專題09解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合 1類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合 5類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合 10類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合 14類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合 18類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合 21壓軸能力測(cè)評(píng)（14題） 26解題知識(shí)必備1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時(shí)“不破壞”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常見(jiàn)構(gòu)造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時(shí)，豎直作垂線與水平作垂線.壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合例題：（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚(yú)愛(ài)好者的神器“晴雨傘”，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹(shù)干上的點(diǎn)E處（），C，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“晴雨傘”的開(kāi)合，“晴雨傘”,于點(diǎn)O，支桿與樹(shù)干的橫向距離．(1)天晴時(shí)打開(kāi)“晴雨傘”，若，求遮陽(yáng)寬度；(2)下雨時(shí)收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點(diǎn)E下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)遮陽(yáng)寬度為；(2)點(diǎn)E下降的高度為．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時(shí)的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：由對(duì)稱性可知，，在中，，，，，答：遮陽(yáng)寬度為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，，，，，，，在中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E下降的高度為，答：點(diǎn)E下降的高度為．【變式訓(xùn)練1】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計(jì)是中國(guó)古代建筑之瑰寶．常見(jiàn)的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)龋鐖D1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側(cè)視圖呈軸對(duì)稱圖形，如圖2所示，已知屋檐米，屋頂E到支點(diǎn)C的距離米，墻體高米，屋面坡角．（參考數(shù)值：）(1)求房屋內(nèi)部寬度的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)A與屋面的距離．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）如圖，過(guò)E作，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)H，則，運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形可得，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解答；（2）如圖，過(guò)A作，交于點(diǎn)I．再解直角三角形可得的長(zhǎng)，然后再求得，最后根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)E作，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)H，則，則在中，(米)，∵是等腰三角形，∴(米)．∵四邊形是矩形，∴(米)；（2）解：如圖，過(guò)A作，交于點(diǎn)I．在中，(米)，在中，(米)，∴(米)，∴(米)，即點(diǎn)A到屋面的距離約為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）露營(yíng)愛(ài)好者在露營(yíng)時(shí)為遮陽(yáng)和防雨會(huì)借助垂直于地面的樹(shù)干搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支撐桿，用繩子拉直后系在樹(shù)干上的點(diǎn)A處，使得A，C，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)A的高度可控制“天幕”的開(kāi)合，若米，于點(diǎn)O（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)天晴時(shí)打開(kāi)“天幕”，若，求遮陽(yáng)寬度EF；（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，由減小到，求點(diǎn)O下降的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根據(jù)三線合一求出，解直角三角形求出，可得；（2）解直角三角形求出，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)H，再解直角三角形求出，根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴平分，，∵，∴，在中，，∵米，∴米，則米，故遮陽(yáng)寬度為米．

（2）∵在中，，∴米，當(dāng)從變?yōu)?，如圖所示：旋轉(zhuǎn)到，則，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)H，則，∵在中，，∴米，∵，∴米，∴O點(diǎn)下降到H點(diǎn)的距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于抽象出直角三角形并正確的運(yùn)算．類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合例題：（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖1，是一電動(dòng)門(mén)，當(dāng)它水平下落時(shí)，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時(shí)它與出入口等寬，與地面的距離；當(dāng)它抬起時(shí)，變?yōu)槠叫兴倪呅?，如圖3所示，此時(shí)，與水平方向的夾角為60°．(1)求點(diǎn)到地面的距離；(2)一輛高，寬的汽車從該入口進(jìn)入時(shí)，汽車需要與保持的安全距離，此時(shí)，汽車能否安全通過(guò)，若能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)汽車能安全通過(guò)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，；（2）在上取，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)汽車與保持安全距離時(shí)，∵汽車寬度為，，，，，，∴汽車能安全通過(guò).【變式訓(xùn)練1】（2024·寧夏銀川·二模）如圖1是某旅游景點(diǎn)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)雕塑的高為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形．得出．，在中，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，．∴四邊形為平行四邊形．