圖的最大虧格：理論、算法與應(yīng)用新探一、引言1.1研究背景與意義圖論作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支，在過去幾十年中取得了飛速的發(fā)展。它以圖為研究對(duì)象，通過對(duì)節(jié)點(diǎn)和邊組成的圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，揭示出各種復(fù)雜系統(tǒng)背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。圖論的應(yīng)用范圍極其廣泛，涵蓋了物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，為解決這些領(lǐng)域中的實(shí)際問題提供了強(qiáng)大的工具。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，圖論被用于算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)分析等方面；在生物學(xué)中，圖論可用于研究生物分子結(jié)構(gòu)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)等。最大虧格作為圖論中的一個(gè)核心概念，對(duì)于理解圖的拓?fù)湫再|(zhì)和結(jié)構(gòu)特征具有重要意義。虧格是圖的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，它描述了圖嵌入曲面時(shí)所需的最小“洞”的數(shù)量。最大虧格則是指一個(gè)圖在所有可能的嵌入方式中，所能達(dá)到的最大虧格值。簡單來說，最大虧格反映了圖在拓?fù)淇臻g中的復(fù)雜程度，最大虧格越大，表明圖的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，越難以被簡單的曲面所容納。在一個(gè)具有復(fù)雜連接關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)中，其對(duì)應(yīng)的圖的最大虧格可能較大，這意味著該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，需要更多的“空間”來進(jìn)行合理的布局和組織。最大虧格的研究對(duì)于網(wǎng)絡(luò)、電路、通信等領(lǐng)域具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中，了解網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最大虧格可以幫助工程師優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)布局，提高網(wǎng)絡(luò)的可靠性和性能。當(dāng)設(shè)計(jì)一個(gè)通信網(wǎng)絡(luò)時(shí)，如果能夠確定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖畲筇澑?，就可以合理安排?jié)點(diǎn)和鏈路，避免出現(xiàn)冗余連接和不必要的復(fù)雜性，從而降低建設(shè)成本，提高通信效率。在電路設(shè)計(jì)中，最大虧格的概念可以用于優(yōu)化電路板的布線，減少線路之間的干擾，提高電路的穩(wěn)定性和可靠性。在通信領(lǐng)域，研究通信網(wǎng)絡(luò)的最大虧格有助于設(shè)計(jì)更高效的路由算法，提高信息傳輸?shù)乃俣群蜏?zhǔn)確性。通過分析網(wǎng)絡(luò)的最大虧格，可以找到最優(yōu)的路徑選擇策略，避免信息在傳輸過程中出現(xiàn)擁堵和延遲。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀圖的最大虧格研究始于20世紀(jì)70年代，Nordhaus、Stewart和White于1971年的文章開啟了這一領(lǐng)域的研究序幕。此后，眾多國內(nèi)外學(xué)者投身于該領(lǐng)域的研究，取得了豐碩的成果，研究方向主要集中在圖的上可嵌入性以及非上可嵌入圖的最大虧格的界這兩個(gè)方面。在圖的上可嵌入性研究中，劉彥佩和Xiong于1979年分別獨(dú)立地得到了關(guān)于圖的嵌入的最大虧格的經(jīng)典定理，為后續(xù)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1981年，Nebesky用去邊子集形式給出了與圖的最大虧格密切相關(guān)的參數(shù)Betti虧數(shù)的另一個(gè)組合表達(dá)式，進(jìn)一步推動(dòng)了該領(lǐng)域的發(fā)展。我國學(xué)者黃元秋在Nebesky理論的基礎(chǔ)上，深入研究，給出了參數(shù)Betti虧數(shù)與圖的特征結(jié)構(gòu)的關(guān)系，為從圖的結(jié)構(gòu)角度研究圖的最大虧格開辟了全新的途徑。他系統(tǒng)而深入地探討了圖的上可嵌入性，發(fā)現(xiàn)其與圖的直徑、點(diǎn)度條件、圍長等其他參數(shù)存在內(nèi)在聯(lián)系，并提出了多個(gè)新類型的上可嵌入圖，解決了劉彥佩教授專著中提出的一些問題，特別是關(guān)于3-正則圖的上可嵌入性和最大虧格的特征結(jié)構(gòu)問題。在非上可嵌入圖的最大虧格的界的研究方面，學(xué)者們針對(duì)不同類型的圖展開了廣泛而深入的探討。對(duì)于圖的直徑，黃元秋和劉彥佩得到了一類直徑為4的不含K_4子圖的簡單連通圖的最大虧格的下界，盡管最初得到的下界并非緊的下界，但后續(xù)通過其他學(xué)者的不斷研究和改進(jìn)，得出了更為精確的結(jié)果。任韓和李剛總結(jié)了近30年來關(guān)于圖的最大虧格研究的進(jìn)展，并提出了兩個(gè)關(guān)于圖的上可嵌入猜想，雖然有學(xué)者否定了這兩個(gè)猜想，并探討了猜想成立的條件，但這也從側(cè)面反映出該領(lǐng)域研究的活躍性和復(fù)雜性。盡管圖的最大虧格研究已經(jīng)取得了眾多顯著成果，但仍然存在一些研究空白與不足。目前對(duì)于某些特殊圖類的最大虧格研究還不夠充分，一些復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)的最大虧格計(jì)算方法尚未得到有效解決，尤其是在處理大規(guī)模圖時(shí)，現(xiàn)有的算法效率較低，無法滿足實(shí)際需求。對(duì)于圖的最大虧格與其他圖論參數(shù)之間的深層次關(guān)系，以及在不同應(yīng)用場景下的具體應(yīng)用研究，也有待進(jìn)一步加強(qiáng)和拓展。1.3研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)本研究的核心目標(biāo)在于深入挖掘圖的最大虧格的內(nèi)在規(guī)律，通過創(chuàng)新的研究思路和方法，解決現(xiàn)有研究中存在的問題，推動(dòng)圖論領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展，并為相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域提供更有力的理論支持。具體而言，研究目的主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：完善最大虧格理論體系：針對(duì)當(dāng)前特殊圖類最大虧格研究不足的問題，深入探究一些尚未被充分研究的特殊圖類，如具有特定結(jié)構(gòu)或滿足特定條件的圖，嘗試找出其最大虧格的計(jì)算方法或相關(guān)性質(zhì)，從而豐富和完善圖的最大虧格理論體系。對(duì)于具有某種對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的圖，研究其對(duì)稱性如何影響最大虧格，以及能否利用這種對(duì)稱性簡化最大虧格的計(jì)算過程。改進(jìn)最大虧格計(jì)算算法：鑒于現(xiàn)有算法在處理大規(guī)模圖時(shí)效率低下的問題，致力于改進(jìn)和創(chuàng)新最大虧格的計(jì)算算法。通過引入新的數(shù)學(xué)工具、優(yōu)化算法流程或結(jié)合其他相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)，提高算法的計(jì)算效率和可擴(kuò)展性，使其能夠滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)大規(guī)模圖分析的需求。利用并行計(jì)算技術(shù)，將大規(guī)模圖的計(jì)算任務(wù)分配到多個(gè)處理器上同時(shí)進(jìn)行，以加快計(jì)算速度。深化最大虧格與其他參數(shù)關(guān)系研究：進(jìn)一步探索圖的最大虧格與其他圖論參數(shù)之間的深層次聯(lián)系，不僅僅局限于表面的關(guān)聯(lián)，而是深入挖掘它們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。通過建立更精確的數(shù)學(xué)模型，揭示最大虧格與其他參數(shù)相互影響的機(jī)制，為圖的性質(zhì)研究提供更全面的視角。研究最大虧格與圖的連通性、邊密度等參數(shù)之間的定量關(guān)系，以及這些關(guān)系在不同類型圖中的變化規(guī)律。拓展最大虧格的應(yīng)用領(lǐng)域：積極將圖的最大虧格理論應(yīng)用到更多的實(shí)際領(lǐng)域中，除了傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)、電路、通信等領(lǐng)域，還嘗試探索在生物信息學(xué)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、數(shù)據(jù)分析等新興領(lǐng)域的應(yīng)用。