1.1銳角三角函數(shù)講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義 1【知識(shí)點(diǎn)2】同角三角函數(shù)的關(guān)系 2【知識(shí)點(diǎn)3】特殊角的三角函數(shù)值 2【知識(shí)點(diǎn)4】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系 2【題型1】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算 2【題型2】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系證明 4【題型3】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求值 7【題型4】利用銳角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 10【題型5】應(yīng)用三角函數(shù)的定義解決實(shí)際問(wèn)題 13【題型6】特殊角的三角函數(shù)值 18【題型7】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系證明 19【題型8】特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算 22【題型9】利用銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算和證明 24【題型10】利用三角函數(shù)定義求網(wǎng)格中的三角函數(shù)值 27【題型11】三角函數(shù)的定義 31【題型12】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求三角函數(shù)值 33【題型13】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求角 36【題型14】利用三角函數(shù)定義求圖形中的三角函數(shù)值 37【題型15】利用銳角三角函數(shù)的定義求邊長(zhǎng) 40【題型16】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求三角函數(shù)值 42【題型17】特殊角的三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 46【題型18】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度 50【題型19】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀 53知識(shí)講解知識(shí)講解【知識(shí)點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA=∠A的對(duì)邊除以斜邊=ac（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA=∠A的鄰邊除以斜邊=bc（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA=∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊=ab（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2】同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA=tanA?cosA【知識(shí)點(diǎn)3】特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°=12；cos30°=32；tan30°=sin45°=22；cos45°=22；sin60°=32；cos60°=12；

tan60°=（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．【知識(shí)點(diǎn)4】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系在直角三角形中，∠A+∠B=90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°∠A）；②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．題型專(zhuān)練題型專(zhuān)練【題型1】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算【典型例題】已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，則sinα﹣cosα的值為（）A.B.﹣C.D.±【答案】B【解析】把已知條件兩邊都乘以2，再根據(jù)sin2α+cos2α＝1，進(jìn)行配方，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出cosα與sinα的取值范圍，從而得到sinα﹣cosα＜0，最后開(kāi)方即可得解．∵sinαcosα＝，∴2sinα?cosα＝，∴sin2α+cos2α﹣2sinα?cosα＝1﹣，即（sinα﹣cosα）2＝，∵0°＜α＜45°，∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，∴sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝﹣．故選：B．【舉一反三1】常聽(tīng)到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述話(huà)語(yǔ)中所含有的數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)正確表達(dá)為（）（假設(shè)有任意角α）A.（sinα+cosα）2B.sinα2+cosα2C.sinα2+cotα2D.sin2α+cos2α【答案】D【解析】根據(jù)題意即可寫(xiě)出式子．“正弦平方加余弦平方”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為：sin2α+cos2α．故選：D．【舉一反三2】若tanA＝2，則＝．【答案】3【解析】利用勾股定理易得∠A所在的直角三角形的斜邊，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．∵tanA＝2，設(shè)∠A的對(duì)邊為2k，則鄰邊為k，∴斜邊為k．∴sinA＝，cosA＝，∴＝3．故答案為：3【舉一反三3】計(jì)算：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°＝．【答案】44【解析】利用sin2A+cos2A＝1，即可求解．原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+＝44．故答案為：44．【舉一反三4】對(duì)于同一銳角α有：sin2α+cos2α＝1，現(xiàn)銳角A滿(mǎn)足sinA+cosA＝．試求：（1）sinA?cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．【答案】（1）∵sinA+cosA＝，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，即1+2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝；（2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，＝1﹣，＝，∴sinA﹣cosA＝±．