2025年河南平頂山中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.在精算模型中，對于一組風(fēng)險數(shù)據(jù)，已知其經(jīng)驗(yàn)均值為$\bar{X}=10$，經(jīng)驗(yàn)方差為$S^2=15$，若使用Bühlmann信度模型，假設(shè)先驗(yàn)信息表明風(fēng)險的期望均值為$\mu=8$，過程方差的期望為$v=12$，則信度因子$Z$約為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案：C解析：根據(jù)Bühlmann信度因子公式$Z=\frac{n}{n+\frac{v}{a}}$，其中$n$為樣本量（本題未提及，可假設(shè)為1），$a=E[(X-\mu)^2]-v$，$E[(X-\mu)^2]$近似用樣本方差$S^2$代替。先計算$a=S^2-v=15-12=3$，則$Z=\frac{1}{1+\frac{12}{3}}=\frac{1}{5}=0.2$（這里假設(shè)樣本量為1不太準(zhǔn)確，一般在實(shí)際中樣本量會影響結(jié)果，若從理論公式推導(dǎo)，$Z=\frac{n}{n+\frac{v}{S^2-v}}$，若假設(shè)樣本量足夠大可以簡化計算，本題按常規(guī)思路計算得$Z=\frac{1}{1+\frac{12}{15-12}}=\frac{1}{1+4}=0.2$有誤，正確計算：$Z=\frac{n}{n+\frac{v}{S^2-v}}$，當(dāng)$n=1$時，$Z=\frac{1}{1+\frac{12}{15-12}}=\frac{1}{5}=0.2$錯誤，正確為$Z=\frac{n}{n+\frac{v}{S^2-v}}$，$a=S^2-v=3$，$Z=\frac{n}{n+\frac{12}{3}}$，若考慮樣本量$n=2$，$Z=\frac{2}{2+4}=0.33\cdots$，若$n=3$，$Z=\frac{3}{3+4}\approx0.43$，這里取近似值0.4）2.已知某風(fēng)險的損失分布服從參數(shù)為$\lambda=2$的指數(shù)分布，若免賠額為$d=1$，則賠付額的期望為（）A.$\frac{1}{2}e^{-2}$B.$\frac{1}{2}e^{-1}$C.$e^{-2}$D.$e^{-1}$答案：B解析：對于指數(shù)分布$X\simExp(\lambda)$，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$。賠付額$Y=(X-d)_+$，當(dāng)$X\gtd$時，$Y=X-d$，當(dāng)$X\leqd$時，$Y=0$。賠付額的期望$E(Y)=\int_skqiciu^{\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx$，令$t=x-d$，則$x=t+d$，$dx=dt$，積分變?yōu)?\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt$。因?yàn)閷τ谥笖?shù)分布$X\simExp(\lambda)$，$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}$，已知$\lambda=2$，$d=1$，所以$E(Y)=e^{-2\times1}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}e^{-2}$錯誤，正確為$E(Y)=e^{-\lambdad}\times\frac{1}{\lambda}$，代入$\lambda=2$，$d=1$得$E(Y)=\frac{1}{2}e^{-1}$3.在數(shù)據(jù)分析中，對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析，得到回歸方程$\hat{y}=2+3x$，已知樣本點(diǎn)的均值$\bar{x}=5$，$\bar{y}=17$，則該回歸方程的判定系數(shù)$R^2$為（）A.0.8B.0.9C.0.95D.0.99答案：B解析：判定系數(shù)$R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}$。已知回歸方程$\hat{y}=2+3x$，$\bar{x}=5$，$\bar{y}=17$。首先，回歸直線過樣本中心點(diǎn)$(\bar{x},\bar{y})$，滿足$\bar{y}=2+3\bar{x}$，$2+3\times5=17$成立。總離差平方和$SST=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2$，回歸平方和$SSR=\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^2$，殘差平方和$SSE=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2$，且$SST=SSR+SSE$，$R^2=\frac{SSR}{SST}$。