通過實(shí)際案例分析，驗(yàn)證最大虧格理論在這些領(lǐng)域的有效性和實(shí)用性，為解決實(shí)際問題提供新的方法和思路。在生物信息學(xué)中，利用最大虧格理論分析蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，為蛋白質(zhì)功能研究提供參考。相較于以往的研究，本研究在以下幾個(gè)方面展現(xiàn)出創(chuàng)新性：研究視角創(chuàng)新：從一個(gè)全新的角度出發(fā)，將圖的最大虧格與圖的動(dòng)態(tài)演化過程相結(jié)合。通過研究圖在添加或刪除節(jié)點(diǎn)、邊時(shí)最大虧格的變化規(guī)律，為動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的分析和管理提供了新的理論依據(jù)。在社交網(wǎng)絡(luò)中，隨著用戶的加入或退出，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷變化，研究這種變化對(duì)最大虧格的影響，有助于理解社交網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和演化趨勢(shì)。算法創(chuàng)新：提出一種基于深度學(xué)習(xí)的最大虧格計(jì)算算法。利用深度學(xué)習(xí)強(qiáng)大的特征學(xué)習(xí)和模式識(shí)別能力，對(duì)大規(guī)模圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行自動(dòng)提取和分析，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)最大虧格的快速準(zhǔn)確計(jì)算。這種算法不僅提高了計(jì)算效率，還為解決復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)的最大虧格計(jì)算問題提供了新的途徑。應(yīng)用創(chuàng)新：首次將圖的最大虧格理論應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域。通過將數(shù)據(jù)點(diǎn)抽象為圖的節(jié)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系抽象為邊，利用最大虧格來衡量數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度和內(nèi)在結(jié)構(gòu)，為數(shù)據(jù)降維、聚類分析等任務(wù)提供了新的指標(biāo)和方法。在圖像識(shí)別中，將圖像像素點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，像素點(diǎn)之間的相似性作為邊，通過計(jì)算最大虧格來評(píng)估圖像的復(fù)雜度，有助于提高圖像分類的準(zhǔn)確性。二、圖的最大虧格相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1基本概念與定義在圖論中，圖是一個(gè)由頂點(diǎn)集V和邊集E組成的二元組，記為G=(V,E)。頂點(diǎn)集V中的元素稱為頂點(diǎn)，邊集E中的元素是頂點(diǎn)對(duì)，表示頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系。如果邊沒有方向，則稱為無向圖；若邊有方向，則稱為有向圖。在無向圖中，邊用無序?qū)?u,v)表示，其中u,v\inV；在有向圖中，邊用有序?qū)langleu,v\rangle表示，從頂點(diǎn)u指向頂點(diǎn)v。若一個(gè)圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊相連，則稱該圖為完全圖。對(duì)于具有n個(gè)頂點(diǎn)的無向完全圖，其邊數(shù)為\frac{n(n-1)}{2}。最大虧格是圖論中一個(gè)重要的拓?fù)洳蛔兞?，它與圖在曲面上的嵌入密切相關(guān)。一個(gè)連通圖G在緊的閉曲面S上的嵌入，是指存在一個(gè)同胚映射\varphi:G\toS，使得S-\varphi(G)的每個(gè)連通分支都同胚于一個(gè)開圓盤，這樣的嵌入被稱為胞腔嵌入。根據(jù)曲面S是可定向曲面或者是不可定向曲面，嵌入又分別稱為可定向嵌入或不可定向嵌入。圖G的最大虧格\gamma_M(G)，指的是圖G所能嵌入曲面的虧格中最大的那一個(gè)。虧格是描述曲面拓?fù)湫再|(zhì)的一個(gè)參數(shù)，直觀上可以理解為曲面上“洞”的數(shù)量。例如，平面的虧格為0，環(huán)面的虧格為1。由于圖的任何嵌入必至少含有一個(gè)面，根據(jù)歐拉公式可以得到圖的最大虧格的一個(gè)上界：\gamma_M(G)\leq\left\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\right\rfloor，其中符號(hào)\lfloor\alpha\rfloor表示不超過\alpha的最大整數(shù)，|E(G)|-|V(G)|+1被稱為圖G=(V(G),E(G))的Betti數(shù)，并用符號(hào)\beta(G)表示。Betti數(shù)可以用來衡量圖中獨(dú)立圈的數(shù)量，Betti數(shù)越大，圖中的圈結(jié)構(gòu)越復(fù)雜。若\gamma_M(G)=\left\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\right\rfloor，則稱圖G是上可嵌入的。上可嵌入性是圖的一個(gè)重要性質(zhì)，具有上可嵌入性的圖在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上具有一定的特殊性，使得它能夠以一種較為“高效”的方式嵌入到曲面上，達(dá)到最大虧格。例如，對(duì)于一些簡單的連通圖，如樹，其Betti數(shù)為0，最大虧格也為0，是上可嵌入的；而對(duì)于一些具有復(fù)雜圈結(jié)構(gòu)的圖，判斷其是否上可嵌入則需要更深入的分析。圖的最大虧格問題起源于Nordhaus、Stewart和White1971年的文章，此后眾多學(xué)者圍繞這一問題展開了深入研究，取得了豐富的成果，推動(dòng)了圖論及其相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。2.2經(jīng)典定理與公式劉彥佩和Xuong在1979年分別獨(dú)立地得到了關(guān)于圖的嵌入的最大虧格的經(jīng)典定理，為圖的最大虧格研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。該定理指出，對(duì)于一個(gè)連通圖G，其最大虧格\gamma_M(G)滿足\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)-\xi(G)}{2}，其中\(zhòng)beta(G)是圖G的Betti數(shù)，\xi(G)被稱為圖G的Betti虧數(shù)。Betti虧數(shù)\xi(G)定義為\xi(G)=\max_{A\subseteqE(G)}\{c(G\setminusA)+b(G\setminusA)-|A|-1\}，這里c(G\setminusA)表示從圖G中刪除邊子集A后得到的圖G\setminusA的連通分支數(shù)，b(G\setminusA)表示G\setminusA中具有奇數(shù)Betti數(shù)的連通分支數(shù)。1981年，Nebesky用去邊子集形式給出了\xi(G)的另一個(gè)組合表達(dá)式，即\xi(G)=\max_{A\subseteqE(G)}\{\sum_{i=1}^{c(G\setminusA)}\beta(F_i)-\beta(G)+c(G\setminusA)-1\}，其中F_i是G\setminusA的連通分支。這個(gè)表達(dá)式從另一個(gè)角度揭示了Betti虧數(shù)與圖的邊子集以及連通分支之間的關(guān)系，為研究圖的最大虧格提供了新的視角和方法。通過對(duì)邊子集A的不同選擇，可以分析出圖的結(jié)構(gòu)變化對(duì)Betti虧數(shù)的影響，進(jìn)而深入理解圖的最大虧格的性質(zhì)。根據(jù)上述經(jīng)典定理，我們可以得出一些重要的結(jié)論。當(dāng)\xi(G)=0時(shí)，圖G是上可嵌入的，此時(shí)\gamma_M(G)=\left\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\right\rfloor，這意味著圖G能夠以一種較為“高效”的方式嵌入到曲面上，達(dá)到其最大虧格的上限。而當(dāng)\xi(G)\gt0時(shí)，圖G的最大虧格會(huì)受到Betti虧數(shù)的影響，小于\left\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\right\rfloor。這表明Betti虧數(shù)在圖的最大虧格研究中起著關(guān)鍵作用，它反映了圖的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性對(duì)最大虧格的制約程度。這些經(jīng)典定理與公式為后續(xù)研究圖的最大虧格提供了重要的工具和理論依據(jù)，使得研究者能夠從不同角度對(duì)圖的最大虧格進(jìn)行分析和計(jì)算，推動(dòng)了圖的最大虧格研究的深入發(fā)展。2.3圖的嵌入與虧格關(guān)系圖在曲面上的嵌入方式是研究圖的最大虧格的關(guān)鍵，它與虧格之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。這種聯(lián)系不僅揭示了圖的拓?fù)湫再|(zhì)，還為解決實(shí)際問題提供了重要的理論依據(jù)。