專題12線線角、線面角、二面角、點面距、線面距、面面距【知識梳理】知識點1、求點線、點面、線面距離的方法（1）若P是平面外一點，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離（如圖所示）．（2）一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．（3）求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．知識點2、異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：（1）找（或作出）異面直線所成的角——用平移法，若題設中有中點，?？紤]中位線．（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．知識點3、直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟（1）確定斜線與平面的交點（斜足）；（2）通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；（3）求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．知識點4、作二面角的三種常用方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角αlβ的平面角．（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角αlβ的平面角．【典型例題】A． B． C． D．【答案】A所以直線與所成的角為.故選：A.(2)求異面直線與所成的余弦值；所以異面直線與所成的余弦值為．(1)判斷M點在PB的位置并說明理由；【解析】（1）連接BD交AC于O，連接OM，則O為BD靠近B的三等分點，所以M為PB上靠近B的三等分點．（3）取AD中點H，連接PH，HB，（2）記交于點，連接，①點為中點，求與所成的角的大??；（2）②又F為的中點，例8．（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；【解析】證明：（Ⅰ）取中點并連接，【過關測試】一、單選題A． B． C． D．【答案】C故選：.A． B． C． D．【答案】D故選：DA．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B故與所成的角為60°．故選：B.A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A所以和所成的角，即為和所成的角，即和所成的角是.故選：AA． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，將直三棱柱補全為如下圖示的正方體，為上底面對角線交點，故選：AA． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：故選：A．A． B． C． D．【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】A故選：A【答案】A故選:AA． B． C． D．【答案】A故選：A.A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.12．（2023·北京·高一北京市第十二中學?？计谀┤粢粋€正四棱錐的高和底面邊長都為2，則它的側(cè)面與底面所成角的余弦值為（

）【答案】B【解析】如圖，設PO為正四棱錐的高，O為底面正方形中心，故選：B二、多選題A．與異面 B．與所成的角為C．與異面 D．與所成的角為【答案】AD對于A，與異面，故A正確；故選：AD.C．異面直線與所成的角為60°D．異面直線與所成的角為90°【答案】BC則直線與所成的角為60°，故C正確；直線與所成的角為60°，故D錯誤.故選：BC.【答案】BCD【解析】正三棱錐APBC和正三棱錐DPBC的側(cè)棱長均為，BC2，則正三棱錐APBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐DPBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到正方體中，如圖所示，連接，，如圖所示故選：BCD【答案】BCD故選：BCD．三、填空題【答案】故異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：.【答案】90°所以異面直線與所成的角等于與所成的角，故答案為：.【答案】故答案為：【答案】【解析】故答案為：.【答案】/【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：故答案為：.【答案】故答案為：．【答案】故答案為：四、解答題(2)求異面直線與所成角的余弦值；【解析】（1）連接OC.所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.(2)求直線與所成角的余弦值.即異面直線與所成角的余弦值為.(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值；28．（2023·全國·高一期中）如圖①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖②），且∠PEB＝60°.(1)請作出平面PBC與平面PDE的交線l（不需要說明理由）(2)證明；平面PBC⊥平面PBE；(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）取中點記為，連接和，（2）取、中點分別記為、，連接、、、、、，由中位線定理得MN∥DC，MN＝DC，同理SR∥AB，SR＝AB，記交于點，平分、，（3）取中點記為，再取、上、兩點，【解析】（1）設和交于點，連接，如圖，（3）連接，，【解析】（1）證明：因為E，F(xiàn)分別為，的中點，（2）因為為的中點，33．（2023·浙江杭州·高一期末）如圖，三棱臺ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.(1)求證：AB⊥CF；(2)求直線BD與平面ABC所成角的