（2）過(guò)點(diǎn)作于，∵四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．在中，，即，∴．答：雕塑的高為．【變式訓(xùn)練2】（2024·江西吉安·二模）現(xiàn)如今，許多鄉(xiāng)村、社區(qū)都安裝了健身器材．如圖1，這是健身器材中的騎馬機(jī)，它是一種利用曲軸連桿機(jī)構(gòu)原理，模擬人體在騎馬狀態(tài)下前后“字”立體搖擺，從而達(dá)到全身有氧運(yùn)動(dòng)的新型健身器材，其側(cè)面的簡(jiǎn)圖如圖2所示，已知，，．(1)若．求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，，求點(diǎn)到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是平行四邊形、三線合一、等邊對(duì)等角【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和得，，繼而得到，即可得證；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，在中，得到，在中，得到，繼而得到，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)到的距離為的長(zhǎng)，∵，，∴在中，，∵，，，∴，∴在中，，∴，∴，∴點(diǎn)到的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定，等腰三角形性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合例題：（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知，，M，N，P，Q四點(diǎn)分別是的中點(diǎn)（N，P兩點(diǎn)也分別在和上），底座，垂足為O，經(jīng)測(cè)量，，，．(1)求證：四邊形為菱形．(2)求折疊資料架的高（點(diǎn)A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)折疊資料架的高約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形可得四邊形為菱形，即可解答；（2）先利用線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)題意可得：，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形；（2）解：如圖：∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，由題意得：，，，在中，，∴，∴，∴折疊資料架的高約為．【變式訓(xùn)練1】（2024·吉林·二模）如圖1是汽車內(nèi)常備的千斤頂，圖2是它的平面示意圖，四邊形是菱形，中間通過(guò)螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變線段的長(zhǎng)度，同時(shí)改變的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋袋c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）．(2)從增加到時(shí)，這個(gè)千斤頂高度升高了______cm（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)的長(zhǎng)約為(2)13【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形是菱形，得到，根據(jù)，解答即可．（2）連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形是菱形，當(dāng)?shù)玫剑鶕?jù)，當(dāng)?shù)玫?，根?jù)，解答即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴．故千斤頂升高了，故答案為：13．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·廣西柳州·階段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門(mén)口搭建如圖1所示的遮陽(yáng)棚，圖2、圖3是遮陽(yáng)棚支架的示意圖．遮陽(yáng)棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長(zhǎng)的立柱上下移動(dòng)，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動(dòng)滑塊使，求棚寬的長(zhǎng)（精確到）．(2)在遮陽(yáng)棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測(cè)溫門(mén)（門(mén)高），門(mén)的頂端應(yīng)與點(diǎn)持平或低于點(diǎn)，試問(wèn)此時(shí)最大為多少度？【答案】(1)(2)的最大值為【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根據(jù)，由此即可求解；（2）如圖所示，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如圖所示，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，∴，∴，∴，即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)的計(jì)算的綜合，掌握直角三角形與勾股定理，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合例題：（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個(gè)如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個(gè)近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點(diǎn)在水平地面上，與水平地面平行，，求點(diǎn)到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長(zhǎng)交水平地面于點(diǎn)，連接．利用正切函數(shù)求得的長(zhǎng)，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交水平地面于點(diǎn)，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點(diǎn)到水平地面的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對(duì)等角；（2）通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式訓(xùn)練1】（2024·浙江溫州·二模）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開(kāi)后備箱的過(guò)程中，箱蓋可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，落在的位置（如圖2所示）．已知，，．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，求點(diǎn)E到點(diǎn)的距離．(2)已知箱蓋可旋轉(zhuǎn)的最大角度是，求此時(shí)點(diǎn)到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．（1）連接，，，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可得出是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出，在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度，結(jié)合可得出、兩點(diǎn)的距離；（2）過(guò)點(diǎn)作于，交于，則，，由題意可知，，．解直角，利用正弦函數(shù)定義解答即可．【詳解】（1）解：連接，，，如圖所示．由題意得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．答：、兩點(diǎn)的距離是厘米；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，交于，則，，由題意可知：，．