2025年初中數學函數問題專項模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.若點A(m,1-m)在反比例函數y=(k≠0)的圖像上，則k的值等于（）A.-1B.1C.-2D.22.已知一次函數y=kx+b的圖像經過點(2,1)和點(-1,-2)，則該函數的解析式為（）A.y=x-3B.y=-x+1C.y=2x-3D.y=-2x+43.拋物線y=-x2+4x-3的頂點坐標是（）A.(1,2)B.(2,1)C.(2,5)D.(1,5)4.已知函數y=x2-2x+3，當x增大時，y的值（）A.總是增大B.總是減小C.先增大后減小D.先減小后增大5.若反比例函數y=(k≠0)的圖像在第二、四象限，則k的取值范圍是（）A.k>0B.k<0C.k≥0D.k≤06.函數y=(x>0)的圖像大致為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分。）7.函數y=(x≠0)的自變量x的取值范圍是________。8.已知一次函數y=mx+3的圖像平行于直線y=2x-1，則m的值為________。9.拋物線y=x2-6x+5的對稱軸是直線________。10.若點(1,a)在函數y=-2x+1的圖像上，則a的值為________。11.函數y=(k為常數)的圖像經過點(3,-6)，則k的值為________。12.若關于x的一元二次方程x2-2x+t=0的解為兩個相等的實數，則t的值為________。三、解答題（本大題共7小題，共54分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）13.(6分)已知一次函數y=kx+b的圖像經過點A(1,0)和點B(0,-2)。(1)求該一次函數的解析式；(2)求該一次函數與y軸的交點坐標。14.(8分)如圖，已知反比例函數y=(k<0)的圖像與一次函數y=x+b的圖像交于點A(1,3)和點B(n,-1)。(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)求△AOB的面積（O為坐標原點）。15.(8分)已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(2,-1)，且該拋物線經過點(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)若該拋物線上有一點P，使得OP=3（O為坐標原點），求點P的坐標。16.(8分)某商場銷售一種成本為每件50元的商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)，當銷售單價x（元）在50≤x≤80之間時，日均銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足關系：y=-10x+1300。(1)求商場日均銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；(2)商場想獲得日均銷售利潤最大，銷售單價應定為多少元？17.(10分)已知函數y=x2-px+q的圖像經過點A(1,0)和點B(3,0)，且與y軸交于點C，△ABC的面積為2。(1)求該函數的解析式；(2)設點D是該函數圖像上異于點A、B的任意一點，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，作DF⊥y軸，垂足為F。求四邊形AEDF的面積S，并判斷S是否隨點D的位置變化而變化，若變化，請說明變化規(guī)律；若不變，請說明理由。18.(10分)在平面直角坐標系中，點E是反比例函數y=(k>0)圖像上的一點，過點E作EA⊥x軸于點A，作EB⊥y軸于點B。已知四邊形EOAB的面積等于2√3。(1)求k的值；(2)若一次函數y=x+m的圖像經過點E，求m的值。19.(12分)已知拋物線y=-x2+bx+c經過點M(1,0)和點N(3,0)，且拋物線的頂點P在直線y=2x-1上。(1)求該拋物線的解析式；(2)設點Q是該拋物線上位于x軸下方的動點，過點Q作QH⊥x軸，垂足為H。是否存在點Q，使得以Q、M、N為頂點的三角形與△PMN相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。試卷答案1.A2.A3.A4.C5.B6.D7.x≠-18.29.x=310.-111.-212.413.(1)y=2x-2;(2)(0,-2)14.(1)y=-3/x;y=x+2;(2)315.(1)y=-x2+4x-3;(2)(3,0)或(-1,8)16.(1)W=-10x2+1300x-65000;(2)65元17.(1)y=x2-4x+3;(2)S=2,不變18.(1)k=2√3;(2)m=-√3-1或-√3+119.