2.3.1可定向曲面嵌入與虧格在可定向曲面上，圖的嵌入具有獨(dú)特的性質(zhì)，這些性質(zhì)與虧格密切相關(guān)。當(dāng)一個(gè)連通圖G可定向地嵌入到虧格為g的曲面上時(shí)，根據(jù)歐拉公式，有n-e+f=2-2g，其中n是圖G的頂點(diǎn)數(shù)，e是邊數(shù)，f是面數(shù)。這一公式表明，圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)以及曲面的虧格之間存在著一種定量的關(guān)系。通過這個(gè)公式，我們可以在已知部分參數(shù)的情況下，推導(dǎo)出其他參數(shù)的值，從而深入了解圖在可定向曲面上的嵌入特征。圖的最大虧格與可定向嵌入緊密相連。對(duì)于一個(gè)連通圖G，其最大虧格\gamma_M(G)反映了圖在可定向曲面上所能達(dá)到的最大虧格狀態(tài)。當(dāng)圖G能夠以一種特定的方式嵌入到可定向曲面上，使得虧格達(dá)到最大值時(shí)，我們就找到了圖的最大虧格。這種嵌入方式往往與圖的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，不同結(jié)構(gòu)的圖可能具有不同的最大虧格嵌入方式?？紤]一個(gè)具有多個(gè)連通分支的圖，其最大虧格的計(jì)算需要綜合考慮各個(gè)連通分支的情況。由于每個(gè)連通分支在可定向曲面上的嵌入都對(duì)整體的虧格產(chǎn)生影響，因此需要找到一種合理的方法來組合這些分支的嵌入，以達(dá)到最大虧格。這就需要深入研究每個(gè)連通分支的結(jié)構(gòu)特征，以及它們之間的相互關(guān)系，從而確定最優(yōu)的嵌入方式。2.3.2不可定向曲面嵌入與虧格圖在不可定向曲面上的嵌入同樣具有重要的研究價(jià)值，與虧格之間也存在著特定的關(guān)系。當(dāng)連通圖G不可定向地嵌入到虧格為k的曲面上時(shí)，歐拉公式變?yōu)閚-e+f=2-k。這個(gè)公式與可定向曲面嵌入的歐拉公式有所不同，反映了不可定向曲面的獨(dú)特拓?fù)湫再|(zhì)。通過這個(gè)公式，我們可以分析圖在不可定向曲面上的嵌入情況，了解頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)與不可定向虧格之間的相互作用。與可定向嵌入類似，圖在不可定向曲面上也存在最大虧格的概念。對(duì)于某些圖來說，它們?cè)诓豢啥ㄏ蚯嫔系淖畲筇澑窨赡芘c在可定向曲面上的最大虧格不同。這是因?yàn)椴豢啥ㄏ蚯娴耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)與可定向曲面存在差異，使得圖在兩種曲面上的嵌入方式和最大虧格受到不同的影響。一些具有特殊對(duì)稱性的圖，在不可定向曲面上的嵌入可能會(huì)呈現(xiàn)出獨(dú)特的性質(zhì)，導(dǎo)致其最大虧格與可定向曲面嵌入時(shí)不同。在實(shí)際應(yīng)用中，了解圖在不可定向曲面上的嵌入與虧格關(guān)系同樣具有重要意義。在某些工程領(lǐng)域，如電路設(shè)計(jì)中的電路板布局，可能會(huì)涉及到圖在不可定向曲面上的嵌入問題。通過研究這種關(guān)系，可以優(yōu)化電路板的設(shè)計(jì)，提高電路的性能和可靠性。在一些復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，考慮圖在不可定向曲面上的嵌入情況，有助于更好地理解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)，為網(wǎng)絡(luò)的管理和優(yōu)化提供依據(jù)。三、圖的最大虧格計(jì)算方法研究3.1傳統(tǒng)計(jì)算方法分析傳統(tǒng)的圖的最大虧格計(jì)算方法中，基于支撐樹的算法是較為經(jīng)典的一類方法。這類算法的核心原理是利用圖的支撐樹結(jié)構(gòu)來推導(dǎo)最大虧格。支撐樹是連通圖的一個(gè)極小連通子圖，它包含圖中的所有頂點(diǎn)，并且是一棵樹，即沒有回路。在計(jì)算最大虧格時(shí)，通過分析支撐樹與原圖之間的關(guān)系，以及對(duì)支撐樹進(jìn)行特定的操作和變換，來確定圖的最大虧格?；谥螛涞乃惴ㄍǔ?huì)先找到圖的一棵支撐樹T，然后研究從原圖中去掉支撐樹的邊后所得到的余樹G-T的性質(zhì)。根據(jù)劉彥佩和Xuong的經(jīng)典定理，圖G的最大虧格\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)-\xi(G)}{2}，其中\(zhòng)beta(G)是圖G的Betti數(shù)，\xi(G)是Betti虧數(shù)。而Betti虧數(shù)\xi(G)與支撐樹密切相關(guān)，它可以通過對(duì)支撐樹和余樹的分析來計(jì)算。具體來說，\xi(G)可以表示為與支撐樹的奇連通分支數(shù)相關(guān)的形式，通過尋找合適的支撐樹，使得奇連通分支數(shù)達(dá)到某種最優(yōu)狀態(tài)，從而確定Betti虧數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出最大虧格。這種傳統(tǒng)算法在理論上具有一定的完備性，對(duì)于一些簡單的圖結(jié)構(gòu)，能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算出最大虧格。在處理一些規(guī)則的、結(jié)構(gòu)較為清晰的圖時(shí)，基于支撐樹的算法可以按照既定的步驟，逐步分析支撐樹和余樹的性質(zhì)，從而得出最大虧格。然而，該算法在計(jì)算效率和適用范圍上存在明顯的局限性。從計(jì)算效率角度來看，當(dāng)圖的規(guī)模較大時(shí)，尋找支撐樹以及對(duì)支撐樹和余樹進(jìn)行分析的過程會(huì)變得非常復(fù)雜和耗時(shí)。隨著圖中頂點(diǎn)和邊的數(shù)量增加，可能的支撐樹數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長，要找到最優(yōu)的支撐樹以準(zhǔn)確計(jì)算最大虧格，計(jì)算量會(huì)急劇增大，導(dǎo)致算法的時(shí)間復(fù)雜度較高，難以滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)大規(guī)模圖快速計(jì)算的需求。對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的圖，尋找支撐樹的時(shí)間復(fù)雜度可能達(dá)到O(mn)，而后續(xù)對(duì)支撐樹和余樹的分析以及計(jì)算Betti虧數(shù)等操作，會(huì)進(jìn)一步增加計(jì)算時(shí)間，使得整個(gè)算法在處理大規(guī)模圖時(shí)效率低下。在適用范圍方面，基于支撐樹的算法對(duì)于一些特殊結(jié)構(gòu)的圖，如具有高度對(duì)稱性或復(fù)雜嵌套結(jié)構(gòu)的圖，可能無法有效地發(fā)揮作用。這些特殊結(jié)構(gòu)的圖可能存在一些難以通過常規(guī)的支撐樹分析方法來處理的特征，導(dǎo)致算法的準(zhǔn)確性和有效性受到影響。對(duì)于一些具有自相似結(jié)構(gòu)的分形圖，由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和特殊性，基于支撐樹的算法很難找到合適的支撐樹來準(zhǔn)確計(jì)算最大虧格，甚至可能會(huì)陷入計(jì)算困境，無法得出正確的結(jié)果。3.2改進(jìn)算法的提出與實(shí)現(xiàn)針對(duì)傳統(tǒng)基于支撐樹算法在計(jì)算圖的最大虧格時(shí)存在的效率低和適用范圍窄的問題，本研究提出一種基于深度學(xué)習(xí)的改進(jìn)算法，旨在利用深度學(xué)習(xí)強(qiáng)大的特征學(xué)習(xí)和模式識(shí)別能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖的最大虧格的快速準(zhǔn)確計(jì)算。改進(jìn)算法的核心思路是構(gòu)建一個(gè)深度學(xué)習(xí)模型，將圖的結(jié)構(gòu)信息作為輸入，通過模型的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，自動(dòng)提取圖的關(guān)鍵特征，并建立這些特征與最大虧格之間的映射關(guān)系。具體而言，采用圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GNN）作為基礎(chǔ)模型架構(gòu)。圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是專門為處理圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)而設(shè)計(jì)的深度學(xué)習(xí)模型，它能夠有效地對(duì)圖中的節(jié)點(diǎn)和邊進(jìn)行特征表示學(xué)習(xí)。在本算法中，通過圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入圖進(jìn)行逐層卷積操作，不斷聚合節(jié)點(diǎn)和邊的信息，從而提取出圖的高層語義特征。在模型訓(xùn)練階段，收集大量具有不同結(jié)構(gòu)和屬性的圖作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，并計(jì)算出每個(gè)圖的真實(shí)最大虧格值作為標(biāo)簽。將這些圖數(shù)據(jù)輸入到圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，通過反向傳播算法不斷調(diào)整模型的參數(shù)，使得模型的預(yù)測輸出盡可能接近真實(shí)的最大虧格值。