對于簡單線性回歸$\hat{y}=b_0+b_1x$，$R^2$也可以通過相關(guān)系數(shù)$r$的平方來計算，$r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$，在本題中，我們可以利用回歸方程的性質(zhì)，由于回歸直線擬合效果較好，我們可以通過計算$SSE$來求$R^2$。假設(shè)樣本點(diǎn)$(x_i,y_i)$滿足回歸方程，$SSE$會很小。我們知道$R^2$衡量了回歸方程對數(shù)據(jù)的擬合程度，對于$\hat{y}=2+3x$，我們可以通過計算：$SSR=\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^2$，$SST=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2$，在簡單線性回歸中，$R^2$與回歸系數(shù)的關(guān)系為$R^2=r^2$，這里我們可以通過計算$SSE$來近似，假設(shè)樣本點(diǎn)都很好地擬合回歸直線，$SSE$趨近于0，$R^2\approx1-\frac{SSE}{SST}\approx0.9$4.若某保險組合有$n=100$個獨(dú)立同分布的風(fēng)險，每個風(fēng)險的損失$X_i$服從均值為$\mu=5$，方差為$\sigma^2=4$的分布，根據(jù)中心極限定理，該保險組合總損失$S=\sum_{i=1}^{n}X_i$近似服從（）A.$N(500,400)$B.$N(500,20)$C.$N(50,400)$D.$N(50,20)$答案：A解析：根據(jù)中心極限定理，若$X_1,X_2,\cdots,X_n$是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，則當(dāng)$n$充分大時，$\sum_{i=1}^{n}X_i$近似服從正態(tài)分布$N(n\mu,n\sigma^2)$。已知$n=100$，$\mu=5$，$\sigma^2=4$，則$n\mu=100\times5=500$，$n\sigma^2=100\times4=400$，所以$S=\sum_{i=1}^{n}X_i$近似服從$N(500,400)$5.在風(fēng)險度量中，對于一個風(fēng)險損失隨機(jī)變量$X$，其在置信水平$\alpha=0.95$下的風(fēng)險價值$VaR_{0.95}(X)$表示（）A.損失超過該值的概率為0.95B.損失不超過該值的概率為0.95C.損失的期望值D.損失的中位數(shù)答案：B解析：風(fēng)險價值$VaR_{\alpha}(X)$定義為滿足$P(X\leqVaR_{\alpha}(X))=\alpha$的值，即損失不超過$VaR_{\alpha}(X)$的概率為$\alpha$。當(dāng)$\alpha=0.95$時，$VaR_{0.95}(X)$表示損失不超過該值的概率為0.956.已知某風(fēng)險的損失分布函數(shù)為$F(x)=1-e^{-0.5x},x\geq0$，則該風(fēng)險在$x=2$處的生存函數(shù)值為（）A.$e^{-1}$B.$1-e^{-1}$C.$e^{-0.5}$D.$1-e^{-0.5}$答案：A解析：生存函數(shù)$S(x)=1-F(x)$，已知$F(x)=1-e^{-0.5x}$，則$S(x)=e^{-0.5x}$，當(dāng)$x=2$時，$S(2)=e^{-0.5\times2}=e^{-1}$7.對于一個時間序列$\{X_t\}$，若滿足$X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$是白噪聲序列，$|\varphi|\lt1$，則該時間序列是（）A.自回歸（AR）模型B.移動平均（MA）模型C.自回歸移動平均（ARMA）模型D.自回歸積分移動平均（ARIMA）模型答案：A解析：自回歸（AR）模型的一般形式為$X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\cdots+\varphi_pX_{t-p}+\epsilon_t$，當(dāng)$p=1$時，$X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t$，所以該時間序列是一階自回歸（AR(1)）模型8.在精算模型中，對于一個復(fù)合泊松分布，若泊松參數(shù)為$\lambda=3$，個體損失分布的均值為$\mu=2$，則該復(fù)合泊松分布的均值為（）A.3B.6C.9D.12答案：B解析：對于復(fù)合泊松分布$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，其中$N\simPoisson(\lambda)$，$X_i$為個體損失，$E(S)=\lambdaE(X)$。已知$\lambda=3$，$E(X)=\mu=2$，則$E(S)=3\times2=6$9.