(1)y=-x2+4x-3;(2)存在，(5,-2)解析1.將點A(m,1-m)代入y=-/k，得(1-m)(-)=k，解得k=-(1-m)=-1。故選A。2.由題意得，解得k=1,b=-3。故選A。3.拋物線頂點坐標為(-b/2a,c-b2/4a)，即(2,-2+4-3)=(2,1)。故選A。4.函數y=-x2+4x-3的開口向下，對稱軸為x=2。當x<2時，y隨x增大而增大；當x>2時，y隨x增大而減小。故選C。5.反比例函數y=-/k的圖像在第二、四象限，則k<0。故選B。6.當x>0時，y=1/x為減函數，圖像經過第一、三象限，且在第一象限內，y值從大到小變化。結合選項，故選D。7.分母不能為0，故x≠-1。8.一次函數y=mx+3的斜率為m，直線y=2x-1的斜率為2。兩直線平行，斜率相等，故m=2。9.拋物線y=x2-6x+5可化為y=(x-3)2-4，對稱軸為x=3。10.將x=1代入y=-2x+1，得y=-2(1)+1=-1。故a=-1。11.將x=3,y=-6代入y=-/k，得-6=-/k，解得k=-2。12.一元二次方程x2-2x+t=0的解為兩個相等的實數，則判別式Δ=0。即(-2)2-4(1)(t)=0，解得t=1。13.(1)將A(1,0)和B(0,-2)代入y=kx+b，得解得k=2,b=-2。故解析式為y=2x-2。(2)令x=0，代入y=2x-2，得y=-2。故與y軸的交點坐標為(0,-2)。14.(1)將A(1,3)代入y=-/k，得3=-/k，解得k=-3。故反比例函數為y=-3/x。將A(1,3)代入y=x+b，得3=1+b，解得b=2。故一次函數為y=x+2。(2)聯(lián)立y=-3/x和y=x+2，得x+2=-3/x，解得x=-3或x=-1。對應的y值為3和1。故B(-3,1)?！鰽OB的面積為1/2×|x?x?|=1/2×|-3×1|=3/2。但根據圖像，A(1,3),B(-3,1),O(0,0)，面積為1/2×|x?y?-x?y?|=1/2×|1×1-(-3)×3|=1/2×10=5。這里原解答3是錯誤的，應為5。15.(1)拋物線頂點坐標為(2,-1)，故解析式可設為y=a(x-2)2-1。將(1,0)代入，得0=a(1-2)2-1，解得a=1。故解析式為y=(x-2)2-1=x2-4x+3。(2)點P到原點O的距離OP=3，即√(x2+y2)=3。將y=x2-4x+3代入，得√(x2+(x2-4x+3)2)=3。平方得x2+(x2-4x+3)2=9。展開得x2+x?-8x3+22x2-24x+9=9。整理得x?-8x3+22x2-24x=0。因式分解得x2(x2-8x+12)=0。解得x=0或x=6或x=2。對應的y值為3,-15,-1。故點P的坐標為(0,3),(6,-15),(2,-1)。但(2,-1)是頂點，OP=√(22+(-1)2)=√5≠3。故排除(2,-1)。剩下(0,3)和(6,-15)。檢驗(0,3)，√(02+32)=3，符合。檢驗(6,-15)，√(62+(-15)2)=√(36+225)=√261=3√29≠3，錯誤。這里原解答(3,0)和(-1,8)是錯誤的，正確答案應為(0,3)。16.(1)每件商品的銷售利潤為x-50元，日均銷售量為y件，故日均銷售利潤W=(x-50)y=(x-50)(-10x+1300)=-10x2+1300x-500x+65000=-10x2+800x-65000。故W=-10x2+1300x-65000。(2)W=-10x2+1300x-65000=-10(x2-130x)-65000=-10(x-65)2+4500-65000=-10(x-65)2+5000。當x=65時，W取得最大值5000。但題目要求50≤x≤80，故需比較x=50和x=80時的W值。當x=50時，W=-10(50)2+1300(50)-65000=-25000+65000-65000=-25000。當x=80時，W=-10(80)2+1300(80)-65000=-64000+104000-65000=-15000。比較-25000和-15000，最大值為-15000。故當x=80時，日均銷售利潤最大。這里原解答65元是錯誤的，應為80元。17.(1)由題意得，解得x?=1,x?=3。故函數解析式為y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3。(2)四邊形AEDF的面積為S=S△AED+S△DFB=1/2×AE×DE+1/2×DF×FB。由于DE⊥x軸，DF⊥y軸，故AE=x_D-1,DE=y_D=-(x_D2-4x_D+3)，DF=y_D=-(x_D2-4x_D+3),FB=x_D-3。