在中，，（厘米），（厘米）．答：點(diǎn)到的距離約為157.3厘米．【變式訓(xùn)練2】（2024·四川瀘州·一模）某小區(qū)門(mén)口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1，四邊形為矩形，長(zhǎng)3米，長(zhǎng)1米，與水平地面垂直．道閘打開(kāi)的過(guò)程中，邊固定，連桿，分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，邊上一點(diǎn)到的距離為米，到地面的距離為1.2米，求點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)．(2)一輛轎車過(guò)道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為0.2米(2)轎車能駛?cè)胄^(qū)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建直角三角形解題是關(guān)鍵；（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明，在中，米，，再進(jìn)一步可得答案；（2）當(dāng)，米時(shí)，可得，求解米，在中，求解米，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

結(jié)合題意得：，，，在中，米，（米），米，（米），點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為0.2米；（2）轎車能駛?cè)胄^(qū)理由：當(dāng)，米時(shí)∵，米（米），在中，（米），（米），轎車能駛?cè)胄^(qū)．類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合例題：（2024·山東煙臺(tái)·一模）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M.如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到樹(shù)的距離，.求樹(shù)的高度.【答案】樹(shù)的高度約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解，得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：樹(shù)的高度約為．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）在測(cè)量旗桿高度的活動(dòng)課上，某興趣小組自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量旗桿高度，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量旗桿高度的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)B、A與旗桿頂點(diǎn)P在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)N．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到旗桿的距離．(1)若點(diǎn)N于點(diǎn)C重合，則旗桿的高度為_(kāi)_______；(2)若．求旗桿的高度(結(jié)果精確到)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用；（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠，得到，求得，于是得到結(jié)論；（2）由題意可知，，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，答：旗桿的高度為；故答案為：；（2）由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：旗桿的高度．【變式訓(xùn)練2】（2023春·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長(zhǎng)廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測(cè)得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結(jié)論；（2）作于點(diǎn)M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點(diǎn)M，

在中，，，得

，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合例題：（2024·上海寶山·一模）如圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，，，．(1)求：的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，通過(guò)解求得，根據(jù)與3比較即可得解．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，，，又，，在中，，，該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．【變式訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)上·上海嘉定·期中）好的座椅可以讓人坐著更舒適．交大附中教師辦公室座椅如圖1所示，它的主要組成有支撐部分、座面和椅背，座面和椅背均可以進(jìn)行調(diào)節(jié)．其縱截面如圖2所示，支撐部分，與水平地面垂直，，，，．(1)求點(diǎn)D距離地面的高度；(2)相較于座面水平、椅背豎直的情況，座面稍向下傾斜，椅背與座面的夾角略大于時(shí)，坐起來(lái)更加舒適．已知當(dāng)座椅的座面與水平面的夾角為，座面與椅背的夾角為時(shí)坐起來(lái)最舒適，求坐起來(lái)最舒適時(shí)點(diǎn)H距離地面的高度（小數(shù)點(diǎn)后保留1位小數(shù)）．【答案】(1)點(diǎn)距離地面的高度為(2)點(diǎn)距離地面的高度【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)交于，則，在中，解直角三角形即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，則，在，中，分別解直角三角形即可求解．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交于，則，∵，∴，∴，則點(diǎn)距離地面的高度為；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，則，∴，則，在中，，∴，∵，∴，在中，，則，∴點(diǎn)距離地面的高度．【變式訓(xùn)練2】（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）隨著時(shí)代的發(fā)展，手機(jī)“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強(qiáng)勁的購(gòu)物新潮流．某種手機(jī)支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)如圖2，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，時(shí)，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點(diǎn)距離地面的高度；(2)調(diào)節(jié)支桿，懸桿，使得，，如圖3所示，且點(diǎn)到地面的距離為，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）【答案】(1)端點(diǎn)距離地面的高度約為；(2)的長(zhǎng)約為．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知易得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意得：，，，從而可得，進(jìn)而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用平角定義可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，在中，，，，，端點(diǎn)距離地面的高度約為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：，，，，，，，，，，，，，在中，，答：的長(zhǎng)約為．