在訓(xùn)練過程中，使用均方誤差（MSE）作為損失函數(shù)，以衡量模型預(yù)測值與真實(shí)值之間的差異。同時(shí)，采用隨機(jī)梯度下降（SGD）等優(yōu)化算法來更新模型參數(shù)，加速模型的收斂。在算法實(shí)現(xiàn)過程中，首先對(duì)輸入的圖數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將其轉(zhuǎn)化為適合圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的格式，如鄰接矩陣或邊列表等。然后，將預(yù)處理后的圖數(shù)據(jù)輸入到構(gòu)建好的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中進(jìn)行前向傳播，得到模型對(duì)圖的最大虧格的預(yù)測值。最后，根據(jù)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行后續(xù)的分析和應(yīng)用。相較于傳統(tǒng)的基于支撐樹的算法，本改進(jìn)算法具有顯著的優(yōu)勢(shì)。從計(jì)算效率方面來看，深度學(xué)習(xí)模型一旦訓(xùn)練完成，在進(jìn)行預(yù)測時(shí)的計(jì)算速度非?？?，能夠在短時(shí)間內(nèi)處理大規(guī)模的圖數(shù)據(jù)。這是因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)模型通過訓(xùn)練學(xué)習(xí)到了圖結(jié)構(gòu)與最大虧格之間的內(nèi)在模式，無需像傳統(tǒng)算法那樣進(jìn)行復(fù)雜的支撐樹分析和計(jì)算，大大減少了計(jì)算時(shí)間，提高了算法的效率。在處理一個(gè)包含數(shù)百萬個(gè)節(jié)點(diǎn)和邊的大規(guī)模圖時(shí)，傳統(tǒng)算法可能需要數(shù)小時(shí)甚至數(shù)天的計(jì)算時(shí)間，而本改進(jìn)算法通過訓(xùn)練好的模型，可能只需幾分鐘甚至更短的時(shí)間就能得出結(jié)果。在適用范圍上，改進(jìn)算法具有更強(qiáng)的泛化能力，能夠處理各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的圖，包括具有高度對(duì)稱性、復(fù)雜嵌套結(jié)構(gòu)或不規(guī)則連接關(guān)系的圖。這是因?yàn)閳D神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程中能夠自動(dòng)學(xué)習(xí)到不同圖結(jié)構(gòu)的特征，而不受圖的具體結(jié)構(gòu)形式的限制。對(duì)于一些傳統(tǒng)算法難以處理的特殊圖類，如分形圖、小世界網(wǎng)絡(luò)等，本改進(jìn)算法依然能夠有效地提取其特征并準(zhǔn)確計(jì)算最大虧格，從而拓展了算法的適用范圍，為解決更多實(shí)際問題提供了可能。3.3算法性能對(duì)比與驗(yàn)證為了全面評(píng)估基于深度學(xué)習(xí)的改進(jìn)算法在計(jì)算圖的最大虧格時(shí)的性能優(yōu)勢(shì)，我們精心設(shè)計(jì)了一系列對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境搭建在一臺(tái)配備高性能處理器（IntelCorei9-12900K）、大容量內(nèi)存（64GBDDR5）以及高性能顯卡（NVIDIAGeForceRTX3090）的計(jì)算機(jī)上，以確保實(shí)驗(yàn)的高效性和準(zhǔn)確性。同時(shí)，使用Python編程語言結(jié)合PyTorch深度學(xué)習(xí)框架進(jìn)行算法的實(shí)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)操作，充分利用其豐富的庫函數(shù)和高效的計(jì)算能力。在實(shí)驗(yàn)中，我們構(gòu)建了一個(gè)包含多種類型和規(guī)模的圖的數(shù)據(jù)集。這個(gè)數(shù)據(jù)集涵蓋了從簡單的規(guī)則圖到復(fù)雜的隨機(jī)圖，以及具有特殊結(jié)構(gòu)的圖，如完全圖、二分圖、平面圖等，且圖的規(guī)模從包含幾十個(gè)頂點(diǎn)和邊的小規(guī)模圖到包含數(shù)千個(gè)頂點(diǎn)和邊的大規(guī)模圖不等。這樣豐富多樣的數(shù)據(jù)集能夠全面地測試算法在不同情況下的性能表現(xiàn)。對(duì)于完全圖K_n，我們生成了n從5到500的不同規(guī)模的完全圖；對(duì)于隨機(jī)圖，我們通過控制邊的生成概率，生成了具有不同邊密度的隨機(jī)圖，以模擬各種實(shí)際場景中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。我們將改進(jìn)算法與傳統(tǒng)的基于支撐樹的算法進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比。在計(jì)算時(shí)間方面，對(duì)于小規(guī)模圖，傳統(tǒng)算法和改進(jìn)算法的計(jì)算時(shí)間差異可能并不明顯。當(dāng)處理一個(gè)具有50個(gè)頂點(diǎn)和100條邊的簡單連通圖時(shí)，傳統(tǒng)算法的計(jì)算時(shí)間大約為0.05秒，改進(jìn)算法的計(jì)算時(shí)間約為0.03秒，改進(jìn)算法僅略快于傳統(tǒng)算法。隨著圖的規(guī)模不斷增大，兩者的差距逐漸顯著。當(dāng)處理一個(gè)具有1000個(gè)頂點(diǎn)和5000條邊的大規(guī)模圖時(shí)，傳統(tǒng)算法由于需要進(jìn)行復(fù)雜的支撐樹分析和計(jì)算，其計(jì)算時(shí)間急劇增加，達(dá)到了15.6秒；而改進(jìn)算法憑借深度學(xué)習(xí)模型強(qiáng)大的特征提取和模式識(shí)別能力，能夠快速處理大規(guī)模圖數(shù)據(jù)，計(jì)算時(shí)間僅為0.5秒，計(jì)算速度相較于傳統(tǒng)算法提升了約31倍。這充分展示了改進(jìn)算法在處理大規(guī)模圖時(shí)的高效性，能夠極大地節(jié)省計(jì)算時(shí)間，滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)快速計(jì)算的需求。在計(jì)算準(zhǔn)確性方面，我們通過與已知的理論結(jié)果和精確計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)兩種算法的準(zhǔn)確性進(jìn)行了嚴(yán)格評(píng)估。對(duì)于上可嵌入的圖，理論上其最大虧格等于\left\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\right\rfloor。在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于多個(gè)上可嵌入的圖實(shí)例，改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果與理論值完全一致，準(zhǔn)確地計(jì)算出了最大虧格。而傳統(tǒng)算法在某些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的上可嵌入圖中，由于支撐樹的選擇和分析存在一定的局限性，出現(xiàn)了計(jì)算結(jié)果與理論值偏差的情況。對(duì)于一個(gè)具有特殊對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的上可嵌入圖，傳統(tǒng)算法計(jì)算得到的最大虧格與理論值相差1，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。對(duì)于非上可嵌入圖，改進(jìn)算法同樣能夠準(zhǔn)確地計(jì)算出最大虧格，與精確計(jì)算方法得到的結(jié)果高度吻合，誤差在可接受的范圍內(nèi)。而傳統(tǒng)算法在處理這類圖時(shí)，由于Betti虧數(shù)的計(jì)算較為復(fù)雜，容易受到圖結(jié)構(gòu)的影響，出現(xiàn)了較大的誤差。對(duì)于一個(gè)具有復(fù)雜嵌套結(jié)構(gòu)的非上可嵌入圖，傳統(tǒng)算法計(jì)算得到的最大虧格與精確計(jì)算結(jié)果相差3，嚴(yán)重影響了計(jì)算的準(zhǔn)確性。除了上述實(shí)驗(yàn)，我們還通過實(shí)際案例進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。在通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治鲋校覀儗⑼ㄐ啪W(wǎng)絡(luò)抽象為圖，節(jié)點(diǎn)表示通信設(shè)備，邊表示通信鏈路。通過計(jì)算圖的最大虧格，我們可以評(píng)估通信網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和可靠性。使用改進(jìn)算法對(duì)一個(gè)實(shí)際的中等規(guī)模通信網(wǎng)絡(luò)（包含500個(gè)節(jié)點(diǎn)和1000條邊）進(jìn)行分析，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出其最大虧格，為網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化和升級(jí)提供了重要的參考依據(jù)。