【題型2】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系證明【典型例題】在△ABC中，已知∠C＝90°，設(shè)q＝sinA+cosA，則（）A.q＜1B.q≤1C.q＝1D.q＞1【答案】D【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得sinA＝，cosA＝，可得q＝，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得a+b＞c，所以＞1，即可得出答案．∵sinA＝，cosA＝，∴q＝sinA+cosA＝+＝，∵a+b＞c，∴＞1，∴q＞1．故選：D．【舉一反三1】對(duì)于銳角α，下列等式中成立的是（）A.sinα＝cosα?tanαB.cosα＝tanα?cotαC.tanα＝cotα?sinαD.cotα＝sinα?cosα【答案】A【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可．如圖，在Rt△ABC中，設(shè)∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，有sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝，于是：A．cosα?tanα＝?＝＝sinα，因此選項(xiàng)A符合題意；B．tanα?cotα＝?＝1≠cosα，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．cotα?sinα＝?＝＝cosα，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．sinα?cosα＝?＝≠cotα，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【舉一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正確的是（）A.sinA+cosA＜1B.sinA+cosA＝1C.sinA+cosA＞1D.sinA+cosA≥1【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinA＝，cosA＝，則sinA+cosA＝，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可判斷sinA+cosA＞1．∵sinA＝，cosA＝，∴sinA+cosA＝，∵a+b＞c，∴sinA+cosA＞1．故選：C．【舉一反三3】各三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）sinα＝；（2）sin2α+cos2α＝；（3）tanα＝．【答案】（1）cos（90°﹣α）；（2）1；（3）【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系解答即可．（1）因?yàn)棣僚c（90°﹣α）互余，所以sin＝cos（90°﹣α）；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin2α+cos2α＝1；（3）因?yàn)閠anα?cotα＝1，可得tanα＝．故答案為：（1）cos（90°﹣α）；（2）1；（3）【舉一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則：（1）三邊之間的關(guān)系為（即勾股定理）；（2）兩個(gè)銳角之間的關(guān)系為；（3）邊角之間的關(guān)系為sinA＝，cosA＝，tanA＝．【答案】（1）a2+b2＝c2；（2）互余；（3）；；．【解析】（1）夠根據(jù)勾股定理可直接得到答案；（2）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可得答案；（3）根據(jù)銳角的三角函數(shù)定義可得答案．（1）三邊的關(guān)系（勾股定理）是：a2+b2＝c2；（2）兩個(gè)銳角之間的關(guān)系是互余；（3）sinA＝；scosA＝；tanA＝．故答案為：a2+b2＝c2；互余；；；．【舉一反三5】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）求證：sin2A+cos2A＝1；（2）若sinA+cosA＝，求sinA?cosA的值．【答案】（1）證明：∵sinA＝，cosA＝，∴sin2A+cos2A＝，∵∠C＝90°，∴根據(jù)勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1．（2）解：∵sinA+cosA＝，∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA?cosA＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sinA?cosA＝，∴sinA?cosA＝．【題型3】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求值【典型例題】計(jì)算sin49°﹣cos41°的結(jié)果為（）A.B.﹣C.1D.0【答案】D【解析】一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值．∵sin49°＝cos41°，∴sin49°﹣cos41°＝0．故選：D．【舉一反三1】下列計(jì)算正確的是（）A.tan70°?tan20°＝1B.cos70°+cos20°＝1C.sin70°＝2sin35°D.cos70°＝cos20°+cos50°【答案】A【解析】先對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)之間的等量關(guān)系，解出本題即可．A、∵tan70°?tan20°＝?＝1，故本選項(xiàng)正確．B、∵cos70°+cos20°＝sin20°+cos20°∵sin220°+cos220°＝1sin20°+cos20°≠sin220°+cos220°∴sin20°+cos20≠1，∴cos70°+cos20°≠1故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、∵sin70°＝sin（35°+35°），∴sin70°≠2sin35°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、∵cos70°＝cos（20°+50°），∴cos70°≠cos20°+cos50，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【舉一反三2】sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（）A.0B.1C.2D.2sin2θ【答案】B【解析】sin（90°﹣θ）＝cosθ；sin2θ+cos2θ＝1．sin2θ+sin2（90°﹣θ）＝sin2θ+cos2θ＝1．故選：B．【舉一反三3】已知Rt△ABC中，兩直角邊a＝7，b＝10，則tanB?sinA＝．【答案】【解析】根據(jù)直角三角函數(shù)的知識(shí)，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，從而解答本題．∵在Rt△ABC中，兩直角邊a＝7，b＝10∴斜邊c＝∴tanB＝，sinA＝∴tanB?sinA＝故答案為：【舉一反三4】計(jì)算：tan54°?tan36°＝．【答案】1．【解析】根據(jù)互余兩角的正切值乘積為1，即可解答．∵54°+36°＝90°，∴tan54°?tan36°＝1，故答案為：1．【舉一反三5】化簡(jiǎn)下列各式：（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4（2）．