壓軸能力測(cè)評(píng)（14題）一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃制作一個(gè)款式如圖1所示的風(fēng)箏：圖2是其風(fēng)箏骨架示意圖，已知兩條側(cè)翼，的長(zhǎng)為60，夾角為，平分，則側(cè)翼兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、三線合一【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角函數(shù)的知識(shí)是解題關(guān)鍵．設(shè)與交于點(diǎn)，，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，，，然后在中求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，∵兩條側(cè)翼，的長(zhǎng)為60，夾角為，平分，∴，，，，∵在中，，∴，∴，∴即兩點(diǎn)間的距離為．故選：D．2．（2024·廣東深圳·三模）人體工學(xué)椅提出正確的座墊高度須將座墊高度調(diào)整到人的雙腳能平放于地面，且大腿之彎曲角度呈現(xiàn)．如圖是一男士座椅情況和示意圖，若，該椅子座墊高度還要升高多少，才符合體工學(xué)椅的要求（）A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．如圖：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，根據(jù)題意可得然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系即可解答．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，由題意得：，在中，，∴，∴該椅子座墊高度還要升高的高度，故選：C．二、填空題3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圖1是一盞臺(tái)燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），其中燈臂，燈罩，燈臂與底座構(gòu)成的．可以繞點(diǎn)上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)與水平線所成的角為時(shí)，臺(tái)燈光線最佳，則此時(shí)點(diǎn)與桌面的距離是．（結(jié)果精確到，取1.732）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于F，過(guò)點(diǎn)作于E，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求出和的長(zhǎng)，再由矩形的判定和性質(zhì)得到，最后根據(jù)線段的和差計(jì)算出的長(zhǎng)，問(wèn)題得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于F，過(guò)點(diǎn)作于E，在中，，，∵∴(cm)，在中，，，∵，∴(cm)，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴(cm)．點(diǎn)與桌面的距離約為，故答案為：．4．（24-25九年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）如圖1是三星堆遺址出土的陶盉（hè），圖2是其示意圖．已知管狀短流，四邊形是器身，，，，．器身底部CD距地面的高度為，則該陶盉管狀短流口距地面的高度約為．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，求出，根據(jù)，求出，根據(jù)，，求出，根據(jù)該陶盉管狀短流口距地面的高度為：，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴該陶盉管狀短流口距地面的高度為：．故答案為：．三、解答題5．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書(shū)》中記載了中國(guó)古代的一種采桑工具—桑梯，其簡(jiǎn)單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔?，將夾角α調(diào)整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點(diǎn)、此時(shí)農(nóng)夫站在離頂端D處的E處時(shí)可以高效且安全地采桑．求此時(shí)農(nóng)夫所在的E處到地面的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于，先利用三角形內(nèi)角和等邊對(duì)等角求出，，解直角三角形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．6．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）隨著人民生活質(zhì)量的不斷提高，國(guó)家越來(lái)越重視“全民運(yùn)動(dòng)”，其中籃球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)深受市民喜歡的球類運(yùn)動(dòng)，圖1，圖2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知，，，，，籃板頂端P點(diǎn)到籃框F的距離，支架垂直水平地面，支架與水平地面平行，求籃框F到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】籃框F到水平地面的距離約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，先求出，再解得到，根據(jù)線段的和差關(guān)系得到，據(jù)此求出的值即可得到答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．由題意可知，，．在，，，．，，，，∴籃框F到水平地面的距離約為．7．（2024·河南周口·一模）2024年春節(jié)前夕，哈爾濱旅游市場(chǎng)的火熱帶動(dòng)了全國(guó)“冰雪旅游”的繁榮，某地準(zhǔn)備依山建設(shè)一個(gè)滑雪場(chǎng)帶動(dòng)本地旅游的發(fā)展．如圖，小山的山腰上有一個(gè)平臺(tái)長(zhǎng)為45m，從點(diǎn)C看山頂A的仰角為，山坡的坡度為，該地準(zhǔn)備利用斜坡建設(shè)一個(gè)滑雪場(chǎng)，且的長(zhǎng)度為，若點(diǎn)D到地面的垂線段與構(gòu)成的四邊形恰好為正方形時(shí)，且圖中各點(diǎn)均在一個(gè)平面內(nèi)，求小山的高度．（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】小山的高度約為【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、仰角俯角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正方形的性質(zhì)，先解直角三角形得到，設(shè)，則，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性質(zhì)推出，解直角三角形求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：∵山坡的坡度為，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理，∴解得或（舍去），∴，四邊形為正方形，，∴，在中，，，，答：小山的高度約為．8．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·期中）風(fēng)能是一種清潔無(wú)公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保．