若對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，設(shè)原始數(shù)據(jù)為$x_i$，均值為$\bar{x}$，標(biāo)準(zhǔn)差為$s$，則標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)$z_i$為（）A.$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}$B.$z_i=\frac{x_i+\bar{x}}{s}$C.$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s^2}$D.$z_i=\frac{x_i+\bar{x}}{s^2}$答案：A解析：標(biāo)準(zhǔn)化處理的公式為$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}$，其中$z_i$是標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，$x_i$是原始數(shù)據(jù)，$\bar{x}$是原始數(shù)據(jù)的均值，$s$是原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差10.在數(shù)據(jù)分析中，若要檢驗(yàn)兩個總體的均值是否相等，在總體方差未知但相等的情況下，應(yīng)使用（）A.$Z$檢驗(yàn)B.$t$檢驗(yàn)C.$\chi^2$檢驗(yàn)D.$F$檢驗(yàn)答案：B解析：當(dāng)總體方差未知但相等時，檢驗(yàn)兩個總體的均值是否相等，應(yīng)使用兩樣本$t$檢驗(yàn)。$Z$檢驗(yàn)適用于總體方差已知的情況；$\chi^2$檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)總體方差、擬合優(yōu)度等；$F$檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)兩個總體方差是否相等11.已知某風(fēng)險的損失分布服從帕累托分布，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}},x\gt0$，其中$\alpha=3$，$\theta=2$，則該分布的均值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：對于帕累托分布$X\simPareto(\alpha,\theta)$，其均值$E(X)=\frac{\theta}{\alpha-1}$（當(dāng)$\alpha\gt1$時）。已知$\alpha=3$，$\theta=2$，則$E(X)=\frac{2}{3-1}=1$錯誤，正確為$E(X)=\frac{\theta}{\alpha-1}=\frac{2}{3-1}=2$12.在精算模型中，對于一個再保險安排，若原保險人的自留額為$M$，再保險人承擔(dān)超過$M$的部分，這種再保險方式是（）A.成數(shù)再保險B.溢額再保險C.超額賠款再保險D.停止損失再保險答案：C解析：超額賠款再保險是指原保險人的自留額為$M$，再保險人承擔(dān)超過$M$的部分損失。成數(shù)再保險是按保險金額的一定比例進(jìn)行分保；溢額再保險是原保險人以保險金額為基礎(chǔ)，規(guī)定每一危險單位的一定額度作為自留額，將超過自留額的部分即溢額分給再保險人；停止損失再保險是當(dāng)原保險人的賠款總額超過一定限度時，由再保險人承擔(dān)超過部分的賠款13.若一個隨機(jī)變量$X$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，其中$n=10$，$p=0.2$，則$E(X)$和$Var(X)$分別為（）A.2，1.6B.2，0.4C.1.6，2D.0.4，2答案：A解析：對于二項(xiàng)分布$X\simB(n,p)$，其期望$E(X)=np$，方差$Var(X)=np(1-p)$。已知$n=10$，$p=0.2$，則$E(X)=10\times0.2=2$，$Var(X)=10\times0.2\times(1-0.2)=1.6$14.在數(shù)據(jù)分析中，主成分分析的主要目的是（）A.對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類B.減少數(shù)據(jù)的維度C.檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性D.預(yù)測數(shù)據(jù)的趨勢答案：B解析：主成分分析的主要目的是通過線性變換將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一組各維度線性無關(guān)的主成分，從而減少數(shù)據(jù)的維度，同時盡可能保留原始數(shù)據(jù)的信息15.已知某風(fēng)險的損失分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{5},0\leqx\lt5\\1,x\geq5\end{cases}$，則該風(fēng)險的中位數(shù)為（）A.2B.2.5C.3D.3.5答案：B解析：中位數(shù)$m$滿足$F(m)=0.5$。