【答案】解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8；（2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ．【舉一反三6】計(jì)算：cos210°+cos220°+cos270°+cos280°．【答案】解：原式＝cos210°+cos220°+sin220°+sin210°＝sin210°+cos210°+sin220°+cos220°＝1+1＝2．【題型4】利用銳角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【典型例題】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，那么下列各式中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理就可以求出斜邊AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷正確的選項(xiàng)．如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理得：．A、因，故此選項(xiàng)不符合題意；B、因，故此選項(xiàng)不符合題意；C、因，故此選項(xiàng)符合題意；D、因，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【舉一反三1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，則sinB的值為（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】直接利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，∴設(shè)BC＝1，則AC＝2，故AB＝，則sinB＝＝．故選：C．【舉一反三2】一個(gè)直角三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和4，則較小銳角的正切值是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】先根據(jù)勾股定理求出第三邊，再根據(jù)正切函數(shù)的定義求出較小銳角的正切值．當(dāng)兩條邊長(zhǎng)為3和4是直角邊時(shí)，則較小銳角的正切值＝；當(dāng)3是直角邊，4是斜邊時(shí)，另一條邊＝＝，則較小銳角的正切值＝．故選：D．【舉一反三3】已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和6，則這個(gè)等腰三角形底角的正弦值為

．【答案】或．【解析】過(guò)點(diǎn)A作作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中先利用勾股定理求出AD，再利用邊角間關(guān)系求出底角的正弦．如圖1：當(dāng)腰為4，底為6時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∠B＝∠C．在直角△ABD中，．∴．如圖2：當(dāng)腰為6，底為4時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝2，∠B＝∠C．在直角△ABD中，．∴．故答案為：或．【舉一反三4】如圖，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AP于點(diǎn)B，再以點(diǎn)B為圓心、AB為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)C，畫(huà)射線AC，則∠A的余弦值為．【答案】．【解析】連接BC，過(guò)C作CH⊥AB于H，由題意知：AB＝AC＝2BC，令BC＝a，則AB＝2a，設(shè)BH＝x，則AH＝AB﹣BH＝2a﹣x，由勾股定理得到a2﹣x2＝（2a）2﹣（2a﹣x）2，求出x＝a，得到AH＝AB﹣BH＝a，即可求出osA的值．連接BC，過(guò)C作CH⊥AB于H，由題意知：AB＝AC＝2BC，令BC＝a，則AB＝AC＝2a，設(shè)BH＝x，則AH＝AB﹣BH＝2a﹣x，由勾股定理得：CH2＝BC2﹣BH2＝AC2﹣AH2，∴a2﹣x2＝（2a）2﹣（2a﹣x）2，∴x＝a，∴AH＝AB﹣BH＝a，∴cosA＝＝．故答案為：．【舉一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c．（1）如圖1，已知b＝24，c＝25，求∠A的正弦、余弦、正切值；（2）如圖2，已知tanA＝，求∠B的三角函數(shù)值．【答案】解：（1）∵b＝24，c＝25，a＝＝7，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝；（2）∵tanA＝，∴設(shè)a＝3k，則b＝2k，∴c＝k，∴sinB＝＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝．【題型5】應(yīng)用三角函數(shù)的定義解決實(shí)際問(wèn)題【典型例題】近年，長(zhǎng)春市城區(qū)內(nèi)的背街小巷都安裝上了路燈，為市民提供更多的出行方便．如圖所示，其中一款路燈的燈桿AC高9米，燈臂AB長(zhǎng)1米，燈臂與水平面的夾角為α，則燈臂的最高點(diǎn)B到地面的距離為（）A.（9+sinα）米B.（9+cosα）米C.（9+tanα）米D.9cosα米【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．如圖：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)G，由題意得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF，在Rt△ABE中，AB＝1米，∠BAE＝α，∴BE＝AB?sinα＝sinα（米），∴BG＝BE+EG＝（sinα+9）米，∴燈臂的最高點(diǎn)B到地面的距離為（9+sinα）米，故選：A．【舉一反三1】如圖，某校A與公路距離為3000米，又與該公路旁上的某車(chē)站D的距離為5000米，現(xiàn)要在公路邊建一個(gè)商店C，使之與該校A及車(chē)站D的距離相等，則商店與車(chē)站的距離約為（）A.875米B.3125米C.3500米D.3275米【答案】B【解析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可知C與該校A及車(chē)站D的距離相等，則點(diǎn)C在線段AD的垂直平分線上．依此解直角三角形即可．作AD的垂直平分線CE，作AF⊥CD，垂足為F．則AF＝3000，AD＝5000．根據(jù)勾股定理得DF＝4000．∴cos∠D＝＝．在直角△CED中，cos∠D＝＝＝，∵AD＝5000，∴DE＝2500．∴．解得CD＝3125（米）．故選：B．【舉一反三2】如圖，草坪邊上有兩條相互垂直的小路m，n，垂足為O，在草坪內(nèi)有一個(gè)圓形花壇，花壇邊緣上有A，B，C三棵小樹(shù)，為了估測(cè)圓形花壇的半徑，在小路上D，E，F(xiàn)三點(diǎn)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)均有兩棵樹(shù)與觀測(cè)點(diǎn)在同一直線上，從觀測(cè)點(diǎn)E沿著ED方向走5米到G點(diǎn)．測(cè)得∠BGD＝45°，OF＝18米，∠AFO＝90°，tan∠BDE＝tan∠BED＝，則樹(shù)B到小路m的距離為米，圓形花壇的半徑長(zhǎng)為米．【答案】15，．