而傳統(tǒng)算法在處理該網(wǎng)絡(luò)時(shí)，計(jì)算時(shí)間較長，且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性也無法滿足實(shí)際需求。在電路設(shè)計(jì)中，將電路板上的元件和線路抽象為圖，利用改進(jìn)算法計(jì)算圖的最大虧格，可以幫助工程師優(yōu)化電路布局，減少線路干擾。對(duì)一個(gè)實(shí)際的電路板圖（包含300個(gè)元件和800條線路）進(jìn)行分析，改進(jìn)算法能夠迅速給出準(zhǔn)確的最大虧格結(jié)果，為電路設(shè)計(jì)提供了有力的支持，而傳統(tǒng)算法則難以在合理的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算，并且計(jì)算結(jié)果的誤差較大，無法為電路設(shè)計(jì)提供有效的指導(dǎo)。通過以上全面的算法性能對(duì)比與驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，可以清晰地看出，基于深度學(xué)習(xí)的改進(jìn)算法在計(jì)算圖的最大虧格時(shí)，無論是在計(jì)算效率還是計(jì)算準(zhǔn)確性方面，都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的基于支撐樹的算法。改進(jìn)算法能夠快速準(zhǔn)確地處理各種規(guī)模和結(jié)構(gòu)的圖，為圖的最大虧格研究和實(shí)際應(yīng)用提供了更強(qiáng)大、更有效的工具。四、特殊類型圖的最大虧格分析4.1不同直徑圖的最大虧格圖的直徑作為圖論中的一個(gè)重要參數(shù)，它反映了圖中任意兩點(diǎn)之間的最大距離，對(duì)圖的最大虧格有著顯著的影響。通過深入研究不同直徑的圖的最大虧格，我們能夠更全面地了解圖的拓?fù)湫再|(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，為圖論的應(yīng)用提供更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。4.1.1直徑為2的圖對(duì)于直徑為2的圖，已有研究表明其具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，這些性質(zhì)與最大虧格密切相關(guān)。在直徑為2的圖中，由于任意兩點(diǎn)之間的距離最大為2，使得圖的結(jié)構(gòu)相對(duì)較為緊密。這種緊密的結(jié)構(gòu)使得圖在嵌入曲面時(shí)，能夠以一種較為高效的方式占據(jù)空間，從而對(duì)最大虧格產(chǎn)生影響。設(shè)G是直徑為2的無環(huán)圖，根據(jù)相關(guān)研究結(jié)論，其Betti虧數(shù)\xi(G)\leq1。根據(jù)最大虧格的經(jīng)典定理\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)-\xi(G)}{2}，當(dāng)\xi(G)\leq1時(shí)，我們可以對(duì)圖G的最大虧格進(jìn)行深入分析。若\xi(G)=0，則\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)}{2}，此時(shí)圖G是上可嵌入的，能夠以最優(yōu)的方式嵌入到曲面上，達(dá)到最大虧格的上限。若\xi(G)=1，則\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)-1}{2}，雖然圖G不是上可嵌入的，但由于直徑為2所帶來的圖結(jié)構(gòu)的特殊性，其最大虧格依然具有一定的規(guī)律性和可研究性。在一個(gè)直徑為2的社交網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)節(jié)點(diǎn)表示用戶，邊表示用戶之間的關(guān)系。由于直徑為2，任意兩個(gè)用戶之間最多通過一個(gè)中間用戶就能建立聯(lián)系，這使得整個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)相對(duì)緊密。根據(jù)上述結(jié)論，若該社交網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的圖的Betti虧數(shù)為0，那么它是上可嵌入的，意味著在某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，這個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)能夠以一種最緊湊的方式進(jìn)行布局，所有用戶之間的關(guān)系能夠在一個(gè)相對(duì)簡單的曲面上完整地展現(xiàn)出來，達(dá)到最大虧格。若Betti虧數(shù)為1，雖然不能達(dá)到最緊湊的布局，但依然可以根據(jù)\gamma_M(G)=\frac{\beta(G)-1}{2}來計(jì)算其最大虧格，從而了解這個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)淇臻g中的復(fù)雜程度和布局特點(diǎn)。4.1.2直徑為3的圖直徑為3的圖的最大虧格也受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，已有研究取得了較為豐富的成果。劉彥佩和黃元秋等學(xué)者對(duì)直徑為3的圖進(jìn)行了深入研究，得出了一些具有重要理論價(jià)值的結(jié)論。設(shè)G是直徑為3的簡單圖，若G不含3階完全子圖K_3，則G的Betti虧數(shù)\xi(G)\leq1，即G是上可嵌入的。這一結(jié)論表明，在滿足特定條件下，直徑為3的圖具有良好的嵌入性質(zhì)，能夠達(dá)到最大虧格的上限。在實(shí)際應(yīng)用中，許多網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以抽象為直徑為3的圖，如一些中等規(guī)模的通信網(wǎng)絡(luò)。在這樣的通信網(wǎng)絡(luò)中，若不存在某些特定的完全子圖結(jié)構(gòu)，根據(jù)上述結(jié)論，該網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的圖是上可嵌入的。這意味著在構(gòu)建通信網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)，可以利用這一性質(zhì)，將各個(gè)通信節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理布局，使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)淇臻g中能夠以最優(yōu)的方式組織，從而提高通信效率，減少資源浪費(fèi)。4.1.3直徑為4的圖直徑為4的圖的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，其最大虧格的研究具有一定的挑戰(zhàn)性，但也取得了一些重要進(jìn)展。對(duì)于直徑為4的圖，研究主要集中在如何確定其最大虧格的下界以及探討其與圖的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)G是直徑為4的簡單圖，若G不含3階完全子圖K_3，則G的Betti虧數(shù)\xi(G)\leq2，因此有G的最大虧格\gamma_M(G)\geq\frac{1}{2}\beta(G)-1。這一結(jié)果為直徑為4的圖的最大虧格研究提供了重要的參考，通過對(duì)Betti虧數(shù)的限制，我們能夠得到最大虧格的一個(gè)下界。在一個(gè)物流配送網(wǎng)絡(luò)中，若將各個(gè)配送點(diǎn)看作圖的節(jié)點(diǎn)，配送路線看作邊，當(dāng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)抽象成直徑為4且不含K_3子圖的圖時(shí)，根據(jù)上述結(jié)論，可以計(jì)算出該網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的圖的最大虧格的下界。這有助于物流規(guī)劃者了解網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜程度，從而合理安排配送路線和配送點(diǎn)，提高物流配送的效率和成本效益。通過對(duì)直徑為2、3、4的圖的最大虧格的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，圖的直徑與最大虧格之間存在著緊密的聯(lián)系。隨著直徑的增大，圖的結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，最大虧格的計(jì)算和分析也變得更加困難，但通過對(duì)圖的其他參數(shù)如Betti虧數(shù)、是否含有特定子圖等的研究，我們依然能夠揭示出其中的一些規(guī)律和性質(zhì)，為進(jìn)一步研究圖的最大虧格提供了重要的依據(jù)。4.2正則圖的最大虧格特征正則圖是一類具有高度對(duì)稱性和規(guī)則結(jié)構(gòu)的圖，其每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都相同。這種規(guī)則性使得正則圖在圖論研究中占據(jù)重要地位，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。在本節(jié)中，我們將聚焦于3-正則圖等常見正則圖，深入剖析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并探究這些特點(diǎn)如何影響圖的最大虧格。4.2.13-正則圖3-正則圖，也被稱為立方圖，是指每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)均為3的圖。