如圖1所示，是一種風(fēng)力發(fā)電裝置；如圖2為簡(jiǎn)化圖，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三點(diǎn)共線），坡面長(zhǎng)，三個(gè)相同長(zhǎng)度的風(fēng)輪葉片，，可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角為；當(dāng)葉片靜止，與重合時(shí)，在坡底F處向前走米至點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)處的仰角為，又向前走米至點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)處的仰角為（點(diǎn)，，，在同一水平線上）．(1)求葉片的長(zhǎng)；(2)在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（如圖3），求葉片頂端離水平地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)(2)葉片頂端C離水平地面的距離為【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、仰角俯角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）利用坡比可求出、的長(zhǎng)，在或中，利用和的正切值分別求出、的長(zhǎng)即可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于，可得四邊形是矩形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，利用的余弦值可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）解：∵垂直于水平地面，∴，∵坡比，∴，設(shè)，則，∵坡面長(zhǎng)，∴，解得：，（負(fù)值舍去）∴，，∵，∴，由題意得：，∴，∵，∴．由題意得：，∴，∴．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵葉片繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，∴，∵，∴，由題意得：，∴，∴．∴葉片頂端離水平地面的距離為．9．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖是小強(qiáng)洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖，洗漱臺(tái)（矩形靠墻擺放，高，寬，小強(qiáng)身高，下半身，洗漱時(shí)下半身與地面成，身體前傾成，腳與洗漱臺(tái)距離（點(diǎn)，，，在同一直線上）．，，

(1)此時(shí)小強(qiáng)頭部E點(diǎn)與地面相距多少？(2)小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆的中點(diǎn)O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？【答案】(1)小強(qiáng)頭部點(diǎn)與地面相距約為(2)小強(qiáng)應(yīng)向前．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．求出、的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求出、的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，

，，，，，，，，，即此時(shí)小強(qiáng)頭部點(diǎn)與地面相距約為；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，為中點(diǎn)，，，，，，，，即小強(qiáng)應(yīng)向前．10．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）圖①是常見(jiàn)的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過(guò)時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過(guò)．圖②是兩圓弧翼展開(kāi)時(shí)的截面圖，扇形和扇形是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對(duì)稱，和均垂直于地面，，半徑，點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，且它們之間的距離為．(1)求閘機(jī)通道的寬度，即與之間的距離；(2)若點(diǎn)B、E到地面的距離均為20cm，求A到地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到0.1cm)【答案】(1)(2)72.8cm【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵書(shū)作輔助線．（1）連接，并向兩邊延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)M，N，由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得，在中，，，進(jìn)行解答即可．（2）過(guò)點(diǎn)A作垂直于地面于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，在中，，，即可求出距離．【詳解】（1）如圖,連接，并向兩邊延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)M，N，由題意點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，，垂直于地面，可得，，∴的長(zhǎng)度就是與之間的距離，由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得，在中，，，，，∴，∴，∴與之間的距離約為．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂直于地面于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，∴可得，在中，，，，，∴，∵點(diǎn)B，E到地面的距離均為20cm，∴，∴．答:點(diǎn)A到地面的距離約為72.8cm．11．（2022·浙江杭州·二模）如圖1所示的晾衣架，支架的基本圖形是菱形．如圖2，晾衣架伸縮時(shí)，點(diǎn)在射線上滑動(dòng)，菱形的形狀也隨之發(fā)生變化．已知每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均等于，且．(1)求證：相鄰兩根晾衣架之間的水平距離（、）相等；(2)當(dāng)晾衣架沿著方向平移時(shí)，的度數(shù)逐漸減?。魪?20°逐漸減小到60°時(shí)，求點(diǎn)在射線上移動(dòng)的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、利用菱形的性質(zhì)證明、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）如圖所示，連接AC，NH，只需要證明四邊形ANHB是平行四邊形，得到AB=NH，同理可證四邊形BCHN是平行四邊形，得到BC=NH，即可證明結(jié)論；（2）分別求出當(dāng)∠CFG=120°時(shí)，當(dāng)∠CFG=60°時(shí)DE的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，連接AC，NH，∵四邊形BNMH是菱形，∴，又∵AN=BH，∴四邊形ANHB是平行四邊形，∴AB=NH，同理可證四邊形BCHN是平行四邊形，∴BC=NH，∴AB=BC；（2）解：如圖1所示，當(dāng)∠CFG=120°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥DE于Q，∴∠DFE=120°，∵DF=EF，∴，∠EFQ=60°，∴；∴；如圖2所示，當(dāng)∠CFG=60°時(shí)，同理可求得，∴點(diǎn)在射線上移動(dòng)的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂的長(zhǎng)．卸貨時(shí)，貨廂繞點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)處）的水平距離叫做安全軸距，測(cè)得該車的安全軸距為．貨廂對(duì)角線，的交點(diǎn)可視為貨廂的重心，測(cè)得．假設(shè)該車在水平地面上進(jìn)行卸貨作業(yè)．(1)若，求點(diǎn)B到的距離；(2)卸貨