【解析】設(shè)圓型草坪的圓心為M，連接MB交AC于點(diǎn)R，延長(zhǎng)MB交ED于點(diǎn)T，連接CM，先通過(guò)直角三角形BTE求出BT，利用相似三角形的性質(zhì)求出CR，利用勾股定理解決問(wèn)題即可．設(shè)圓型草坪的圓心為M，連接MB交AC于點(diǎn)R，延長(zhǎng)MB交ED于點(diǎn)T，連接CM，∵A，F(xiàn)，C在同一條直線上，且∠AFO＝90°，m⊥n，∴AC∥ED，∴∠BED＝∠BCA，∠BDE＝∠CAB，∵tan∠BDE＝tan∠BED，∴∠BED＝∠BDE，∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC，∴＝，∴MT⊥AC，∴MT⊥ED，∵∠BGT＝45°，∴GT＝BT，∴在Rt△BET中，tan∠BET＝＝＝，∴4BT＝3BT+3EG，∴BT＝3EG＝3×5＝15（米），∴ET＝EG+GT＝5+15＝20（米），BR＝OF﹣BT＝18﹣15＝3（米），∵AB∥ED，∴△CBR∽△EBT，∴，∴CR＝?ET＝×20＝4（米），在Rt△CRM中，CM＝r，CM2＝CR2+MR2＝CR2+（CM﹣BR）2，r2＝42+（r﹣3）2，解得：r＝，故答案為：15，．【舉一反三3】某公園在草坪上的點(diǎn)O處安裝了一個(gè)如圖1所示的自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴灌裝置（該裝置噴射的范圍是一個(gè)以點(diǎn)O為圓心，以射程為半徑的圓形區(qū)域）．草坪的左右兩側(cè)有A，B兩個(gè)休息亭，在小亭A和B之間有一條長(zhǎng)40米的筆直人行步道．經(jīng)測(cè)量∠OAB＝20°，∠OBA＝40°．若將該自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴灌裝置的射程設(shè)置為9米，請(qǐng)判斷水是否會(huì)噴灑到人行步道AB上，并說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．【答案】解：水不會(huì)噴灑到人行步道AB上，理由：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，設(shè)CO＝x米，在Rt△ACO中，∠A＝20°，∴（米），在Rt△BCO中，∠B＝40°，∴（米），∵AC+BC＝AB，∴，解得：x＝10.08，∵10.08米＞9米，∴水不會(huì)噴灑到人行步道AB上．【題型6】特殊角的三角函數(shù)值【典型例題】cos60°的值是（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答．cos60°的值是，故選：A．【舉一反三1】tan45°的值是（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．tan45°＝1．故選：B．【舉一反三2】tan30°的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．tan30°＝．故選：D．【舉一反三3】cos45°的值為

A．B．C．D．【答案】【解析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論．cos45°＝．故答案為：．【舉一反三4】計(jì)算：＝．【答案】﹣1．【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可．【舉一反三5】小明利用如圖所示的量角器量出∠AOB的度數(shù)，求sin∠AOB的值.【答案】解：由題意得∠AOB＝60°，∴，【題型7】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系證明【典型例題】已知Rt△ABC中，∠C為直角，設(shè)x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，則x，y的大小關(guān)系為（）A.x＞yB.x＝y(tǒng)C.x＜yD.以上情況都有可能【答案】B【解析】先根據(jù)互為余角的三角函數(shù)之間的關(guān)系得出sinA＝cosB，sinB＝cosA，再由等式的性質(zhì)可知sinA+cosA＝cosB+sinB，從而得出正確選項(xiàng)．∵在Rt△ABC中，∠C為直角，∴∠A+∠B＝90°，∴sinA＝cosB，sinB＝cosA，∴sinA+cosA＝cosB+sinB，又∵x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，∴x＝y(tǒng)．故選：B．【舉一反三1】在△ABC中，若sinA＝sinB＝，則△ABC是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不能確定【答案】A【解析】根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值求出兩個(gè)銳角的度數(shù)后判斷△ABC的形狀．∵sinA＝sinB＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．∴△ABC是鈍角三角形．故選：A．【舉一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠A與∠B的關(guān)系是，sinA與cosB的關(guān)系是．因此sin（90°﹣A）＝；cos（90°﹣A）＝．【答案】互余，sinA＝cosB，cosA，sinA．【解析】根據(jù)余角的定義，一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠A與∠B的關(guān)系是互余，sinA與cosB的關(guān)系是sinA＝cosB．因此sin（90°﹣A）＝cosA；cos（90°﹣A）＝sinA，故答案為：互余，sinA＝cosB，cosA，sinA．【舉一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，證明sin2A+sin2B=1．【答案】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin2A+sin2B＝（）2+（）2＝+＝＝1．【舉一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB；（2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB；（3）通過(guò)（1）（2）我們不難發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)規(guī)律：sin2A+cos2A＝1，請(qǐng)你利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)證明這一規(guī)律（4）由（1）（2）的計(jì)算你還發(fā)現(xiàn)了什么？用語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)．（5）試解決下列問(wèn)題：①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值；②若，求sinα?cosα的值③∠A為銳角，化簡(jiǎn)【答案】解：（1）c＝＝5，∴sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝；（2）a＝＝3，∴sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝；（3）∵a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，即sin2A+cos2A＝1；（4）一個(gè)銳角的正弦值等于它余角的余弦值，一個(gè)銳角的余弦值等于它余角的正弦值；（5）①∵sinA＝cos（90°﹣A），∴原式＝sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°＝1+1+…+1+＝44+＝；②∵，∴（sinα+cosα）2＝，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝，∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝，∴sinα?cosα＝；③∵sin2A+cos2A＝1；∴原式＝＝＝＝|cosA﹣1|＝1﹣cosA．