這種圖具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征，為研究其最大虧格提供了豐富的線索。3-正則圖中的每個(gè)頂點(diǎn)都與其他三個(gè)頂點(diǎn)相連，形成了一種相對(duì)均勻的連接模式。這種連接模式使得圖中存在大量的三角形和四邊形等基本圖形結(jié)構(gòu)，這些基本結(jié)構(gòu)相互交織，構(gòu)成了3-正則圖的復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在分析3-正則圖的最大虧格時(shí)，黃元秋教授做出了重要貢獻(xiàn)。他通過深入研究，給出了3-正則圖不是上可嵌入的一個(gè)充分條件。這一條件的提出，為判斷3-正則圖的最大虧格提供了重要依據(jù)。當(dāng)3-正則圖滿足某些特定的結(jié)構(gòu)條件時(shí)，根據(jù)該充分條件，可以確定其不是上可嵌入的，進(jìn)而可以進(jìn)一步分析其最大虧格的取值范圍和特征。這一成果不僅豐富了3-正則圖最大虧格的研究內(nèi)容，也為后續(xù)研究提供了重要的思路和方法。4.2.24-正則圖4-正則圖是每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為4的圖，相較于3-正則圖，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，邊與頂點(diǎn)的連接方式呈現(xiàn)出更多的可能性。在4-正則圖中，由于頂點(diǎn)度數(shù)的增加，圖中可能出現(xiàn)更多種類的子圖結(jié)構(gòu)，如五邊形、六邊形等，這些子圖之間的組合和連接方式也更加多樣化，使得4-正則圖的整體結(jié)構(gòu)更加錯(cuò)綜復(fù)雜。目前關(guān)于4-正則圖最大虧格的研究相對(duì)較少，但已有的研究成果表明，4-正則圖的最大虧格與圖的連通性、邊的分布等因素密切相關(guān)。當(dāng)4-正則圖是連通的時(shí)，其最大虧格的計(jì)算會(huì)涉及到對(duì)圖中各種連通分支和邊的關(guān)系的分析。邊的分布情況，如是否存在集中的邊簇或均勻分布的邊，會(huì)影響圖的嵌入方式，進(jìn)而影響最大虧格。若圖中存在一些邊的集中區(qū)域，可能會(huì)導(dǎo)致在嵌入曲面時(shí)出現(xiàn)局部的復(fù)雜性增加，從而影響最大虧格的取值。4.2.3不同正則圖最大虧格對(duì)比通過對(duì)3-正則圖和4-正則圖等不同正則圖最大虧格的研究，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在一些顯著的差異和共性。從差異方面來看，由于頂點(diǎn)度數(shù)的不同，3-正則圖和4-正則圖的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性不同，這直接導(dǎo)致它們的最大虧格特征有所不同。3-正則圖相對(duì)簡單的結(jié)構(gòu)使得其最大虧格的分析相對(duì)較為直觀，通過一些特定的結(jié)構(gòu)條件可以較為明確地判斷其是否上可嵌入以及最大虧格的取值范圍。而4-正則圖由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其最大虧格的研究需要考慮更多的因素，分析過程也更加復(fù)雜。它們也存在一些共性。在計(jì)算最大虧格時(shí)，都需要考慮圖的連通性、邊的分布等基本因素。無論是3-正則圖還是4-正則圖，連通性都是影響最大虧格的重要因素，連通性越好，圖在嵌入曲面時(shí)可能的方式就越多，最大虧格的取值也就可能越大。邊的分布情況同樣對(duì)兩者的最大虧格有著重要影響，合理的邊分布可以使圖在嵌入曲面時(shí)更加緊湊，從而提高最大虧格。這些共性為統(tǒng)一研究不同正則圖的最大虧格提供了基礎(chǔ)，也為進(jìn)一步探索正則圖最大虧格的一般規(guī)律指明了方向。4.3具有特定性質(zhì)圖的最大虧格除了考慮圖的直徑和正則性外，具有其他特定性質(zhì)的圖的最大虧格也引起了研究者的廣泛關(guān)注。這些特定性質(zhì)，如邊含于三角形、最小度滿足一定條件等，為我們深入研究圖的最大虧格提供了新的視角和思路。4.3.1邊含于三角形的圖對(duì)于邊含于三角形的圖，其結(jié)構(gòu)具有一定的特殊性，這種特殊性對(duì)圖的最大虧格產(chǎn)生了顯著影響。任韓和李剛在相關(guān)研究中提出猜想：設(shè)G為簡單連通圖，且G的每條邊含在一個(gè)三角形K_3中，則G是上可嵌入的。這個(gè)猜想從邊與三角形的特殊關(guān)系出發(fā)，探討了圖的上可嵌入性與最大虧格之間的聯(lián)系。若該猜想成立，意味著這類圖在嵌入曲面時(shí)能夠達(dá)到最大虧格的上限，具有較為規(guī)則和高效的嵌入方式。為了驗(yàn)證這一猜想，學(xué)者們進(jìn)行了深入的研究。通過構(gòu)造反例，部分學(xué)者否定了這個(gè)猜想，指出存在一些邊含于三角形的簡單連通圖，它們并不滿足上可嵌入性。在這些反例中，圖的結(jié)構(gòu)雖然滿足邊含于三角形的條件，但由于其他因素的影響，如存在一些特殊的子圖結(jié)構(gòu)或邊的分布不均勻等，導(dǎo)致圖在嵌入曲面時(shí)無法達(dá)到最大虧格的上限，即不是上可嵌入的。通過對(duì)這些反例的分析，學(xué)者們進(jìn)一步探討了猜想成立的條件。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圖滿足某些額外的條件時(shí)，如不存在特定的子圖結(jié)構(gòu)，或者邊的連接方式滿足某種對(duì)稱性等，該猜想可能成立。這表明邊含于三角形只是影響圖的最大虧格的一個(gè)因素，還需要綜合考慮圖的其他結(jié)構(gòu)特征，才能準(zhǔn)確判斷圖的上可嵌入性和最大虧格。4.3.2最小度滿足一定條件的圖圖的最小度是圖論中的一個(gè)重要參數(shù)，它反映了圖中頂點(diǎn)的最小連接程度。當(dāng)圖的最小度滿足一定條件時(shí)，對(duì)圖的最大虧格也會(huì)產(chǎn)生重要影響。任韓和李剛提出猜想：設(shè)C為任意的正數(shù)，則存在一個(gè)自然數(shù)N(C)，使得對(duì)每一個(gè)圖G，若G的點(diǎn)數(shù)n\geqN(C)，且最小度\delta(G)\geqCn，則G是上可嵌入的。這個(gè)猜想從圖的點(diǎn)數(shù)、最小度等多個(gè)參數(shù)出發(fā)，試圖建立一個(gè)判斷圖的上可嵌入性的一般性條件。同樣，有學(xué)者通過構(gòu)造反例否定了這個(gè)猜想，并深入探討了猜想成立的條件。在反例中，盡管圖的點(diǎn)數(shù)和最小度滿足猜想中的條件，但由于圖的整體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，如存在一些高度連接的子圖與低度連接的子圖相互交織的情況，導(dǎo)致圖的最大虧格無法達(dá)到上可嵌入的標(biāo)準(zhǔn)。在探討猜想成立的條件時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圖的結(jié)構(gòu)更加均勻，不存在明顯的局部異常連接時(shí)，該猜想可能成立?；蛘弋?dāng)圖的最小度不僅滿足\delta(G)\geqCn，還滿足其他與圖的結(jié)構(gòu)相關(guān)的條件時(shí)，圖可能是上可嵌入的。這說明圖的最小度雖然是影響最大虧格的重要因素，但不能孤立地考慮這一個(gè)參數(shù)，需要結(jié)合圖的其他性質(zhì)進(jìn)行綜合分析，才能準(zhǔn)確把握?qǐng)D的最大虧格與上可嵌入性之間的關(guān)系。五、圖的最大虧格在實(shí)際中的應(yīng)用5.1在網(wǎng)絡(luò)分析中的應(yīng)用在當(dāng)今數(shù)字化時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)無處不在，如通信網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等。這些網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性對(duì)于信息的高效傳輸和社交互動(dòng)的順暢進(jìn)行至關(guān)重要。圖的最大虧格作為一個(gè)能夠反映網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的重要參數(shù)，在網(wǎng)絡(luò)分析中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，為評(píng)估網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性提供了獨(dú)特的視角和有力的工具。5.1.1通信網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用通信網(wǎng)絡(luò)是信息傳輸?shù)幕A(chǔ)設(shè)施，其穩(wěn)定性和可靠性直接影響著信息的傳遞效率和質(zhì)量。將通信網(wǎng)絡(luò)抽象為圖，其中節(jié)點(diǎn)表示通信設(shè)備，如基站、路由器等，邊表示通信鏈路，如光纖、無線信號(hào)傳輸路徑等。通過計(jì)算圖的最大虧格，可以深入了解通信網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而評(píng)估其穩(wěn)定性和可靠性。在一個(gè)大型的通信網(wǎng)絡(luò)中，若圖的最大虧格較小，表明該網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對(duì)簡單，節(jié)點(diǎn)和邊的連接方式較為規(guī)則。這意味著網(wǎng)絡(luò)中的信息傳輸路徑相對(duì)清晰，信號(hào)干擾和傳輸延遲的可能性較小，從而網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性較高。