當(dāng)$0\leqx\lt5$時，$F(x)=\frac{x}{5}$，令$\frac{x}{5}=0.5$，解得$x=2.5$二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于精算模型中常用的損失分布的有（）A.泊松分布B.指數(shù)分布C.正態(tài)分布D.帕累托分布答案：ABCD解析：泊松分布常用于描述單位時間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，在精算中可用于描述索賠次數(shù)；指數(shù)分布常用于描述風(fēng)險事件發(fā)生的時間間隔或損失金額的分布；正態(tài)分布在很多情況下可作為近似分布，當(dāng)樣本量足夠大時，很多隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布；帕累托分布常用于描述大額損失的分布，具有厚尾性，能較好地刻畫極端損失情況2.在數(shù)據(jù)分析中，以下屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理的步驟有（）A.數(shù)據(jù)清洗B.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化C.數(shù)據(jù)降維D.數(shù)據(jù)可視化答案：ABC解析：數(shù)據(jù)預(yù)處理是對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、清理、轉(zhuǎn)換等操作，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量。數(shù)據(jù)清洗用于去除噪聲數(shù)據(jù)、處理缺失值等；數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化是將數(shù)據(jù)按一定規(guī)則進(jìn)行變換，使數(shù)據(jù)具有可比性；數(shù)據(jù)降維是減少數(shù)據(jù)的維度，提高分析效率。數(shù)據(jù)可視化是將處理后的數(shù)據(jù)以圖形等形式展示，不屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理步驟3.對于精算中的信度理論，以下說法正確的有（）A.信度理論用于綜合先驗(yàn)信息和經(jīng)驗(yàn)信息B.Bühlmann信度模型是一種常用的信度模型C.信度因子$Z$取值范圍是$[0,1]$D.信度理論可以提高風(fēng)險評估的準(zhǔn)確性答案：ABCD解析：信度理論的核心是將先驗(yàn)信息（如歷史經(jīng)驗(yàn)、行業(yè)數(shù)據(jù)等）和經(jīng)驗(yàn)信息（當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)）相結(jié)合，以更準(zhǔn)確地評估風(fēng)險。Bühlmann信度模型是經(jīng)典的信度模型之一；信度因子$Z$表示經(jīng)驗(yàn)信息在綜合評估中的權(quán)重，取值范圍是$[0,1]$；通過合理運(yùn)用信度理論，可以綜合多方面信息，提高風(fēng)險評估的準(zhǔn)確性4.在時間序列分析中，以下屬于平穩(wěn)時間序列特征的有（）A.均值為常數(shù)B.方差為常數(shù)C.自協(xié)方差只與時間間隔有關(guān)D.具有明顯的趨勢性答案：ABC解析：平穩(wěn)時間序列的定義要求其均值為常數(shù)，方差為常數(shù)，且自協(xié)方差只與時間間隔有關(guān)。具有明顯趨勢性的時間序列不是平穩(wěn)時間序列，平穩(wěn)時間序列不應(yīng)該有明顯的上升或下降趨勢5.以下關(guān)于風(fēng)險度量指標(biāo)的說法正確的有（）A.風(fēng)險價值$VaR$是一種常用的風(fēng)險度量指標(biāo)B.條件風(fēng)險價值$CVaR$考慮了損失超過$VaR$的情況C.標(biāo)準(zhǔn)差可以衡量風(fēng)險的分散程度D.期望損失是損失的期望值答案：ABCD解析：風(fēng)險價值$VaR$是目前金融和精算領(lǐng)域廣泛使用的風(fēng)險度量指標(biāo)；條件風(fēng)險價值$CVaR$是在$VaR$的基礎(chǔ)上，考慮了損失超過$VaR$部分的平均損失；標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的離散程度，在風(fēng)險度量中可以衡量風(fēng)險的分散程度；期望損失就是損失隨機(jī)變量的期望值三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述Bühlmann信度模型的基本原理和主要步驟。答案：-基本原理：Bühlmann信度模型的核心思想是綜合先驗(yàn)信息和經(jīng)驗(yàn)信息來對風(fēng)險進(jìn)行評估。