專題13.1三角形中邊的關(guān)系（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1三角形的有關(guān)概念】 2【題型2三角形的分類】 3【題型3利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形】 4【題型4利用三邊關(guān)系求參數(shù)范圍】 5【題型5利用三邊關(guān)系化簡(jiǎn)】 5【題型6利用三邊關(guān)系求最值】 5【題型7利用三邊關(guān)系取舍值】 7【題型8利用三邊關(guān)系證明線段的不等關(guān)系】 7【題型9三邊關(guān)系的應(yīng)用】 8知識(shí)點(diǎn)1三角形的有關(guān)概念1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所三角形2.三角形的三要素3.三角形的表示：三角形用符號(hào)“”表示，三角形ABC用符號(hào)表示為ABC.知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類1.等腰三角形的定義三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角.2.三角形的分類按邊分類2.三角形的分類（1）按邊分類三角形等腰三角形三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形（2）按角分類三角形三角形斜三角形銳角三角形知識(shí)點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系1.定義：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.2.判斷三條線段能否組成三角形：若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.【題型1三角形的有關(guān)概念】【例1】（2425八年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，圖中的三角形共有（

）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【變式11】（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）一位同學(xué)用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，則其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．【變式12】（2425八年級(jí)上·廣西·期中）已知：如圖，試回答下列問(wèn)題：（1）圖中有_______個(gè)三角形，其中直角三角形是______．（2）以線段AC為公共邊的三角形是___________．（3）線段CD所在的三角形是_______，BD邊所對(duì)的角是________．【變式13】（2425八年級(jí)上·福建廈門(mén)·期末）如圖，以點(diǎn)A、B、C、D、E中的任意3點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有幾個(gè)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這些三角形.【題型2三角形的分類】【例2】（2425八年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（

）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤【變式21】（2425八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）如圖，△ABC被木條遮住了一部分，只露出∠A，則∠B與∠C可能是（

）A．一個(gè)直角，一個(gè)銳角 B．兩個(gè)鈍角C．一個(gè)鈍角，一個(gè)銳角 D．兩個(gè)銳角【變式22】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB，BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PACA．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形B．等腰三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形【變式23】（2425七年級(jí)下·重慶·期中）設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四個(gè)圖中，能正確表示它們之間關(guān)系的是（）A． B．C． D．【題型3利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形】【例3】（2425七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五條線段，以其中的三條線段為邊組成三角形，最多可以組成個(gè)．【變式31】（2025·河北邯鄲·二模）如圖，有甲、乙兩根小棒，現(xiàn)用剪刀把其中一根小棒剪開(kāi)，若得到的兩根小棒與另一根小棒能組成三角形，則剪開(kāi)的小棒是(

)A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以【變式32】（2425八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）用13根等長(zhǎng)火柴棒拼成一個(gè)三角形，火柴棒不允許剩余、重疊和折斷，則能擺出不同的三角形個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式33】（2425八年級(jí)上·河北滄州·期末）某同學(xué)用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒擺出不同形狀的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型4利用三邊關(guān)系求參數(shù)范圍】【例4】（2425七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是a、b，且a＞b，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是（

）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a(chǎn)+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【變式41】（2425八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，3?2x，則x的取值范圍是．【變式42】（2425八年級(jí)上·湖北黃岡·階段練習(xí)）等腰三角形周長(zhǎng)是20cm，腰長(zhǎng)為xcm，則x的取值范圍為【變式43】（2425七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是xcm、3x?3cm，x+2cm，它的周長(zhǎng)不超過(guò)39cm．則xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【題型5利用三邊關(guān)系化簡(jiǎn)】【例5】（2425八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，(1)化簡(jiǎn)|a?b+c|?2|b?c?a|(2)若b，c滿足(b?3)2+|c?5|=0，且a為方程x?3=2【變式51】（2425八年級(jí)上·安徽安慶·期中）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，x，7，化簡(jiǎn)x?5?2A．?x+19 B．3x?29 C．?x+7 D．?x?29【變式52】（2425八年級(jí)上·云南曲靖·期中）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4，m．化簡(jiǎn)：m?2?【變式53】（2425八年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：a?b?c+b?a?c?A．a(chǎn)+c?b B．a(chǎn)?b?3c C．a(chǎn)+b+c D．2a?b【題型6利用三邊關(guān)系求最值】【例6】（2425八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線PC對(duì)稱，連接CB′，AB′，P【變式61】（2425七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在△ABC中，BC=3，將△ABC平移5個(gè)單位到△A′B′C【變式62】（2425八年級(jí)上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△APD，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為．【變式63】（2425七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，AC=6，BC=8，AB=10，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AD=2CD，則2BD+AD的最小值是．【題型7利用三邊關(guān)系取舍值】【例7】（2425八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）用一條長(zhǎng)41cm的細(xì)繩圍成一個(gè)三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．(1)請(qǐng)用含x的式子表示第三條邊的長(zhǎng)度．(2)若此三角形恰好是一個(gè)等腰三角形，求這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)．【變式71】（2425七年級(jí)下·河北保定·期中）等腰三角形的兩邊a、b滿足a?32+b?8A．9 B．14 C．19 D．14或19【變式72】（2425八年級(jí)上·山東德州·期末）用一條長(zhǎng)為20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，使其一邊的長(zhǎng)度為5cm，另外兩邊的長(zhǎng)為【變式73】（2425七年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，其差為4cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．1cm B．5cm C．9cm D．5cm或【題型8利用三邊關(guān)系證明線段的不等關(guān)系】【例8】（2025八年級(jí)上·江蘇蘇州·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)O在CD上．求證：AB+AC>OB+OC．【變式81】（2425八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，試判斷2AD與△ABC的周長(zhǎng)之間的大小關(guān)系，并加以證明．【變式82】（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC，BD相交于點(diǎn)O．求證：(1)AB+CD<AC+BD；(2)AC+BD>1【變式83】（2425八年級(jí)上·安徽安慶·期中）已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求證：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【題型9三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例9】（2025·江蘇無(wú)錫·三模）小毛在滑雪場(chǎng)沿著不同路徑滑冰．如圖中的灰色線條表示4條不同路徑，分別標(biāo)記為P、Q、R、S．請(qǐng)問(wèn)這4條路徑從最短到最長(zhǎng)的正確排列順序是（

）A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q【變式91】（2425七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，A、B為池塘岸邊兩點(diǎn)，小明在池塘的一側(cè)取一點(diǎn)O，測(cè)得OA=16米，OB=12米，A、B間的距離可能是（

）A．25米 B．30米 C．35米 D．40米【變式9