【題型8】特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算【典型例題】下列各式不正確的是（）A.cos30°＝sin60°B.tan45°＝2sin30°C.sin30°+cos30°＝1D.tan60°?cos60°＝sin60°【答案】C【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算得出答案．A、cos30°＝sin60°＝，正確，不合題意；B、tan45°＝2sin30°＝1，正確，不合題意；C、sin30°+cos30°＝+＝，故原式計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；D、tan60°?cos60°＝sin60°＝，正確，不合題意；故選：C．【舉一反三1】tan60°+3tan30°的值等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算即可．原式＝+3×＝+＝2，故選：B【舉一反三2】式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A.1﹣B.0C.﹣1D.﹣【答案】C【解析】把30°的余弦值、45°的正切值代入，計(jì)算即可．2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，故選：C．【舉一反三3】計(jì)算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝．【答案】．【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而得出答案．原式＝﹣（）2+1﹣2×＝﹣+1﹣＝．故答案為：．【舉一反三4】計(jì)算：（1）+2sin60°﹣3tan30°+tan45°（2）4sin30°﹣?cos45°+（π﹣3.14）0+tan60°．【答案】解：（1）原式＝+2×﹣3×+1＝1+﹣+1＝2；（2）原式＝4×﹣×+1+×＝2﹣1+1+3＝5．【題型9】利用銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算和證明【典型例題】若α為銳角，則sinα+cosα的值（）A.小于1B.等于1C.大于1D.以上答案都不對(duì)【答案】C【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得分式的加減，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得答案．sinα+cosα＝+＝＞1，故選：C．【舉一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則cosA?tanA的值為（）A.cotAB.C.D.sinA【答案】D【解析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．∵cosA＝，tanA＝，∴cosA?tanA＝×＝＝sinA．故選：D．【舉一反三2】在直角三角形中，由于斜邊長(zhǎng)大于直角邊長(zhǎng)且均為正數(shù)，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范圍分別是：，，．【答案】0＜，0，．【解析】根據(jù)銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，可得答案．sinA，cosA，tanA的取值范圍分別是0＜，0，，故答案為：0＜，0，．【舉一反三3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，0）．將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到正方形ODEF，DE與邊BC交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M與B、C不重合．（1）請(qǐng)判斷線段CD與OM的位置關(guān)系，其位置關(guān)系是；（2）試用含m和α的代數(shù)式表示線段CM的長(zhǎng)：；α的取值范圍是．【答案】（1）垂直（2）m?tan0°＜α＜90°【解析】解：（1）連接CD，OM．∵OC＝OD，又OM是公共邊，∠OCM＝∠ODM＝90°，∴Rt△≌Rt△DOM（HL），∴∠＝∠DOM，又∵OC＝OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠＝∠DOM，∴∠＝，在Rt△中，CM＝OC?tan∠＝m?tan；因?yàn)镺D與OM不能重合，且只能在OC右邊，故可得α的取值范圍是0°＜α＜90°．【舉一反三4】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝．（1）求sinA的值．（2）你能通過(guò)sinA的值求sin∠CBD的值嗎？若能，請(qǐng)求出sin∠CBD的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，sinA＝＝＝；（2）能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴sin∠CBD＝sinA＝．【舉一反三5】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求：（1）sinA，cosB．（2）cosA，sinB．（3）觀察（1）（2）中的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1）根據(jù)勾股定理可知：AB＝，∴sinA＝＝，cosB＝＝．（2）cosA＝＝，sinB＝＝．（3）由（1）、（2）可知：sinA＝cosB，cosA＝sinB．【題型10】利用三角函數(shù)定義求網(wǎng)格中的三角函數(shù)值【典型例題】如圖，四邊形ABCD為菱形，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】答題時(shí)首先知道菱形的對(duì)角線互相垂直，然后由銳角三角函數(shù)的定義，求得．∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴＝．故選A．【舉一反三1】如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOC的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】把CD平移到BM，過(guò)M作MH⊥AB于H，得到∠ABM＝∠AOC，由勾股定理求出AB＝，BM＝2，由三角形面積公式得到MH＝5×4，求出MH＝，即可求出sin∠ABM＝，于是得到sin∠AOC＝．把CD平移到BM，過(guò)M作MH⊥AB于H，∴∠ABM＝∠AOC，由勾股定理得：AB＝＝，BM＝＝2，∵△ABM的面積＝AB?MH＝AM?BN，∴MH＝5×4，∴MH＝，∴sin∠ABM＝＝，∴sin∠AOC＝sin∠ABM＝．故選：D．