型文件為基礎,運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料,通過逐層打印的方式來構造物體的技術.如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒,該塔筒是由離心率為5的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的,已知該塔筒(數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側表面計算)的上底直徑為62cm,下底直徑為92cm,喉部(中間最細處)的直徑為8cm,則該塔筒的高為()A.272cmB.18cmC.2722cm D.5.某飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記為A,B,C),A在B的正東方向,相距6km;C在B的北偏西30°方向,相距4km;P為航天員的著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,4s后B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1km/s,則在A處測得P的方向角為()A.北偏東30° B.北偏東60°C.北偏西30° D.北偏西60°6.(多選)已知F1,F2分別是雙曲線C:y2x2=1的上、下焦點,點P是其一條漸近線上一點,且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P,則()A.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1C.點P的橫坐標為±1D.△PF1F2的面積為27.一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分,它的方程是y2x2=1,y∈[1,10],在凹槽內放入一個清潔鋼球(規(guī)則的球體),要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部,則清潔鋼球的最大半徑為()A.1 B.2C.3 D.2.58.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0),F2(c,0),若雙曲線存在一點P使sin∠P9.(10分)已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,P是雙曲線右支上一點,PF2OH⊥PF1,垂足為點H,|OH|=λ|OF1|,λ∈19(1)當λ=13時,求雙曲線的漸近線方程;(5分(2)求雙曲線的離心率e的取值范圍.(5分)10.(10分)已知雙曲線x29y216=1的右焦點為F2,M是雙曲線右支上一點,定點A(9,2),求|MA|+35|課時檢測(三十五)1.選C如圖，設M是界限上的一點，則|MA1|＋|AA1|＝|MA2|＋|AA2|，所以|MA1|－|MA2|＝|AA2|－|AA1|，即||MA1|－|MA2||＝||AA2|－|AA1||，在△AA1A2中，||AA2|－|AA1||<|A1A2|，所以點M的軌跡為雙曲線，即該界線所在曲線為雙曲線．故選C.2．選C由題意m(x2＋y2－2x＋2y＋2)＝(x＋y－3)2，可以化為m[(x－1)2＋(y＋1)2]＝(x＋y－3)2，兩邊同時開方得eq\r(m[(x－1)2＋(y＋1)2])＝|x＋y－3|，所以eq\f(\r(2),\r(m))＝eq\f(\r((x－1)2＋(y＋1)2),\f(|x＋y－3|,\r(2)))，由幾何意義可知，上式表示(x，y)到(1，－1)和直線x＋y－3＝0的距離之比，則e＝eq\f(\r(2),\r(m))>1，所以m∈(0,2)．故選C.3．選A依題意，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(39),3)，－2))，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(25,3),a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(\f(13,3),a2)－\f(4,b2)＝1，))解得a＝eq\r(3)，b＝3，因此，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，A正確；雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，B不正確；雙曲線eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，C不正確；雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，D不正確．故選A.4.選D該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部(中間最細處)的中點O為原點，建立平面直角坐標系，設A與B分別為上、下底面對應點，雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由雙曲線的離心率為eq\r(5)，得eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(5)，則b2＝4a2.由喉部(中間最細處)的直徑為8cm，得2a＝8，a＝4，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,64)＝1.設點A(xA，yA)，B(xB，yB)，由xA＝3eq\r(2)，xB＝eq\f(9\r(2),2)，得yA＝2eq\r(2)，yB＝－7eq\r(2)，所以該塔筒的高為yA－yB＝9eq\r(2).故選D.5．選A因為B，C同時接到信號，所以|PB|＝|PC|，則點P在線段BC的垂直平分線上，因為B，C比A處同時晚4s收到信號，所以有|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，從而P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，所以2a＝4，c＝3，則b2＝c2－a2＝5.如圖，以線段AB的中點O為坐標原點，AB的垂直平分線為y軸，正東方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，2eq\r(3))，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)，線段BC的垂直平分線的方程為y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x＋4)，即x－eq\r(3)y＋7＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋7＝0，,\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1(x≥2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5\r(3)，))即點P(8，5eq\r(3))，從而kPA＝eq\f(5\r(3),8－3)＝eq\r(3)，所以直線PA的傾斜角為60°，則在A處測得P的方向角為北偏東30°，故選A.6．選ACD等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；由雙曲線的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯誤；點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，不妨設點P(x0，y0)在直線y＝x上，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，則點P的橫坐標為±1，故C正確；由上述分析可得△PF1F2的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正確．7．選A當清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時，軸截面如圖所示，圓心在雙曲線的對稱軸上，并與雙曲線的頂點相交，設清潔鋼球的半徑為r，圓心為(0，r＋1)，則圓的方程為x2＋(y－r－1)2＝r2，代入雙曲線方程y2－x2＝1，得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，要使清潔鋼球到達最底部，則r≤1.故選A.8．解析：在△PF1F2中，由正弦定理知eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，又eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)，∴P在雙曲線右支上．設P(x0，y0)，如圖，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝eq\f(2a2,c－a).由雙曲線幾何性質知|PF2|＞c－a，則eq\f(2a2,c－a)＞c－a，即e2－2e－1＜0，∴1＜e＜1＋eq\r(2).答案：(1,1＋eq\r(2))9．解：(1)如圖所示，當x＝c時，代入雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得y＝±eq\f(b2,a)，由Rt△OHF1與Rt△PF2F1相似，可得eq\f(|OH|,|PF2|)＝eq\f(|OF1|,|PF1|).因為|OH|＝λ|OF1|，所以λ＝eq\f(\f(b2,a),2a＋\f(b2,a))，整理得2a2λ＋b2λ＝b2，可得2a2λ＝b2(1－λ)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(2λ,1－λ).當λ＝eq\f(1,3)時，可得eq\f(b2,a2)＝1，所以a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.(2)由(1)可得|PF2|＝eq\f(b2,a)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(2λ,1－λ)＝1＋eq\f(2[1－(1－λ)],1－λ)＝eq\f(2,1－λ)－1＝－1－eq\f(2,λ－1).又由函數(shù)f(λ)＝－1－eq\f(2,λ－1)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,2)))上單調遞增，所以當λ＝eq\f(1,2)時，e2取得最大值3，當λ＝eq\f(1,9)時，e2取得最小值eq\f(5,4)，即eq\f(5,4)≤e2≤3，所以eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\r(3).故雙曲線的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(3))).10．解：由題意得a＝3，b＝4，則