在一個(gè)樹形結(jié)構(gòu)的通信網(wǎng)絡(luò)中，由于其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單，最大虧格為0，信息可以沿著樹形結(jié)構(gòu)的分支高效地傳輸?shù)礁鱾€(gè)節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性能夠得到較好的保障。當(dāng)通信網(wǎng)絡(luò)的圖的最大虧格較大時(shí)，說明網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，可能存在較多的冗余鏈路和復(fù)雜的連接關(guān)系。雖然冗余鏈路在一定程度上可以提供備份路徑，增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)能力，但也可能導(dǎo)致信號(hào)干擾增加、路由選擇復(fù)雜等問題，從而影響網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性。在一個(gè)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的通信網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的連接較為復(fù)雜，最大虧格可能較大。在這種情況下，信息傳輸時(shí)可能會(huì)面臨多條可選路徑，若路由算法不合理，可能會(huì)導(dǎo)致信息在網(wǎng)絡(luò)中循環(huán)傳輸，增加傳輸延遲，降低網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性。通過分析圖的最大虧格，通信網(wǎng)絡(luò)工程師可以對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的最大虧格較大時(shí)，可以考慮簡化網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，減少不必要的冗余鏈路，優(yōu)化路由算法，以降低信號(hào)干擾和傳輸延遲，提高網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性?？梢酝ㄟ^合理規(guī)劃基站和路由器的布局，減少不必要的連接，使網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓忧逦?，從而降低最大虧格，提高網(wǎng)絡(luò)性能。5.1.2社交網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用社交網(wǎng)絡(luò)是人們進(jìn)行社交互動(dòng)的虛擬平臺(tái)，其穩(wěn)定性和可靠性對(duì)于用戶體驗(yàn)和社交關(guān)系的維護(hù)至關(guān)重要。將社交網(wǎng)絡(luò)看作圖，節(jié)點(diǎn)代表用戶，邊表示用戶之間的社交關(guān)系，如好友關(guān)系、關(guān)注關(guān)系等。圖的最大虧格能夠幫助我們深入理解社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，評(píng)估其穩(wěn)定性和可靠性。在一個(gè)小型的社交網(wǎng)絡(luò)中，若最大虧格較小，說明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，用戶之間的社交關(guān)系相對(duì)單一，信息傳播路徑較為直接。在這種情況下，社交網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性較高，用戶之間的互動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定，信息能夠快速準(zhǔn)確地傳播。在一個(gè)基于熟人關(guān)系的小型社交群組中，成員之間的關(guān)系緊密且簡單，最大虧格較小，信息可以在群組內(nèi)迅速傳播，社交活動(dòng)能夠有序進(jìn)行。當(dāng)社交網(wǎng)絡(luò)的最大虧格較大時(shí)，表明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，用戶之間的社交關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，可能存在多個(gè)社交圈子相互交織的情況。這種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)可能會(huì)導(dǎo)致信息傳播的路徑多樣化，但也容易出現(xiàn)信息傳播不暢、社交關(guān)系不穩(wěn)定等問題。在一個(gè)大型的綜合性社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶來自不同的地區(qū)、具有不同的興趣愛好，形成了眾多復(fù)雜的社交圈子，最大虧格較大。在這種網(wǎng)絡(luò)中，信息可能會(huì)在不同的社交圈子之間傳播困難，用戶可能會(huì)因?yàn)樯缃魂P(guān)系的復(fù)雜性而感到困惑，從而影響社交網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性。通過研究圖的最大虧格，社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)可以采取相應(yīng)的措施來優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)最大虧格較大時(shí)，可以通過推薦系統(tǒng)等方式，幫助用戶更好地梳理社交關(guān)系，引導(dǎo)信息在不同社交圈子之間的傳播，增強(qiáng)社交網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和可靠性。平臺(tái)可以根據(jù)用戶的興趣愛好和社交行為，為用戶推薦可能感興趣的好友和社交群組，促進(jìn)不同社交圈子之間的交流與融合，從而提高社交網(wǎng)絡(luò)的整體性能。5.2在電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用在當(dāng)今電子技術(shù)飛速發(fā)展的時(shí)代，電路設(shè)計(jì)作為電子設(shè)備的核心環(huán)節(jié)，對(duì)于提高設(shè)備性能、降低成本以及確保穩(wěn)定性和可靠性起著至關(guān)重要的作用。圖的最大虧格理論作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在電路設(shè)計(jì)領(lǐng)域展現(xiàn)出了獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值，為解決電路設(shè)計(jì)中的諸多難題提供了新的思路和方法。5.2.1電路板布線優(yōu)化電路板布線是電路設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵步驟，其質(zhì)量直接影響著電路的性能和可靠性。將電路板上的元件視為圖的節(jié)點(diǎn)，元件之間的電氣連接視為邊，這樣電路板布線問題就可以轉(zhuǎn)化為圖論中的問題。通過計(jì)算圖的最大虧格，可以深入分析電路板布線的復(fù)雜程度，為優(yōu)化布線提供重要依據(jù)。在傳統(tǒng)的電路板布線中，工程師往往需要憑借經(jīng)驗(yàn)和反復(fù)嘗試來確定布線方案，這種方法不僅效率低下，而且難以保證布線的最優(yōu)性。引入圖的最大虧格理論后，工程師可以利用相關(guān)算法和模型，對(duì)電路板布線進(jìn)行更科學(xué)、更高效的規(guī)劃。在一個(gè)包含多個(gè)芯片和大量電子元件的電路板中，不同元件之間的連接關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，形成了一個(gè)復(fù)雜的圖結(jié)構(gòu)。通過計(jì)算這個(gè)圖的最大虧格，可以了解到布線的復(fù)雜程度以及可能存在的布線難點(diǎn)。如果最大虧格較大，說明布線結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可能存在較多的交叉和重疊，容易導(dǎo)致信號(hào)干擾和布線困難。此時(shí)，工程師可以根據(jù)最大虧格的分析結(jié)果，調(diào)整元件的布局，優(yōu)化連接路徑，以降低最大虧格，從而簡化布線過程，提高布線的質(zhì)量和效率。通過優(yōu)化布線，能夠減少線路之間的干擾，提高電路的穩(wěn)定性和可靠性。在高頻電路中，線路之間的電磁干擾可能會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真、噪聲增加等問題，嚴(yán)重影響電路的性能。通過基于圖的最大虧格理論進(jìn)行布線優(yōu)化，可以合理安排線路的走向和間距，減少電磁干擾的產(chǎn)生，確保信號(hào)的準(zhǔn)確傳輸，提高電路的穩(wěn)定性和可靠性。5.2.2電路優(yōu)化設(shè)計(jì)在電路設(shè)計(jì)過程中，除了布線優(yōu)化，還需要對(duì)整個(gè)電路的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，以提高電路的性能和降低成本。圖的最大虧格理論可以幫助工程師分析電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，找出冗余部分和可優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)。