【舉一反三2】如圖，在8×5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，構(gòu)造出直角三角形即可解決問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為M，因?yàn)槊總€(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則由勾股定理得，AM＝，AB＝．在Rt△ABM中，sinB＝．故選：A．【舉一反三3】正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為．【答案】【解析】找出OB邊上的格點(diǎn)C，連接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的長(zhǎng)度，再利用勾股定理逆定理證明△AOC是直角三角形，然后根據(jù)余弦＝計(jì)算即可得解．如圖，C為OB邊上的格點(diǎn)，連接AC，根據(jù)勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故答案為：．【舉一反三4】如圖，房間里有一只老鼠，門(mén)外蹲著一只小貓（小貓位置不變），如果每塊正方形地磚的邊長(zhǎng)為1米，求小貓觀察老鼠最大視角的正弦值．（不計(jì)墻的厚度）【答案】解：如圖：連接AE并延長(zhǎng)，連接AF并延長(zhǎng)，連接BD，則小貓觀察老鼠最大視角為：∠BAD，由題意得：AB2＝62+32＝45，BD2＝22+12＝5，AD2＝52+52＝50，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ABD＝90°，∴sin∠BAD＝＝＝，【舉一反三5】如圖，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，將方格紙中的△ABC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到對(duì)應(yīng)△A′B′C′．（1）請(qǐng)你在方格紙中畫(huà)出△A′B′C′；（2）求tan∠ABC．【答案】解：（1）如圖所示：（2）tan∠ABC＝．【題型11】三角函數(shù)的定義【典型例題】在Rt△ABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的余弦值（）A.擴(kuò)大3倍B.擴(kuò)大9倍C.保持不變D.縮小3倍【答案】C【解析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，可得答案．Rt△ABC中，cosA＝，Rt△ABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的余弦，cosA＝＝．故選：C．【舉一反三1】sinα表示的是（）A.一個(gè)角B.一個(gè)角的度數(shù)C.線段的長(zhǎng)度D.一個(gè)比值【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解答．sinα表示三角函數(shù)值，是個(gè)比值．故選：D．【舉一反三2】我們把直角三角形中一個(gè)銳角的邊與邊的比叫做這個(gè)銳角的正切，銳角A的正切記做，【答案】對(duì)；鄰；tanA【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．我們把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切，銳角A的正切記做tanA；故答案為：對(duì)；鄰；tanA【舉一反三3】如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα＝＝，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問(wèn)題：（1）ctan30°＝；（2）如圖，已知tanA＝，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，∴BC＝AB，∴AC＝＝＝AB，∴ctan30°＝＝．故答案為：；（2）∵tanA＝，∴設(shè)BC＝3x，AC＝4x，∴ctanA＝＝＝．【舉一反三4】閱讀課本本課時(shí)開(kāi)始至“例1”前的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題（閱讀時(shí)注意：直角三角形的三邊之間的關(guān)系，兩銳角之間的關(guān)系，邊角之間的關(guān)系）（1）直角三角形中，除直角外有幾個(gè)元素？它們分別是哪些元素？（2）直角三角形兩個(gè)銳角有什么數(shù)量關(guān)系？三邊之間有什么關(guān)系？（3）sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．【答案】（1）直角三角形中，除直角外還有5個(gè)元素，它們分別是三條邊a，b，c，兩個(gè)銳角∠A和∠B．（2）直角三角形的兩個(gè)銳角的數(shù)量關(guān)系為：∠A+∠B＝90°；三邊符合勾股定理：a2+b2＝c2．（3）∠A的對(duì)邊為a，斜邊為c，∠A的鄰邊為b，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝故答案為：，，．【題型12】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求三角函數(shù)值【典型例題】已知0°＜A＜90°，那么cos（90°﹣A）等于（）A.cosAB.sin（90°+A）C.sinAD.sin（90°﹣A）【答案】C【解析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解．如圖，△ABC中，∠C＝90°．則∠A+∠B＝90°．∵cos（90°﹣A）＝cosB＝＝sinA．故選：C．【舉一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，若，則cosB的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出設(shè)BC＝x，AC＝3x，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AB＝x，進(jìn)而然后根據(jù)余弦的定義得出答案．∵∠C＝90°，tanA＝，∴＝，設(shè)BC＝x，AC＝3x，故AB＝＝x，則cosB＝＝＝．故選：D．【舉一反三2】若sin65°＝，則cos25°＝．【答案】【解析】根據(jù)互余兩銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．∵65°+25°＝90°，∴cos25°＝sin65°＝，故答案為：．【舉一反三3】在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，則cosA＝，tanB＝．【答案】；2．【解析】根據(jù)正弦的定義得到sinC＝＝，則可設(shè)BC＝x，則AB＝3x，再利用勾股定理計(jì)算出AC，然后根據(jù)余弦和正切的定義求解．如圖，∵∠C＝90°，sinA＝，∴sinC＝＝，設(shè)BC＝x，則AB＝3x，∴AC＝＝2x，∴cosA＝＝＝，tanB＝＝＝2．故答案為；2．【舉一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，求tanA的值．【答案】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，得sinA＝cosB＝＝，設(shè)BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得AC＝＝4x，由正切等于對(duì)邊比鄰邊，得tanA＝＝＝．【舉一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三個(gè)三角函數(shù)的值．