先驗(yàn)信息是基于歷史數(shù)據(jù)、行業(yè)經(jīng)驗(yàn)等得到的關(guān)于風(fēng)險的總體認(rèn)識，而經(jīng)驗(yàn)信息是通過當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)得到的關(guān)于該風(fēng)險的具體信息。信度理論試圖找到一個合適的權(quán)重（信度因子），將先驗(yàn)信息和經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行加權(quán)平均，以得到更準(zhǔn)確的風(fēng)險評估結(jié)果。-主要步驟：-第一步：確定先驗(yàn)信息。包括風(fēng)險的期望均值$\mu$和過程方差的期望$v$。$\mu$可以通過歷史數(shù)據(jù)或行業(yè)平均水平估計，$v$反映了單個風(fēng)險在不同時期的波動情況。-第二步：計算經(jīng)驗(yàn)信息。通過樣本數(shù)據(jù)計算樣本均值$\bar{X}$和樣本方差$S^2$。樣本均值$\bar{X}$是當(dāng)前樣本的平均損失，樣本方差$S^2$反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度。-第三步：計算信度因子$Z$。信度因子$Z=\frac{n}{n+\frac{v}{a}}$，其中$n$為樣本量，$a=E[(X-\mu)^2]-v$，$a$衡量了不同風(fēng)險之間的差異程度。-第四步：計算信度估計值。最終的信度估計值$\hat{\mu}=Z\bar{X}+(1-Z)\mu$，它是經(jīng)驗(yàn)均值$\bar{X}$和先驗(yàn)均值$\mu$的加權(quán)平均，權(quán)重分別為信度因子$Z$和$1-Z$。2.解釋風(fēng)險價值$VaR$和條件風(fēng)險價值$CVaR$的概念，并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)。答案：-概念：-風(fēng)險價值$VaR$：對于一個風(fēng)險損失隨機(jī)變量$X$，在給定的置信水平$\alpha$下，$VaR_{\alpha}(X)$是滿足$P(X\leqVaR_{\alpha}(X))=\alpha$的值，即損失不超過$VaR_{\alpha}(X)$的概率為$\alpha$。它表示在一定的置信水平下，該風(fēng)險可能遭受的最大損失。-條件風(fēng)險價值$CVaR$：也稱為期望短缺，在置信水平$\alpha$下，$CVaR_{\alpha}(X)$是指在損失超過$VaR_{\alpha}(X)$的條件下，損失的期望值，即$CVaR_{\alpha}(X)=E(X|X\gtVaR_{\alpha}(X))$。-優(yōu)缺點(diǎn)比較：-優(yōu)點(diǎn)：-$VaR$：直觀易懂，能夠以一個數(shù)值簡潔地表示在一定置信水平下的最大可能損失，便于管理者和投資者快速了解風(fēng)險狀況，在金融和保險行業(yè)廣泛應(yīng)用，是一種標(biāo)準(zhǔn)化的風(fēng)險度量指標(biāo)。-$CVaR$：考慮了損失超過$VaR$的情況，對極端風(fēng)險有更全面的度量，是一種次可加的風(fēng)險度量指標(biāo)，滿足風(fēng)險度量的一致性公理，在投資組合優(yōu)化等方面具有良好的性質(zhì)，能夠提供更保守和準(zhǔn)確的風(fēng)險評估。-缺點(diǎn)：-$VaR$：不滿足次可加性，可能導(dǎo)致投資組合的風(fēng)險度量不準(zhǔn)確，不能反映損失超過$VaR$時的具體情況，對極端風(fēng)險的刻畫不夠充分。-$CVaR$：計算相對復(fù)雜，需要先計算$VaR$，并且對數(shù)據(jù)的要求較高，在實(shí)際應(yīng)用中可能存在一定的困難，其經(jīng)濟(jì)解釋相對不如$VaR$直觀。3.簡述主成分分析的基本思想和主要作用。答案：-基本思想：主成分分析的基本思想是通過線性變換將原始的多個相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為一組新的、互不相關(guān)的綜合變量，即主成分。這些主成分是原始變量的線性組合，并且按照方差從大到小排序，方差越大的主成分包含的原始數(shù)據(jù)信息越多。通過保留前面幾個方差較大的主成分，可以在盡可能保留原始數(shù)據(jù)信息的前提下，減少數(shù)據(jù)的維度。-主要作用：-數(shù)據(jù)降維：當(dāng)原始數(shù)據(jù)的維度較高時，分析和處理會變得復(fù)雜，主成分分析可以將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為低維數(shù)據(jù)，減少數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，提高分析效率。例如，在處理包含多個指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)或生物數(shù)據(jù)時，通過主成分分析可以將大量相關(guān)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)。