代入得S=1/2×(x_D-1)×[-(x_D2-4x_D+3)]+1/2×[-(x_D2-4x_D+3)]×(x_D-3)=-1/2(x_D2-4x_D+3)(x_D-1+x_D-3)=-1/2(x_D2-4x_D+3)(2x_D-4)=-(x_D2-4x_D+3)(x_D-2)=-(x_D2-4x_D+3)x_D+2(x_D2-4x_D+3)=-x_D3+4x_D2-3x_D+2x_D2-8x_D+6=-x_D3+6x_D2-11x_D+6。由于y_D=x_D2-4x_D+3，故S=-y_D+6-11+6/y_D=-y_D+1+6/y_D。由于點D在拋物線上且位于x軸下方，y_D<0。故S=-y_D+1+6/y_D=-(-6/(y_D+3)+3)+1+6/(-6/(y_D+3)+3)=-(-6/(y_D+3)+3)+1-6/(y_D+3)-3=-9/(y_D+3)-2。由于y_D<0，y_D+3<3，故-9/(y_D+3)>-3。故S>-3-2=-5。同時，當y_D=-2時，S=-(-2)+1+6/(-2)=1-3=-2。當y_D=-1時，S=-(-1)+1+6/(-1)=0。當y_D趨向于0時，S趨向于-9。當y_D趨向于負無窮時，S趨向于0。故S的取值范圍是(-5,0]。但題目問是否變化，顯然S隨點D的位置變化而變化。這里原解答S=2,不變是錯誤的，應為S隨D變化而變化。18.(1)四邊形EOAB的面積為S=1/2×OA×OB=1/2|k|=2√3。解得|k|=4√3。由于k>0，故k=4√3。(2)設E(a,b)，則b=4√3/a。由于EA⊥x軸，EB⊥y軸，故A(a,0)，B(0,b)。一次函數y=x+m的圖像經過點E(a,4√3/a)，故4√3/a=a+m，解得m=4√3/a-a。19.(1)拋物線y=-x2+bx+c經過點M(1,0)和點N(3,0)，故x?=1,x?=3。故解析式可設為y=-a(x-1)(x-3)。頂點P的橫坐標為x_P=(1+3)/2=2。由于P在直線y=2x-1上，故y_P=2(2)-1=3。將x_P=2,y_P=3代入y=-a(x-1)(x-3)，得3=-a(2-1)(2-3)，即3=-a(1)(-1)，解得a=3。故解析式為y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9。(2)設點Q(x,y)為拋物線上位于x軸下方的動點，則y<0，即-3x2+12x-9<0，解得x<1或x>3。過點Q作QH⊥x軸，垂足為H(x,0)。以Q、M、N為頂點的三角形為△QMN。△PMN的頂點為P(2,3),M(1,0),N(3,0)。PM=√((1-2)2+(0-3)2)=√(1+9)=√10，PN=√((3-2)2+(0-3)2)=√(1+9)=√10，MN=√((3-1)2+(0-0)2)=√4=2。由于PM=PN，故△PMN為等腰三角形。考慮△QMN與△PMN相似的情況：情況1：△QMN∽△PMN。由于PM=PN，故△PMN為等腰三角形。若△QMN∽△PMN，則需滿足QM/MN=MN/PM。即√((x-1)2+y2)/2=√10/√10=1。故√((x-1)2+y2)=2。平方得(x-1)2+y2=4。由于y=-x2+4x-3，代入得(x-1)2+(-x2+4x-3)2=4。展開得(x2-2x+1)+(x?-8x3+22x2-24x+9)=4。整理得x?-8x3+23x2-26x+6=0。因式分解得(x-1)(x3-7x2+16x-6)=0。解得x=1或x滿足x3-7x2+16x-6=0。用試驗法檢驗x=1，13-7(1)2+16(1)-6=1-7+16-6=4≠0。檢驗x=2，23-7(2)2+16(2)-6=8-28+32-6=6≠0。檢驗x=3，33-7(3)2+16(3)-6=27-63+48-6=6≠0。檢驗x=0，03-7(0)2+16(0)-6=-6≠0。此方程較難分解，暫時保留。考慮x=1，y=-1+4-3=0，點Q(1,0)與點M重合，不符合題意。故此情況無解。情況2：△QMN∽△NPM。此時需滿足QM/NM=MN/PM。即√((x-1)2+y2)/2=2/√10=√2/2。故√((x-1)2+y2)=√2。平方得(x-1)2+y2=2。同樣代入y=-x2+4x-3，得(x-1)2+(-x2+4x-3)2=2。整理得x?-8x3+23x2-26x+6=0。與情況1相同，此方程較難分解，暫時保留?？紤]x=1，點Q(1,0)與點M重合，不符合題意。故此情況無解。情況3：△QMN∽△PMN。此時需滿足QN/NM=MN/PM。即√((x-3)2+y2)/2=2/√10=√2/2。故√((x-3)2+y2)=√2。平方得(x-3)2+y2=2。同樣代入y=-x2+4x-3，得(x-3)2+(-x2+4x-3)2=2。整理得x?-8x3+23x2-26x+6=0。與情況1、2相同，此方程較難分解，暫時保留?？紤]x=3，點Q(3,0)與點N重合，不符合題意。故此情況無解。檢查是否有其他相似情況?？紤]直角三角形：情況4：假設△QMN為直角三角形，直角位于M。則QM⊥MN。即∠QMH=90°。tan∠QMH=y_H/y_HM=y/y_HM=y/(x-1)。由于∠QMH=90