【答案】解：∵∠A+∠B＝90°，∴cos∠B＝sin∠A＝，sin∠B＝＝，tan∠B＝＝＝．【題型13】利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系求角【典型例題】已知tanα?tan20°＝1且α為銳角，那么α等于（）A.20°B.70°C.（）°D.（）°【答案】B【解析】互為余角的兩個(gè)角的正切值互為倒數(shù)．∵tanα?tan20°＝1∴α＝90°﹣20°＝70°故選：B．【舉一反三1】已知銳角α，且sinα＝cos38°，則α＝（）A.38°B.62°C.52°D.72°【答案】C【解析】直接利用一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A），即可得出答案．∵銳角α，且sinα＝cos38°，sinA＝cos（90°﹣∠A），∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°，∴90°﹣α＝38°，解得：α＝52°．故選：C．【舉一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分別是∠A、∠B的對(duì)邊，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于．【答案】2:3【解析】根據(jù)正弦的定義得到sinA＝，sinB＝，再由sinA：sinB＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分別是∠A、∠B的對(duì)邊，c為∠C對(duì)的邊，∴sinA＝，sinB＝，∵sinA：sinB＝2：3，∴：＝2：3，∴a：b＝2：3．故答案為2：3．【舉一反三3】cos51°10′＝sin．【答案】38°50′【解析】根據(jù)一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，可知所求角的度數(shù)為90°﹣51°10′，計(jì)算即可得出結(jié)果．∵90°﹣51°10′＝38°50′，∴cos51°10′＝sin38°50′．故答案為：38°50′．【舉一反三4】若tanα?tan50°＝1，求銳角α的度數(shù)．【答案】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°，∵tanA＝，tanB＝，∴tanA?tanB＝×＝1，∴∠A+∠B＝90°，∵tanα?tan50°＝1，∴α＝90°﹣50°＝40°．【舉一反三5】已知銳角α滿(mǎn)足cosα＝sin55°，求α的值．【答案】解：∵cosα＝sin55°，∴α+55°＝90°，即：α＝35°，【題型14】利用三角函數(shù)定義求圖形中的三角函數(shù)值【典型例題】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以求得CD的長(zhǎng)，然后即可求得tanB的值．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝8，BD＝4，∴，解得CD＝4，∴tanB＝＝＝，故選：D．【舉一反三1】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，﹣4），則tan∠ABO等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】先得出OAOB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義再求tan∠ABO即可．∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，﹣4），∴OA＝3，OB＝4．∴tan∠ABO＝，故選：A．【舉一反三2】△ABC中，a＝15，b＝17，∠A為定值，若滿(mǎn)足上述條件的△ABC的∠C唯一存在，則tanC的值是．【答案】【解析】根據(jù)∠A為定值，又a＜b，那么∠A必為銳角，要使∠C有唯一值，則以點(diǎn)C為圓心，15為半徑的圓與AB相切．得到直角△ABC，然后求出∠C的正切．∵a＜b，∠A為定值，∴∠A為銳角．要使∠C有唯一的值，則以點(diǎn)C為圓心，15為半徑畫(huà)的弧與AB相切．如圖所示：得到直角△ABC，AC＝17，BC＝15，則：AB＝＝8，∴tanC＝＝．故答案為：．【舉一反三3】如圖，等腰△ABC的頂角∠A＝30°，腰長(zhǎng)AB＝2，BD為AC邊上的高，根據(jù)已知條件，可求出tan15°的值為．【答案】【解析】根據(jù)題意得∠CBD＝15°．在Rt△ABD中，根據(jù)∠A＝30°，AB＝2，可求出BD和AD；因?yàn)锳B＝AC＝2，所以可以求出CD．運(yùn)用正切函數(shù)定義求解．如圖所示，∠ABC＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∠ABD＝90°﹣30°＝60°，∴∠DBC＝15°．∵∠A＝30°，∴BD＝AB＝×2＝1，AD＝＝，DC＝AC﹣AD＝2﹣．∴tan15°＝＝2﹣．故答案為：2﹣【舉一反三4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求：sinB的值．【答案】解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3，在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝．【題型15】利用銳角三角函數(shù)的定義求邊長(zhǎng)【典型例題】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，則AC等于（）A.6B.16C.12D.4【答案】B【解析】根據(jù)正切＝，即可求解．如圖：∵，BC＝8，∴，故選：B．【舉一反三1】在Rt△ABC中，已知sinA＝，則∠A的對(duì)邊為（）A.3B.4C.5D.無(wú)法確定【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可作出判斷．sinA表示∠A的對(duì)邊與斜邊的比值，無(wú)法確定對(duì)邊和斜邊的具體長(zhǎng)度．故選：D．【舉一反三2】小聰有一塊含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器來(lái)測(cè)量較短直角邊的長(zhǎng)度，于是他采用如圖的方法，小聰發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的三角板讀數(shù)為12cm，點(diǎn)B處的量角器的讀數(shù)為74°和106°，由此可知三角板的較短直角邊的長(zhǎng)度為cm．（參考數(shù)據(jù)：tan37°＝0.75）【答案】9【解析】如圖所示，連接圓心O和點(diǎn)B，則OA＝OB，由題可知∠BOC＝2∠CAB＝74°．在直角三角形ABC中運(yùn)用三角函數(shù)定義求出BC．如圖所示，連接圓心O和點(diǎn)B，則OA＝OB．由意題可知∠BOC＝2∠CAB＝74°，∴在直角三角形ABC中，∠CAB＝37°．∵AB＝12，tan∠BAC＝，∴BC＝ABtan37°＝12×0.75＝9．∴短直角邊為9cm．【舉一反三3】如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m．（1）用含α和m的式子表示BC．（用兩種方法）（2）用含α和m的式子表示AB．【答案】解：（1）方法一：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，∴∠A＝90°﹣α∴，即：，∴BC＝mtan（90°﹣α）；方法二：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，∴tan∠B＝，∴tanα＝，∴BC＝．