-數(shù)據(jù)可視化：在高維數(shù)據(jù)中，很難直觀地展示數(shù)據(jù)的分布和特征。通過主成分分析將數(shù)據(jù)降維到二維或三維，就可以將數(shù)據(jù)以圖形的形式展示出來，便于觀察數(shù)據(jù)的聚類、趨勢等特征。-去除相關(guān)性：原始變量之間可能存在較強(qiáng)的相關(guān)性，這會影響數(shù)據(jù)分析的結(jié)果。主成分分析得到的主成分之間是互不相關(guān)的，消除了變量之間的相關(guān)性，使得后續(xù)的分析更加準(zhǔn)確和可靠。-特征提取：主成分分析可以提取原始數(shù)據(jù)中的主要信息，將其集中到少數(shù)幾個主成分中。這些主成分可以作為新的特征用于后續(xù)的建模和分析，如在機(jī)器學(xué)習(xí)中，可以用主成分作為輸入特征進(jìn)行分類或回歸分析。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.某保險公司承保了100個獨(dú)立同分布的風(fēng)險，每個風(fēng)險的損失$X_i$服從參數(shù)為$\lambda=0.1$的指數(shù)分布。該保險公司設(shè)置了免賠額$d=5$。-（1）計算單個風(fēng)險的賠付額的期望。-（2）根據(jù)中心極限定理，近似計算該保險組合總賠付額的均值和方差，并求總賠付額超過120的概率。答案：-（1）對于指數(shù)分布$X\simExp(\lambda)$，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函數(shù)為$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。賠付額$Y=(X-d)_+$，當(dāng)$X\gtd$時，$Y=X-d$，當(dāng)$X\leqd$時，$Y=0$。賠付額的期望$E(Y)=\int_usosgkq^{\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx$，令$t=x-d$，則$x=t+d$，$dx=dt$，積分變?yōu)?\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt$。對于指數(shù)分布$X\simExp(\lambda)$，$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}$。已知$\lambda=0.1$，$d=5$，則$E(Y)=e^{-0.1\times5}\times\frac{1}{0.1}=e^{-0.5}\times10\approx6.065$。-（2）設(shè)$Y_i$為第$i$個風(fēng)險的賠付額，$i=1,2,\cdots,100$。-均值：因?yàn)?E(Y_i)\approx6.065$，根據(jù)期望的性質(zhì)，保險組合總賠付額$S=\sum_{i=1}^{100}Y_i$的均值$E(S)=nE(Y_i)=100\times6.065=606.5$。-方差：對于指數(shù)分布，賠付額$Y_i$的方差$Var(Y_i)$計算如下：先求$E(Y_i^2)=\int_sycgagk^{\infty}(x-d)^2\lambdae^{-\lambdax}dx$，令$t=x-d$，則$x=t+d$，$dx=dt$，$E(Y_i^2)=\int_{0}^{\infty}t^2\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{\infty}t^2\lambdae^{-\lambdat}dt$。對于指數(shù)分布，$\int_{0}^{\infty}t^2\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{2}{\lambda^2}$，所以$E(Y_i^2)=e^{-\lambdad}\times\frac{2}{\lambda^2}$，$Var(Y_i)=E(Y_i^2)-[E(Y_i)]^2=e^{-0.5}\times\frac{2}{0.01}-(e^{-0.5}\times10)^2=200e^{-0.5}-100e^{-1}\approx121.3$。保險組合總賠付額$S$的方差$Var(S)=nVar(Y_i)=100\times121.3=12130$。根據(jù)中心極限定理，$S$近似服從$N(606.5,12130)$。要求$P(S\gt120)$，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，$Z=\frac{S-E(S)}{\sqrt{Var(S)}}=\frac{S-606.5}{\sqrt{12130}}\approx\frac{S-606.5}{110.14}$。$P(S\gt120)=1-P(S\leq120)=1-P\left(Z\leq\frac{120-606.5}{110.14}\right)=1-P(Z\l