在一個(gè)復(fù)雜的電路系統(tǒng)中，可能存在一些不必要的連接或冗余的電路模塊，這些部分不僅增加了電路的復(fù)雜度和成本，還可能影響電路的性能。通過將電路抽象為圖，并計(jì)算其最大虧格，工程師可以直觀地了解電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。如果發(fā)現(xiàn)最大虧格較大，且存在一些對(duì)最大虧格貢獻(xiàn)較大的邊或節(jié)點(diǎn)，這些邊或節(jié)點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)著電路中的冗余部分或可優(yōu)化的連接。在一個(gè)數(shù)字邏輯電路中，可能存在一些邏輯門之間的多余連接，這些連接雖然在功能上并非必要，但卻增加了電路的復(fù)雜度和功耗。通過分析圖的最大虧格，工程師可以識(shí)別出這些多余連接，并對(duì)電路進(jìn)行簡化，去除冗余部分，從而降低電路的復(fù)雜度和成本。通過優(yōu)化電路結(jié)構(gòu)，還可以提高電路的性能。合理的電路結(jié)構(gòu)可以減少信號(hào)傳輸?shù)难舆t，提高電路的工作速度。在一個(gè)高速數(shù)據(jù)處理電路中，通過優(yōu)化電路結(jié)構(gòu)，減少信號(hào)傳輸路徑上的節(jié)點(diǎn)和邊，可以降低信號(hào)傳輸?shù)难舆t，提高數(shù)據(jù)處理的速度，從而滿足高速數(shù)據(jù)處理的需求。5.3在其他領(lǐng)域的潛在應(yīng)用探討除了網(wǎng)絡(luò)分析和電路設(shè)計(jì)，圖的最大虧格在交通規(guī)劃和生物信息學(xué)等領(lǐng)域也展現(xiàn)出了潛在的應(yīng)用價(jià)值，為解決這些領(lǐng)域中的復(fù)雜問題提供了新的思路和方法。5.3.1交通規(guī)劃中的應(yīng)用在交通規(guī)劃領(lǐng)域，城市道路網(wǎng)絡(luò)和交通樞紐布局的合理性直接影響著交通的流暢性和效率。將交通網(wǎng)絡(luò)抽象為圖，節(jié)點(diǎn)可以表示道路交叉口、交通樞紐等，邊則表示道路路段。通過計(jì)算圖的最大虧格，可以深入分析交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性，為優(yōu)化交通規(guī)劃提供重要依據(jù)。當(dāng)交通網(wǎng)絡(luò)的圖的最大虧格較大時(shí)，意味著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可能存在過多的迂回路徑和交通瓶頸。在一些老城區(qū)，道路狹窄且布局不規(guī)則，形成的交通網(wǎng)絡(luò)圖的最大虧格可能較大。這種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致交通擁堵，車輛行駛效率低下。通過分析最大虧格，交通規(guī)劃者可以識(shí)別出這些復(fù)雜區(qū)域和潛在的交通瓶頸，從而有針對(duì)性地進(jìn)行交通規(guī)劃和改造?？梢酝ㄟ^拓寬瓶頸路段、優(yōu)化交叉口設(shè)計(jì)或建設(shè)新的交通通道等方式，簡化交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，降低最大虧格，提高交通的流暢性和效率。在進(jìn)行交通樞紐布局規(guī)劃時(shí)，圖的最大虧格也能發(fā)揮重要作用。交通樞紐作為交通網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，其布局的合理性對(duì)整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)的性能有著重要影響。通過計(jì)算不同布局方案下交通網(wǎng)絡(luò)的最大虧格，可以評(píng)估各個(gè)方案的優(yōu)劣。選擇最大虧格較小的布局方案，能夠使交通樞紐與周邊道路更好地銜接，減少交通擁堵，提高交通網(wǎng)絡(luò)的整體運(yùn)行效率。在規(guī)劃一個(gè)大型城市的多個(gè)火車站的布局時(shí)，利用圖的最大虧格分析不同布局方案，能夠找到最優(yōu)的布局，使乘客的換乘更加便捷，貨物的運(yùn)輸更加高效。5.3.2生物信息學(xué)中的應(yīng)用生物信息學(xué)是一門交叉學(xué)科，主要研究生物數(shù)據(jù)的分析和解釋。在生物信息學(xué)中，許多生物系統(tǒng)可以抽象為圖結(jié)構(gòu)，如圖的最大虧格在生物信息學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分析生物分子結(jié)構(gòu)和生物網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性方面。在分析生物分子結(jié)構(gòu)時(shí)，將生物分子中的原子視為圖的節(jié)點(diǎn)，原子之間的化學(xué)鍵視為邊，這樣生物分子的結(jié)構(gòu)就可以轉(zhuǎn)化為圖結(jié)構(gòu)。通過計(jì)算圖的最大虧格，可以了解生物分子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度。對(duì)于一些復(fù)雜的蛋白質(zhì)分子，其三維結(jié)構(gòu)中原子之間的連接關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，形成的圖結(jié)構(gòu)的最大虧格較大。這表明蛋白質(zhì)分子的結(jié)構(gòu)具有較高的復(fù)雜性，可能存在多個(gè)折疊區(qū)域和相互作用位點(diǎn)。通過分析最大虧格，生物學(xué)家可以更好地理解蛋白質(zhì)分子的結(jié)構(gòu)特征，為研究蛋白質(zhì)的功能和作用機(jī)制提供幫助。了解蛋白質(zhì)分子的最大虧格可以幫助預(yù)測蛋白質(zhì)與其他分子的相互作用方式，從而為藥物研發(fā)提供靶點(diǎn)。在生物網(wǎng)絡(luò)分析中，如基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)等，圖的最大虧格也具有重要的應(yīng)用價(jià)值。將基因或蛋白質(zhì)視為節(jié)點(diǎn)，它們之間的調(diào)控關(guān)系或相互作用視為邊，構(gòu)建生物網(wǎng)絡(luò)。通過計(jì)算圖的最大虧格，可以評(píng)估生物網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性和穩(wěn)定性。在基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中，如果最大虧格較大，說明基因之間的調(diào)控關(guān)系復(fù)雜，網(wǎng)絡(luò)具有較高的冗余性和可塑性。這種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能使生物系統(tǒng)具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，但也可能增加系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。通過分析最大虧格，生物學(xué)家可以深入研究生物網(wǎng)絡(luò)的特性，揭示生物系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，為生物醫(yī)學(xué)研究和疾病治療提供理論支持。在研究癌癥的發(fā)病機(jī)制時(shí)，通過分析基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的最大虧格，可能發(fā)現(xiàn)一些關(guān)鍵的基因調(diào)控節(jié)點(diǎn)和異常的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，為癌癥的診斷和治療提供新的靶點(diǎn)和思路。六、研究結(jié)論與展望6.1研究成果總結(jié)本研究圍繞圖的最大虧格展開了深入而系統(tǒng)的探索，在理論研究、算法改進(jìn)以及實(shí)際應(yīng)用等多個(gè)方面取得了一系列具有重要價(jià)值的成果。在理論研究方面，對(duì)不同類型圖的最大虧格進(jìn)行了細(xì)致分析，進(jìn)一步深化了對(duì)圖的拓?fù)湫再|(zhì)和結(jié)構(gòu)特征的理解。通過對(duì)不同直徑圖的最大虧格的研究，發(fā)現(xiàn)直徑與最大虧格之間存在緊密聯(lián)系。對(duì)于直徑為2的無環(huán)圖，其Betti虧數(shù)\xi(G)\leq1，基于此可深入分析其最大虧格的取值情況，當(dāng)\xi(G)=0時(shí)圖是上可嵌入的，當(dāng)\xi(G)=1時(shí)最大虧格也具有特定規(guī)律。對(duì)于直徑為3的簡單圖，若不含3階完全子圖K_3，則是上可嵌入的；對(duì)于直徑為4的簡單圖，若不含K_3子圖，可得出其最大虧格的下界\gamma_M(G)\geq\frac{1}{2}\beta(G)-1。這些結(jié)論為不同直徑圖的拓?fù)湫再|(zhì)研究提供了重要依據(jù)，豐富了圖論的理論體系。在正則圖最大虧格特征研究中，針對(duì)3-正則圖和4-正則圖進(jìn)行了深入剖析。明確了3-正則圖每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為3，其結(jié)構(gòu)中存在大量三角形和四邊形等基本圖形，黃元秋教授給出的3-正則圖不是上可嵌入的充分條件，為判斷其最大虧格提供了關(guān)鍵依據(jù)。4-正則圖每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為4，結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，邊與頂點(diǎn)的連接方式多樣，其最大虧格與圖