（2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，∴sinα＝，∴AB＝．【題型16】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求三角函數(shù)值【典型例題】已知∠A是銳角，，則tanA的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】首先利用同角的正弦值和余弦值的關(guān)系求出∠A的余弦值，然后根據(jù)tanA＝來(lái)得到所求的結(jié)論．∵∠A是銳角，sinA＝，且sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝，∴tanA＝＝＝．故選：B．【舉一反三1】x為銳角，，則cosx的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：sin2x+cos2x＝1解答即可．∵sin2x+cos2x＝1，，∴cosx＝＝＝．故選：B．【舉一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)已知先設(shè)BC＝2k，AB＝3k，然后利用勾股定理求出AC，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．∵∠C＝90°，sinA＝，∴＝，∴設(shè)BC＝2k，AB＝3k，∴AC＝＝＝k，∴tanA＝＝＝，故選：D．【舉一反三3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，點(diǎn)D在BC邊上，且∠ADC＝45°，DC＝6，則tan∠BAD＝．【答案】【解析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得AB的長(zhǎng)，然后在直角△BDE中，利用三角函數(shù)求得DE，BE的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解．作DE⊥AB于點(diǎn)E．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝＝∴設(shè)BC＝4m，則AB＝5m，AC＝3m∵在Rt△ADC中，∠C＝90°，∠ADC＝45°∴CD＝AC＝3m．∵DC＝6，∴3m＝6解得：m＝2∴AB＝10；在直角△BDE中，，∴BC＝8，∴BD＝2，∴sinB＝∴BE＝DE＝BD?sinB＝∴AE＝10﹣＝∴tan∠BAD＝＝故答案為：．故答案為：【舉一反三4】已知，銳角α的正切值是3，則它的余弦值是．【答案】．【解析】根據(jù)題意設(shè)銳角α的鄰邊為a，則對(duì)邊為3a，求出斜邊長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦等于鄰邊與斜邊的比計(jì)算．設(shè)銳角α的鄰邊為a，則對(duì)邊為3a，∴斜邊為，∴，故答案為：．【舉一反三5】（1）已知∠A是銳角，sinA＝，求∠A的其他三角函數(shù)值；（2）已知∠A是銳角，tanA＝．求∠A的其他三角函數(shù)值．【答案】（1）∵sinA＝，∴＝，即c＝5a．∴b＝＝2a．∴cosA＝＝＝，tanA＝＝＝．（2）∵tanA＝，∴＝，即a＝b．∴c＝＝b，∴sinA＝＝＝，cosA＝＝．【題型17】特殊角的三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】一束陽(yáng)光射在窗子AB上，此時(shí)光與水平線夾角為30°，若窗高AB＝1.8米，要想將光線全部遮擋住，不能射到窗子AB上，則擋板AC（垂直于AB）的長(zhǎng)最少應(yīng)為（）A.米B.米C.3.6米D.1.8米【答案】A【解析】根據(jù)已知作出輔助線，再利用＝tan30°得出AC的長(zhǎng)即可．如圖所示：設(shè)光線為CB，作DB⊥AB于點(diǎn)B，∵光與水平線夾角為30°，∴∠CBD＝30°，∵AC∥BD，∴∠ACB＝30°，∵AB＝1.8米，∴＝tan30°，∴AC＝＝＝1.8＝．故選：A．【舉一反三1】如圖，是一個(gè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的部分框架圖，已知A、B之間的距離為300m，則點(diǎn)M到直線AB的距離（結(jié)果帶根號(hào)）（）A.600（3﹣）B.150（3+）C.120（3+）D.150（3﹣）【答案】D【解析】首先過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，利用平行線的性質(zhì)得出：∠BMC＝45°，∠AMC＝30°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系用未知數(shù)表示出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，由題意可得出：∠BMC＝45°，∠AMC＝30°，∴BC＝MC，設(shè)BC＝MC＝x，則tan30°＝，∴AC＝x，∴BC+AC＝x+x＝300，解得：x＝150（3﹣）．故選：D．【舉一反三2】如圖，兩條帶子，帶子a的寬度為2cm，帶子b的寬度為1cm，它們相交成α角，如果重疊部分的面積為4cm，則α的度數(shù)為度．【答案】30【解析】如圖所示，重疊部分為一個(gè)平行四邊形ABCD，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，根據(jù)題意得到AE＝1，AF＝2，∵平行四邊形ABCD面積＝4，由此可以求出BC＝4，CD＝AB＝2．然后在直角三角形ABE中，根據(jù)sinB＝＝可以求出∠B＝30°，由此得解．如圖所示，根據(jù)題意得重疊部分為一個(gè)平行四邊形ABCD．作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，則AE＝1，AF＝2．∵平行四邊形ABCD面積＝底×高＝4，∴BC＝4，CD＝AB＝2．在直角三角形ABE中，sinB＝＝，∴∠B＝30°，即α＝30°．【舉一反三3】用一副如圖1所示的七巧板，拼出如圖2所示中間有一個(gè)空白正方形的“風(fēng)車(chē)圖”，則圖2中tan∠ABC＝．【答案】3．【解析】連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，設(shè)AK＝a，則EK＝EC＝EF＝KG＝AN＝BG＝a，證明BG垂直平分NF，可得B，G，K在同一條直線上，根據(jù)勾股定理可得AB＝a，由∠C＝∠HAC＝45°，可得AH⊥BC，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果．如圖，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，設(shè)AK＝a，則EK＝EC＝EF＝KG＝AN＝BG＝a，∵BN＝BF，NG＝FG，∴BG垂直平分NF，∵GK⊥AE，∴B，G，K在同一條直線上，∴AB＝a，∵∠C＝∠HAC＝45°，∴∠AHC＝90°，∴AH⊥BC，∴AH＝AC＝a，∴BH＝＝a，∴tan∠ABC＝＝＝3．故答案為：3．【舉一反三4】小亮周末到公園散步，當(dāng)他沿著一段平坦的直線跑道行走時(shí)，前方出現(xiàn)一棵樹(shù)AC和一棟樓房BD，如圖，假設(shè)小亮行走到F處時(shí)正好通過(guò)樹(shù)頂C看到樓房的E處，此時(shí)∠BFE＝30°，已知樹(shù)高AC＝10米，樓房BD＝30米，E處離地面25米．（1）求樹(shù)與樓房之間的距離AB的長(zhǎng)；（2）小亮再向前走多少米從樹(shù)頂剛好看不到樓房BD？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】解：（1）由題意得：BE＝25米，∠DBF＝90°，在Rt△ACF中，∠B